1.1 探索勾股定理 教学设计 2025-2026学年数学北师大版八年级上册
文档属性
| 名称 | 1.1 探索勾股定理 教学设计 2025-2026学年数学北师大版八年级上册 |  | |
| 格式 | DOCX | ||
| 文件大小 | 356.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-20 12:15:56 | ||
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文档简介
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
第1课时 认识勾股定理
1．用数格子的方法探索直角三角形的三边关系，掌握勾股定理的内容．
2．让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思维过程，体会数形结合和从特殊到一般的思想方法．
3．探索并理解直角三角形三边之间的数量关系，提高学生的推理能力．
▲重点
探索勾股定理并利用勾股定理解决问题．
▲难点
在方格纸上通过计算图形面积的方法探索勾股定理．
活动1 创设情境 导入新课(课件)
如图，从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索，钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m，你知道需要多长的钢索吗？
直角三角形三边长度存在一种特殊的关系，这节课我们一起探索勾股定理．
活动2 实践探究 交流新知
【探究1】
1．在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三边长，看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流．
2．(1)观察教材图1－2中左侧的图案，正方形A中有__9__个小方格，即A的面积为__9__平方单位．(投影教材图1－2)
正方形B中有__9__个小方格，即B的面积为__9__平方单位．
正方形C中有__18__个小方格，即C的面积为__18__平方单位．
(2)你是怎样得出上面的结果的？学生思考交流并加以回答．
(3)图1－2中，A，B，C的面积之间有什么关系？
学生交流后形成共识，教师板书：SA＋SB＝SC.
【探究2】
我们也不难发现教材图1－2中的直角三角形是等腰直角三角形．如果不是等腰直角三角形，而是一般的直角三角形，会不会也有这种关系呢？(投影教材图1－3)
(1)教材图1－3中，A，B，C的面积是否还满足上面的关系？你是如何计算的？
答：A，B，C的面积还满足上面的关系，即SA＋SB＝SC，是通过数格子的方法计算的．
(2)如果直角三角形的两直角边长分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？
答：仍然成立．
(3)你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？
【归纳】勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于__斜边的平方__．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么__a2＋b2＝c2__．
活动3 开放训练 应用举例
【例1】在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．
(1)若a＝6，b＝8，求c的值；
(2)若a＝5，c＝13，求b的值．
【方法指导】运用勾股定理求解．
解：(1)由勾股定理，得c2＝a2＋b2＝62＋82＝100.
∵102＝100，
∴c＝10；
(2)由勾股定理，得b2＝c2－a2＝132－52＝144.
∵122＝144，
∴b＝12.
【例2】如下表，表中每行所给的三个数a，b，c，有a3，4，5 5，12，13 7，24，25 9，40，41 …… a，b，c
32＋42＝52 52＋122＝132 72＋242＝252 92＋402＝412 ……
【方法指导】运用勾股定理a2＋b2＝c2，及c＝b＋1求解．
解：由题意，得a2＋b2＝c2，c＝b＋1.
当a＝19，b＝180时，c＝181.
活动4 随堂练习
1．求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度(口答)．
解：(1)400；(2)8.
2．如图，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m．一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，则小鸟至少飞行 (B)
A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m
3．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9 cm，则正方形A，B，C，D的面积的和是__81__cm2.
活动5 课堂小结与作业
学生活动：1.你这节课的主要收获是什么？
2．在探索勾股定理的过程中，我们运用了哪些方法？
教学说明：梳理本节课的重要方法和知识点，加深对本节课知识的理解．
作业：教材P3随堂练习T1、T2，P8习题1.1中的T1、T2.
这节课从探究定理、总结定理到练习的处理都是引导学生完成的，多数学生在小组活动中表现积极，找出了许多解决问题的办法，乐于与小组其他成员合作，愿意与同伴交流自己的想法，有解决问题的自信心，不回避困难，教师参与到学生的活动中，使每个同学得到了不同程度的发展．
第2课时 勾股定理的验证及其简单计算
1．掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题．
2．经历勾股定理观察、猜想、验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想．
3．通过勾股定理解决实际问题，培养学生的探究意识和合作交流习惯．
▲重点
熟练应用拼图法验证勾股定理．
▲难点
用勾股定理解决问题．
活动1 创设情境 导入新课(课件)
据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角．
这种方法对吗？今天我们就来一起判断一下吧！
活动2 实践探究 交流新知
【探究1】拼图验证勾股定理
如下课件中图①是四个全等的直角三角形，两直角边分别为a和b，斜边为c.请你开动脑筋，用它们拼出一个正方形，对勾股定理进行验证．
问题1：图②中正方形ABCD的边长是__a＋b__，正方形ABCD的面积可表示为__(a＋b)2__．
问题2：图②中正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，因此正方形ABCD的面积还可以表示为__4×ab＋c2__．
问题3：观察两种表示方法，它们表示的是同一个图形的面积，所以结果应__相等__．
问题4：现在，你能验证勾股定理吗？
问题5：利用图③如何验证勾股定理？
【探究2】深入了解勾股定理的证法
自主探究
阅读教材P4尝试·思考．
问题1：画一个直角三角形，分别以这个直角三角形的三边为边长向外作正方形，你能利用这个图证明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流．
合作探究
问题2：为了计算教材P4图1－4中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，分别得到教材P4图1－5、图1－6.
