阶段专项提分练四 利用二次根式的非负性进行化简求值及运算
【类型一】二次根式非负性的应用
【典例1】已知a,b,c满足|a-|++(c-)2=0.
(1)求a,b,c的值.
(2)以a,b,c的值为边长的三条线段能构成三角形吗 并说明你的理由.
思路点拨(1)根据绝对值、算术平方根、偶次方的非负性解答即可;
(2)利用三角形的三边关系验证即可.
【变式1】若=x-3,则x的取值范围是( )
A.x>3 B.x≥3
C.x<3 D.x≤3
【变式2】若+(a-4)2=0,则化简的结果是( )
A. B.±
C. D.±
【变式3】已知实数x,y满足+y2-16y+64=0,则的值为( )
A.2 B.4 C.8 D.16
【变式4】已知|2a+b|与互为相反数.
(1)求a,b的值;
(2)求2a-3b的平方根.
【类型二】二次根式被开方数的非负性
【典例2】已知实数x,y满足下面关系式:
y=-x+2,则xy的值为 .
思路点拨依据二次根式及分式有意义的条件,即可得到x的值,进而得到y的值,最后代入计算即可.
【变式1】若2有意义,则x,y的取值范围不可能是( )
A.x≤0,y≥0 B.x>0,y<0
C.x<0,y<0 D.xy<0
【变式2】若等式=()2成立,则实数a的取值范围是( )
A.a>0 B.a≥0
C.a<0 D.a≤0
【变式3】已知a是满足式子+有意义的最大整数,试求该式子的值.
【变式4】(1)已知a,b为实数,且+2=b+4,求a,b的值.
(2)已知实数a满足|2 023-a|+=a,求a-2 0232的值.
【变式5】先阅读,后回答问题:x为何值时,有意义 阶段专项提分练四 利用二次根式的非负性进行化简求值及运算
【类型一】二次根式非负性的应用
【典例1】已知a,b,c满足|a-|++(c-)2=0.
(1)求a,b,c的值.
(2)以a,b,c的值为边长的三条线段能构成三角形吗 并说明你的理由.
思路点拨(1)根据绝对值、算术平方根、偶次方的非负性解答即可;
(2)利用三角形的三边关系验证即可.
【解析】(1)由非负数的性质知a-=0,b-=0,c-=0,
所以a=2,b=3,c=4.
(2)能.理由:因为a所以a+b>c.
所以以a,b,c的值为边长的三条线段能构成三角形.
【变式1】若=x-3,则x的取值范围是(B)
A.x>3 B.x≥3
C.x<3 D.x≤3
【变式2】若+(a-4)2=0,则化简的结果是(A)
A. B.±
C. D.±
【变式3】已知实数x,y满足+y2-16y+64=0,则的值为(A)
A.2 B.4 C.8 D.16
【变式4】已知|2a+b|与互为相反数.
(1)求a,b的值;
(2)求2a-3b的平方根.
【解析】(1)因为|2a+b|与互为相反数,
所以|2a+b|+=0,
所以2a+b=0,3b+12=0,
解得a=2,b=-4;
(2)因为a=2,b=-4,
所以2a-3b=4+12=16,
所以16的平方根为±4,即2a-3b的平方根为±4.
【变式5】当a取什么值时,+1的值最小 请求出这个最小值.
【解析】因为≥0,
所以当a=-时,有最小值,是0.
则+1的最小值是1.
【类型二】二次根式被开方数的非负性
【典例2】已知实数x,y满足下面关系式:
y=-x+2,则xy的值为 -1 .
思路点拨依据二次根式及分式有意义的条件,即可得到x的值,进而得到y的值,最后代入计算即可.
【变式1】若2有意义,则x,y的取值范围不可能是(C)
A.x≤0,y≥0 B.x>0,y<0
C.x<0,y<0 D.xy<0
【变式2】若等式=()2成立,则实数a的取值范围是(B)
A.a>0 B.a≥0
C.a<0 D.a≤0
【变式3】已知a是满足式子+有意义的最大整数,试求该式子的值.
【解析】由题意得,6-2a≥0,
所以a≤3;
所以a最大=3,
所以原式=+=-2.
【变式4】(1)已知a,b为实数,且+2=b+4,求a,b的值.
(2)已知实数a满足|2 023-a|+=a,求a-2 0232的值.
【解析】(1)由题意得a-5≥0,10-2a≥0,
所以a=5,所以b+4=0,所以b=-4;
(2)由题意得,a-2 024≥0,
所以2 023-a<0,
所以原式可化为a-2 023+=a,
所以=2 023,
所以a-2 024=2 0232,
所以a-2 0232=2 024.
【变式5】先阅读,后回答问题:x为何值时,有意义
解:要使该二次根式有意义,需x(x-3)≥0,由乘法法则得或
解得x≥3或x≤0.
所以当x≥3或x≤0时,有意义.
体会解题思想后,请你解答:x为何值时,有意义
【解析】要使该二次根式有意义,需≥0,
所以或
解得x≥1或x<-2,
所以当x≥1或x<-2时,有意义.
