阶段专项提分练一 利用因式分解进行计算
【类型一】利用因式分解与整式乘法的关系计算
【典例1】(2025·长沙期末)在已有的学习中我们知道,用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积,可以得到一些代数恒等式.例如:如图1可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2,基于此,请解答下列问题:
(1)根据图2,写出一个代数恒等式:________________________ ;
(2)如图3,现有a×a,b×b的正方形纸片和a×b的长方形纸片各若干张,试选用这些纸片,拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的长方形(每种纸片至少用一次,每两个纸片之间既不重叠,也无空隙),并标出此长方形的长和宽;
(3)如图4,写出一个代数恒等式,利用这个恒等式,解决下面的问题:若a+b+c=8, ab+bc+ac=22,求a2+b2+c2的值.
【变式1】若分解因式x2+mx-15=(x+3)(x-5),则m的值为( )
A.-2 B.2 C.-5 D.5
【变式2】若x+5,x-3都是多项式x2-kx-15的因式,则k= .
【变式3】【阅读材料】对于多项式x2+x-2,如果我们把x=1代入x2+x-2,发现此多项式的值为0,这时可以断定多项式x2+x-2中有因式x-1,可设x2+x-2=(x-1)(x+m)(m为常数),通过展开多项式或代入合适的x的值即可求出m的值.我们把这种分解因式的方法叫“试根法”.
根据以上阅读材料,完成下列问题:
(1)请完成下列因式分解:x2+x-2=________;
(2)若多项式x2+mx-n(m,n为常数)分解因式后,有一个因式是(x-2),求2m-n的值;
(3)多项式x3+2x2-3用“试根法”分解因式得(x+a)(x2+bx+c)(a,b,c为常数),请直接写出a,b,c的值.
【类型二】利用因式分解进行计算
【典例2】(2024·湘西州期末)如图,某养鸡场老板准备用20 m的篱笆围成一个边长为a,b的长方形场地,已知a2b+ab2=240,则这个长方形场地的面积为( )
A.32 m2 B.24 m2 C.16 m2 D.12 m2
【变式1】已知m+n=2,则m2-n2+4n的值是( )
A.2 B.6 C.4 D.8
【变式2】已知a+b=4,ab=3,求代数式2a3b+2ab3-6ab的值.
【变式3】(2025·衡阳期中)已知x-y=2,xy=.
(1)求代数式x3y-2x2y2+xy3的值;
(2)求x+y的值.
【变式4】从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1),然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2).
(1)上述过程所揭示的因式分解的等式是________________;
(2)若9x2-16y2=30,3x+4y=6,求4y-3x的值;
(3)计算: (1-) (1-) (1-)…(1-) (1-).
【类型三】
利用因式分解进行简便计算
【典例3】因式分解可以简化一些复杂的计算,如图,把R1,R2,R3三个电阻串联起来,线路AB上的电流为I,电压为U,则U=IR1+IR2+IR3.当R1=19.76,R2=32.41,R3= 35.83,I=2.5时,请利用因式分解计算出U的值.
【变式1】利用因式分解计算:2022+202×196+982
【变式2】利用因式分解进行简便运算:
(1)2 0242-2 025×2 023;
(2)4+4×196+982.阶段专项提分练一 利用因式分解进行计算
【类型一】利用因式分解与整式乘法的关系计算
【典例1】(2025·长沙期末)在已有的学习中我们知道,用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积,可以得到一些代数恒等式.例如:如图1可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2,基于此,请解答下列问题:
(1)根据图2,写出一个代数恒等式:________________________ ;
(2)如图3,现有a×a,b×b的正方形纸片和a×b的长方形纸片各若干张,试选用这些纸片,拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的长方形(每种纸片至少用一次,每两个纸片之间既不重叠,也无空隙),并标出此长方形的长和宽;
(3)如图4,写出一个代数恒等式,利用这个恒等式,解决下面的问题:若a+b+c=8, ab+bc+ac=22,求a2+b2+c2的值.
【解析】(1)答案:(x+y)(x+3y)=x2+4xy+3y2;
(2)说明:答案不唯一,画图正确,不论画在什么位置,
(3)由题图4可得,正方形面积=(a+b+c)2,正方形面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,
所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,
所以a2+b2+c2
=(a+b+c)2-(2ab+2ac+2bc)
=82-2×22
=64-44
=20.
【变式1】若分解因式x2+mx-15=(x+3)(x-5),则m的值为(A)
A.-2 B.2 C.-5 D.5
【变式2】若x+5,x-3都是多项式x2-kx-15的因式,则k= -2 .