(1)将所有三角形和正方形的面积用a，b，c的式子表示出来．
(2)教材图1－5、图1－6中正方形ABCD的面积分别是多少？你有哪些表示方式？
(3)你能分别利用教材图1－5、图1－6验证勾股定理吗？
解：(3)图1－5：(a＋b)2＝×4＋c2，化简，得：a2＋b2＝c2；
图1－6：×4＋(b－a)2＝c2，化简，得：a2＋b2＝c2.
问题3：你能利用教材P5图1－7，1－8验证勾股定理吗？
解：图1－7：52＝×4＋12，即52＝32＋42；
图1－8：设直角三角形中，较长直角边为b，较短直角边为a，斜边长为c，则c2＝×4＋(b－a)2，即c2＝a2＋b2.
问题4：如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形，它的三边长能满足“较长边的平方等于另外两边的平方和”吗？
解：观察教材P6图1－10，不能满足．
【归纳】勾股定理的证明方法有300多种，必须是直角三角形的三边才能满足a2＋b2＝c2.
同学们可以阅读教材P6－7其他证明勾股定理的方法．
活动3 开放训练 应用举例
【例1】(教材P5例题)在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离东西向公路400 m处侦察，发现一辆蓝方汽车在公路上疾驶．他用红外测距仪测得汽车与他相距400 m；过了10 s，测得汽车与他相距500 m．你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10 s的平均速度吗？
【方法指导】
(1)根据题意画出简单的示意图如图所示．
(2)在直角三角形中已知什么边？要求什么边？
在直角三角形中已知斜边和一条直角边，要求另一条直角边．
(3)如何计算蓝方汽车的速度？
由题意，得AC＝__400_m__，AB＝__500_m__，由勾股定理，得BC＝__300_m__，
所以蓝方汽车这10 s的平均速度为__300÷10＝30(m/s)__．
【例2】(教材P6随堂练习)如图是某沿江地区交通平面图的一部分(单位：km)，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本是5 000万元/km，该沿江高速公路的建设成本预计是多少？
【方法指导】利用勾股定理求出斜边OM，OQ的长，再计算建设成本．
解：在Rt△MON中，由勾股定理，得OM2＝MN2＋NO2，
即OM2＝302＋402＝2 500，
∴OM＝50 km.
在Rt△OPQ中，由勾股定理，得OQ2＝OP2＋PQ2，
即OQ2＝502＋1202＝16 900，
∴OQ＝130 km，
5 000×(50＋130)＝900 000(万元).
答：该沿江高速公路的建设成本预计是900 000万元．
活动4 随堂练习
1．放学以后，小红和小颖分别沿着东北方向和西北方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40 m/min，小红用15 min到家，小颖用20 min到家，小红和小颖家的距离为 (C)
A．600 m B．800 m
C．1 000 m D．不能确定
2．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠CBD＝90°，AD＝4，AB＝3，BC＝12，则以DC为边的正方形DCEF的面积是__169__．
3．如图，一架云梯长10 m，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面6 m，要使梯子顶端离地面8 m，则梯子的底部在水平方向要向左滑动__2__m.
4．如图，受某次台风的影响，一棵高18 m的大树断裂，树的顶部落在离树根底部12 m处，这棵树断裂后有多高？
解：设这棵树断裂后高x m.
根据题意，得x2＋122＝(18－x)2，
解得x＝5.
答：这棵树断裂后高5 m．
活动5 课堂小结与作业
学生活动：谈谈本节课的收获与体会．
教学说明：学生先独立完成小结，在学生回答的过程中，老师引导学生将本节课的知识系统化．
作业：教材P8～9习题1.1中的T4、T6、T7.
勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，设计了拼图活动，先让学生从形上感知，再层层设问，从面积入手，师生共同探究得到方法1，最后由学生独立探究得到方法2，这样使学生较容易地突破了本节课的难点．
1 探索勾股定理
第1课时 认识勾股定理
1．用数格子的方法探索直角三角形的三边关系，掌握勾股定理的内容．
2．让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思维过程，体会数形结合和从特殊到一般的思想方法．
3．探索并理解直角三角形三边之间的数量关系，提高学生的推理能力．
▲重点
探索勾股定理并利用勾股定理解决问题．
▲难点
在方格纸上通过计算图形面积的方法探索勾股定理．
活动1 创设情境 导入新课(课件)
如图，从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索，钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m，你知道需要多长的钢索吗？
直角三角形三边长度存在一种特殊的关系，这节课我们一起探索勾股定理．
活动2 实践探究 交流新知
【探究1】
1．在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三边长，看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流．
2．(1)观察教材图1－2中左侧的图案，正方形A中有__9__个小方格，即A的面积为__9__平方单位．(投影教材图1－2)
正方形B中有__9__个小方格，即B的面积为__9__平方单位．
正方形C中有__18__个小方格，即C的面积为__18__平方单位．
(2)你是怎样得出上面的结果的？学生思考交流并加以回答．
(3)图1－2中，A，B，C的面积之间有什么关系？
学生交流后形成共识，教师板书：SA＋SB＝SC.
【探究2】
我们也不难发现教材图1－2中的直角三角形是等腰直角三角形．如果不是等腰直角三角形，而是一般的直角三角形，会不会也有这种关系呢？(投影教材图1－3)
(1)教材图1－3中，A，B，C的面积是否还满足上面的关系？你是如何计算的？
答：A，B，C的面积还满足上面的关系，即SA＋SB＝SC，是通过数格子的方法计算的．
(2)如果直角三角形的两直角边长分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？
答：仍然成立．
(3)你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？
【归纳】勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于__斜边的平方__．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么__a2＋b2＝c2__．
活动3 开放训练 应用举例
【例1】在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．
(1)若a＝6，b＝8，求c的值；
(2)若a＝5，c＝13，求b的值．
【方法指导】运用勾股定理求解．
解：(1)由勾股定理，得c2＝a2＋b2＝62＋82＝100.
∵102＝100，
∴c＝10；
(2)由勾股定理，得b2＝c2－a2＝132－52＝144.
∵122＝144，
∴b＝12.
【例2】如下表，表中每行所给的三个数a，b，c，有a
32＋42＝52 52＋122＝132 72＋242＝252 92＋402＝412 ……
【方法指导】运用勾股定理a2＋b2＝c2，及c＝b＋1求解．
解：由题意，得a2＋b2＝c2，c＝b＋1.
当a＝19，b＝180时，c＝181.
活动4 随堂练习
1．求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度(口答)．
解：(1)400；(2)8.
2．如图，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m．一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，则小鸟至少飞行 (B)
A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m
3．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9 cm，则正方形A，B，C，D的面积的和是__81__cm2.
活动5 课堂小结与作业
学生活动：1.你这节课的主要收获是什么？
2．在探索勾股定理的过程中，我们运用了哪些方法？
教学说明：梳理本节课的重要方法和知识点，加深对本节课知识的理解．
作业：教材P3随堂练习T1、T2，P8习题1.1中的T1、T2.
这节课从探究定理、总结定理到练习的处理都是引导学生完成的，多数学生在小组活动中表现积极，找出了许多解决问题的办法，乐于与小组其他成员合作，愿意与同伴交流自己的想法，有解决问题的自信心，不回避困难，教师参与到学生的活动中，使每个同学得到了不同程度的发展．
第2课时 勾股定理的验证及其简单计算
1．掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题．
2．经历勾股定理观察、猜想、验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想．
3．通过勾股定理解决实际问题，培养学生的探究意识和合作交流习惯．
▲重点
熟练应用拼图法验证勾股定理．
▲难点
用勾股定理解决问题．
活动1 创设情境 导入新课(课件)
据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角．
这种方法对吗？今天我们就来一起判断一下吧！
活动2 实践探究 交流新知
【探究1】拼图验证勾股定理
如下课件中图①是四个全等的直角三角形，两直角边分别为a和b，斜边为c.请你开动脑筋，用它们拼出一个正方形，对勾股定理进行验证．
问题1：图②中正方形ABCD的边长是__a＋b__，正方形ABCD的面积可表示为__(a＋b)2__．
问题2：图②中正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，因此正方形ABCD的面积还可以表示为__4×ab＋c2__．
问题3：观察两种表示方法，它们表示的是同一个图形的面积，所以结果应__相等__．
问题4：现在，你能验证勾股定理吗？
问题5：利用图③如何验证勾股定理？
【探究2】深入了解勾股定理的证法
自主探究
阅读教材P4尝试·思考．
问题1：画一个直角三角形，分别以这个直角三角形的三边为边长向外作正方形，你能利用这个图证明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流．
合作探究
问题2：为了计算教材P4图1－4中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，分别得到教材P4图1－5、图1－6.
