阶段专项提分练五 三角形知识初步
【类型一】三角形的三边关系
【典例1】下列每组数分别表示3根小木棒的长度(单位: cm),其中能搭成一个三角形的是 ( )
A.5,7,12 B.7,7,15
C.6,9,16 D.6,8,12
【变式1】若某三角形的三边长分别为3,4,m,则m的值可以是 ( )
A.1 B.5 C.7 D.9
【变式2】若一个三角形的边长均为整数,且两边长分别为3和5,则第三边的长可以为 (写出一个即可).
【变式3】已知△ABC的边长a,b,c满足(a-2)2+|b-4|=0,则a,b的值分别是 ,若c为偶数,则△ABC的周长为 .
【变式4】如果一个三角形的一边长为5 cm,另一边长为2 cm,若第三边长为x cm.
(1)第三边长x的范围为_____________.
(2)当第三边长为奇数时,求出这个三角形的周长,并指出它是什么三角形(按边分类).
【类型二】三角形的中线
【典例2】在△ABC中,BC=8,AB=1;
(1)若AC是整数,求AC的长;
(2)已知BD是△ABC的中线,若△ABD的周长为10,求△BCD的周长.
思路点拨(1)根据三角形的三边关系确定AC的范围,然后根据条件解答即可;
(2)根据三角形中线的定义得到AD=CD,然后利用三角形的周长公式计算.
【变式1】如图,△ABC中,AB=15,BC=9,BD是AC边上的中线.若△ABD的周长为35,则△BCD的周长是 ( )
A.20 B.24 C.26 D.29
【变式2】如图所示,AD是△ABC的中线.若AB=7 cm,AC=5 cm,则△ABD和△ADC的周长的差为 cm.
【变式3】如图,△ABC的周长是21 cm,AB=AC,中线BD分△ABC为两个三角形,且△ABD的周长比△BCD的周长大6 cm,求AB,BC.
【变式4】(2025·长沙宁乡市期中)如图,在△ABC中,点D在边BC上.
(1)若∠1=∠2=35°,∠3=∠4,求∠DAC的度数;
(2)若AD为△ABC的中线,△ABD的周长比△ACD的周长大3,AB=9,求AC的长.
【类型三】三角形的内角与外角
【典例3】将一副三角板按如图所示的方式摆放,其中点B落在边EF上,点D落在边AC上,则∠α的大小为 ( )
A.165° B.160° C.150° D.135°
【变式1】将一副直角三角板,按如图所示叠放在一起,则图中∠α的度数是 ( )
A.75° B.95° C.105° D.125°
【变式2】如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,且CE交BA的延长线于点E.
(1)若∠B=42°,∠E=26°,求∠BAC的度数;
(2)直接写出∠BAC,∠B,∠E三个角之间存在的等量关系.阶段专项提分练五 三角形知识初步
【类型一】三角形的三边关系
【典例1】下列每组数分别表示3根小木棒的长度(单位: cm),其中能搭成一个三角形的是 (D)
A.5,7,12 B.7,7,15
C.6,9,16 D.6,8,12
【变式1】若某三角形的三边长分别为3,4,m,则m的值可以是 (B)
A.1 B.5 C.7 D.9
【变式2】若一个三角形的边长均为整数,且两边长分别为3和5,则第三边的长可以为 3或4或5或6或7(答案不唯一) (写出一个即可).
【变式3】已知△ABC的边长a,b,c满足(a-2)2+|b-4|=0,则a,b的值分别是 2,4 ,若c为偶数,则△ABC的周长为 10 .
【变式4】如果一个三角形的一边长为5 cm,另一边长为2 cm,若第三边长为x cm.
(1)第三边长x的范围为_____________.
(2)当第三边长为奇数时,求出这个三角形的周长,并指出它是什么三角形(按边分类).