【变式3】【阅读材料】对于多项式x2+x-2,如果我们把x=1代入x2+x-2,发现此多项式的值为0,这时可以断定多项式x2+x-2中有因式x-1,可设x2+x-2=(x-1)(x+m)(m为常数),通过展开多项式或代入合适的x的值即可求出m的值.我们把这种分解因式的方法叫“试根法”.
根据以上阅读材料,完成下列问题:
(1)请完成下列因式分解:x2+x-2=________;
(2)若多项式x2+mx-n(m,n为常数)分解因式后,有一个因式是(x-2),求2m-n的值;
(3)多项式x3+2x2-3用“试根法”分解因式得(x+a)(x2+bx+c)(a,b,c为常数),请直接写出a,b,c的值.
【解析】(1)设x2+x-2=(x-1)(x+m)=x2+(m-1)x-m,则m=2,所以x2+x-2=(x-1)(x+2).
答案:(x-1)(x+2)
(2)设x2+mx-n=(x-2)(x+a)=x2+(a-2)x-2a,则m=a-2,n=2a,那么2m-n=2(a-2)-2a
=2a-4-2a=-4.
(3)因为(x+a)(x2+bx+c)=x3+bx2+cx+ax2+abx+ac=x3+(a+b)x2+(ab+c)x+ac=x3+2x2-3,所以a+b=2,ab+c=0,ac=-3,解得:a=-1,b=3,c=3.
【类型二】利用因式分解进行计算
【典例2】(2024·湘西州期末)如图,某养鸡场老板准备用20 m的篱笆围成一个边长为a,b的长方形场地,已知a2b+ab2=240,则这个长方形场地的面积为(B)
A.32 m2 B.24 m2 C.16 m2 D.12 m2
【变式1】已知m+n=2,则m2-n2+4n的值是(C)
A.2 B.6 C.4 D.8
【变式2】已知a+b=4,ab=3,求代数式2a3b+2ab3-6ab的值.
【解析】因为a+b=4,ab=3,
所以2a3b+2ab3-6ab=2ab(a2+b2)-6ab=2ab[(a+b)2-2ab]-6ab=2×3×(42-2×3)-6×3
=2×3×(16-2×3)-6×3=6×(16-6)-18=6×10-18=60-18=42.
【变式3】(2025·衡阳期中)已知x-y=2,xy=.
(1)求代数式x3y-2x2y2+xy3的值;
(2)求x+y的值.
【解析】(1)因为x-y=2,所以(x-y)2=22=4,又因为xy=,所以x3y-2x2y2+xy3 =xy(x2-2xy+y2)=xy(x-y)2=×4=2.
(2)因为x-y=2,所以(x-y)2=22=4,
即x2-2xy+y2=4,又因为xy=,
所以x2-2×+y2=4,所以x2+y2=5,
所以(x+y)2=x2+2xy+y2=5+1=6,
所以x+y=±.
【变式4】从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1),然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2).
(1)上述过程所揭示的因式分解的等式是________________;
(2)若9x2-16y2=30,3x+4y=6,求4y-3x的值;
(3)计算: (1-) (1-) (1-)…(1-) (1-).
【解析】(1)a2-b2=(a+b)(a-b)
(2)9x2-16y2=30,
所以(3x+4y)(3x-4y)=30,因为3x+4y=6,所以3x-4y=5,所以4y-3x=-5.
(3) (1-) (1-) (1-)…(1-) (1-)=(1-) (1+) (1-) (1+) (1-) (1+)…(1-) (1+) (1-) (1+)=××××××…××××=×=.
【类型三】
利用因式分解进行简便计算
【典例3】因式分解可以简化一些复杂的计算,如图,把R1,R2,R3三个电阻串联起来,线路AB上的电流为I,电压为U,则U=IR1+IR2+IR3.当R1=19.76,R2=32.41,R3= 35.83,I=2.5时,请利用因式分解计算出U的值.
【解析】因为U=IR1+IR2+IR3,R1=19.76,R2=32.41,R3=35.83,I=2.5,
所以U=IR1+IR2+IR3=I(R1+R2+R3)=2.5×(19.76+32.41+35.83)=2.5×88=220.
【变式1】利用因式分解计算:2022+202×196+982
【解析】原式=2022+2×202×98+982=(202+98)2=3002=90 000.
【变式2】利用因式分解进行简便运算:
(1)2 0242-2 025×2 023;
(2)4+4×196+982.
【解析】(1)2 0242-2 025×2 023
=2 0242-(2 024+1)×(2 024-1)
=2 0242-(2 0242-1)
=2 0242-2 0242+1
=1;
(2)4+4×196+982
=(22+2×2×98+982)+2×2×98
=(2+98)2+2×2×98
=1002+392
=10 392.