(1)将所有三角形和正方形的面积用a，b，c的式子表示出来．
(2)教材图1－5、图1－6中正方形ABCD的面积分别是多少？你有哪些表示方式？
(3)你能分别利用教材图1－5、图1－6验证勾股定理吗？
解：(3)图1－5：(a＋b)2＝×4＋c2，化简，得：a2＋b2＝c2；
图1－6：×4＋(b－a)2＝c2，化简，得：a2＋b2＝c2.
问题3：你能利用教材P5图1－7，1－8验证勾股定理吗？
解：图1－7：52＝×4＋12，即52＝32＋42；
图1－8：设直角三角形中，较长直角边为b，较短直角边为a，斜边长为c，则c2＝×4＋(b－a)2，即c2＝a2＋b2.
问题4：如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形，它的三边长能满足“较长边的平方等于另外两边的平方和”吗？
解：观察教材P6图1－10，不能满足．
【归纳】勾股定理的证明方法有300多种，必须是直角三角形的三边才能满足a2＋b2＝c2.
同学们可以阅读教材P6－7其他证明勾股定理的方法．
活动3 开放训练 应用举例
【例1】(教材P5例题)在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离东西向公路400 m处侦察，发现一辆蓝方汽车在公路上疾驶．他用红外测距仪测得汽车与他相距400 m；过了10 s，测得汽车与他相距500 m．你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10 s的平均速度吗？
【方法指导】
(1)根据题意画出简单的示意图如图所示．
(2)在直角三角形中已知什么边？要求什么边？
在直角三角形中已知斜边和一条直角边，要求另一条直角边．
(3)如何计算蓝方汽车的速度？
由题意，得AC＝__400_m__，AB＝__500_m__，由勾股定理，得BC＝__300_m__，
所以蓝方汽车这10 s的平均速度为__300÷10＝30(m/s)__．
【例2】(教材P6随堂练习)如图是某沿江地区交通平面图的一部分(单位：km)，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本是5 000万元/km，该沿江高速公路的建设成本预计是多少？
【方法指导】利用勾股定理求出斜边OM，OQ的长，再计算建设成本．
解：在Rt△MON中，由勾股定理，得OM2＝MN2＋NO2，
即OM2＝302＋402＝2 500，
∴OM＝50 km.
在Rt△OPQ中，由勾股定理，得OQ2＝OP2＋PQ2，
即OQ2＝502＋1202＝16 900，
∴OQ＝130 km，
5 000×(50＋130)＝900 000(万元).
答：该沿江高速公路的建设成本预计是900 000万元．
活动4 随堂练习
1．放学以后，小红和小颖分别沿着东北方向和西北方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40 m/min，小红用15 min到家，小颖用20 min到家，小红和小颖家的距离为 (C)
A．600 m B．800 m
C．1 000 m D．不能确定
2．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠CBD＝90°，AD＝4，AB＝3，BC＝12，则以DC为边的正方形DCEF的面积是__169__．
3．如图，一架云梯长10 m，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面6 m，要使梯子顶端离地面8 m，则梯子的底部在水平方向要向左滑动__2__m.
4．如图，受某次台风的影响，一棵高18 m的大树断裂，树的顶部落在离树根底部12 m处，这棵树断裂后有多高？
解：设这棵树断裂后高x m.
根据题意，得x2＋122＝(18－x)2，
解得x＝5.
答：这棵树断裂后高5 m．
活动5 课堂小结与作业
学生活动：谈谈本节课的收获与体会．
教学说明：学生先独立完成小结，在学生回答的过程中，老师引导学生将本节课的知识系统化．
作业：教材P8～9习题1.1中的T4、T6、T7.
勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，设计了拼图活动，先让学生从形上感知，再层层设问，从面积入手，师生共同探究得到方法1，最后由学生独立探究得到方法2，这样使学生较容易地突破了本节课的难点．
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