【解析】(1)根据三角形两边的和大于第三边,则x<5+2,
即x<7,
根据三角形两边的差小于第三边,
则5-2
综上所述3答案:3(2)因为第三边的长为奇数,
所以第三边的长为5 cm,
所以三角形的周长=5+5+2=12(cm),
因为两条边的长为5 cm,另外一条边的长为2 cm,
所以这个三角形是底边和腰不相等的等腰三角形.
【类型二】三角形的中线
【典例2】在△ABC中,BC=8,AB=1;
(1)若AC是整数,求AC的长;
(2)已知BD是△ABC的中线,若△ABD的周长为10,求△BCD的周长.
思路点拨(1)根据三角形的三边关系确定AC的范围,然后根据条件解答即可;
(2)根据三角形中线的定义得到AD=CD,然后利用三角形的周长公式计算.
【解析】(1)由题意得BC-AB所以7(2)因为BD是△ABC的中线,所以AD=CD,因为△ABD的周长为10,
所以AB+AD+BD=10,
因为AB=1,所以AD+BD=9,
所以C△BCD=BC+BD+CD=BC+AD+BD=8+9=17.
【变式1】如图,△ABC中,AB=15,BC=9,BD是AC边上的中线.若△ABD的周长为35,则△BCD的周长是 (D)
A.20 B.24 C.26 D.29
【变式2】如图所示,AD是△ABC的中线.若AB=7 cm,AC=5 cm,则△ABD和△ADC的周长的差为 2 cm.
【变式3】如图,△ABC的周长是21 cm,AB=AC,中线BD分△ABC为两个三角形,且△ABD的周长比△BCD的周长大6 cm,求AB,BC.
【解析】因为BD是中线,
所以AD=CD=AC,
因为△ABD的周长比△BCD的周长大6 cm,所以(AB+AD+BD)-(BD+CD+BC)=AB-BC=6 cm①,
因为△ABC的周长是21 cm,AB=AC,
所以2AB+BC=21 cm②,联立①②得:AB=9 cm,BC=3 cm.
【变式4】(2025·长沙宁乡市期中)如图,在△ABC中,点D在边BC上.
(1)若∠1=∠2=35°,∠3=∠4,求∠DAC的度数;
(2)若AD为△ABC的中线,△ABD的周长比△ACD的周长大3,AB=9,求AC的长.
【解析】(1)因为∠1=∠2=35°,所以∠3=∠1+∠2=70°,所以∠3=∠4=70°,所以∠DAC=180°-∠3-∠4=40°;
(2)因为AD为△ABC的中线,所以BD=CD.
因为△ABD的周长比△ACD的周长大3,所以AB+AD+BD-(AC+AD+CD)=3,所以AB+AD+BD-AC-AD-CD=3,所以AB-AC=3.
因为AB=9,所以AC=6.
【类型三】三角形的内角与外角
【典例3】将一副三角板按如图所示的方式摆放,其中点B落在边EF上,点D落在边AC上,则∠α的大小为 (A)
A.165° B.160° C.150° D.135°
【变式1】将一副直角三角板,按如图所示叠放在一起,则图中∠α的度数是 (C)
A.75° B.95° C.105° D.125°
【变式2】如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,且CE交BA的延长线于点E.
(1)若∠B=42°,∠E=26°,求∠BAC的度数;
(2)直接写出∠BAC,∠B,∠E三个角之间存在的等量关系.
【解析】(1)因为∠B=42°,∠E=26°,
所以∠ECD=∠B+∠E=42°+26°=68°.
因为CE平分∠ACD,
所以∠ACE=∠ECD=68°,所以∠BAC=∠ACE+∠E=68°+26°=94°.
(2)∠BAC=∠B+2∠E,证明如下:
因为CE平分∠ACD,
所以∠ACE=∠ECD.
又因为∠ECD=∠B+∠E,
所以∠BAC=∠ACE+∠E=∠ECD+∠E=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E,
即∠BAC=∠B+2∠E.