1.2 一定是直角三角形吗 教学设计 2025-2026学年数学北师大版八年级上册

2　一定是直角三角形吗
●情境导入　展示一根用13个等距的结分成的等长的12段的绳子，请三个同学上台按老师的要求操作．
甲：同时握住绳子的第一个结和第十三个结．
乙：握住第四个结．
丙：握住第八个结．
拉紧绳子，让一个同学用量角器，测出这个三角形其中的最大角，发现这个角是多少度？古埃及人曾用这种方法得到直角，这三边满足了什么条件？怎样的三角形才能成为直角三角形呢？这就是我们今天要探究的内容．
【教学与建议】教学：通过实践操作探究直角三角形，活跃课堂气氛，激发学生探究的热情．建议：小组合作，观察发现并归纳直角三角形判定方法．
【情景导入】
播放相声《反正话》．
表演者：马季、于世猷．
马：你别吹，今天当着各位老师和同学的面我来考考你，咱们来一段反正话．
于：什么叫做反正话呢？
马：就是我说一句话，你把这句话反过来再说一遍，能说上来就算你聪明！
于：咱们可以试试．
马：我脑门子．于：我门(没)脑子！
马：我眼珠．于：我猪眼！不像话啊！
马：我是孙猴子．于：我是猴孙子！你说点好听的！
听了上面这段相声大家都非常开心，其实在我们数学上也有很多定理可以反过来说，比如我们刚刚学过的勾股定理，如果把勾股家理反过来说，大家说还成立吗？
【教学与建议】教学：通过一段引人发笑的经典相声引入新课，活跃课堂气氛，引导学生反过来说勾股定理，激发学生探究直角三角形判别的热情．建议：同学们反过来说勾股定理时，语言可能不够规范，老师要加以引导，规范表述，对其正确性的探究放在下一环节进行．
命题角度1　直接判别直角三角形
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
【例1】(1)下列长度的四组线段中，能组成直角三角形的是 (D)
A．a＝1，b＝2，c＝2 B．a＝2，b＝3，c＝4
C．a＝2，b＝4，c＝5 D．a＝3，b＝4，c＝5
(2)若线段a，b，c能组成直角三角形，则它们的比值可能是 (D)
A．1：2：4 B．1：3：5 C．3：4：7 D．5：12：13
命题角度2　三角形形状的判定
若a2＋b2＝c2，则三角形为直角三角形；若a2＋b2＞c2，则三角形为锐角三角形；若a2＋b2＜c2，则三角形为钝角三角形．
【例2】(1)正方形网格中的△ABC如图所示，若小方格边长为1，则△ABC的形状为 (A)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上答案都不对
(2)已知|x－12|＋(y－13)2与z2－10z＋25互为相反数，则以x，y，z为边的三角形是__直角__三角形．
命题角度3　勾股数的确定
确定勾股数时一定要注意：①三个数据a，b，c一定满足a2＋b2＝c2；②勾股数必须是正整数．
【例3】(1)有下列各组数：①1，2，3；②3，4，5；③0.3，0.4，0.5；④－10，24，26.其中，是勾股数的有__②__．(填序号)
(2)有一组勾股数，其中两个数分别是17和8，则第三个数是__15__．
命题角度4　勾股定理及其逆定理的综合运用
解这类题的常规思路是：首先根据线段长度判定直角三角形，进而利用勾股定理计算．
【例4】(1)小勋要求△ABC最长边上的高，测得AB＝8 cm，AC＝6 cm，BC＝10 cm，则可知最长边上的高是 (B)
A．48 cm B．4.8 cm C．0.48 cm D．5 cm
(2)如图，在四边形ABDC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，CD＝13，BD＝12，这个四边形的面积是__36__．
高效课堂　教学设计
1．掌握直角三角形的判别方法，并能进行简单的应用；理解勾股数的概念并能熟记常用的勾股数．
2．经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力和归纳能力．
3．通过应用直角三角形的判别方法解决实际问题，体验数形结合的应用．
▲重点
通过边长判断一个三角形是否是直角三角形．
▲难点
理解并掌握勾股定理的逆定理．
活动1　创设情境　导入新课(课件)
多媒体出示问题：
1．在直角三角形中，三边的长度之间有什么关系？
2．如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是不是直角三角形呢？
活动2　实践探究　交流新知
【探究1】下面有三组数，分别是一个三角形的三边长a，b，c：①5，12，13；②7，24，25；③8，15，17.
问题1：这三组数都满足a2＋b2＝c2吗？
问题2：分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？学生分为4人活动小组，每个小组可以任选其中的一组数．
勾股定理 勾股定理的逆定理
内容 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形
已知 直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c 三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2
结论 a2＋b2＝c2 三角形是直角三角形
用途 是直角三角形的一个性质 判定直角三角形的一种方法
【探究2】1，，是勾股数吗？
学生思考回答：不是，勾股数是正整数，如3，4，5；6，8，10；5，12，13……
【归纳】如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．
活动3　开放训练　应用举例
【例1】教材P10例题
【方法指导】根据三边长是否满足a2＋b2＝c2来判断．
解：在△ABD中，AB2＋AD2＝__BD2__，所以△ABD是__直角__三角形，__∠A__是直角．
在△BCD中，BD2＋BC2＝__CD2__，所以△BCD是__直角__三角形，∠DBC是__直角__．
因此这个零件符合要求．
【例2】将一根30 m长的细绳折为3段，围成一个三角形，其中一条边比较短边长7 m，比较长边短1 m，请你判断这个三角形的形状．
【方法指导】判断三角形的形状，先求三角形的三边长．
解：设中间长的边为x m，则较长边为(x＋1)m，较短边为(x－7)m.
根据题意，得x＋x＋1＋x－7＝30，
解得x＝12，则x＋1＝13，x－7＝5.
∵52＋122＝132，
∴这个三角形的形状是直角三角形．
活动4　随堂练习
1．以下列各组数为三边长的三角形中，是直角三角形的有 (B)
①3，4，5；②2，3，4；③32，42，52；④6，8，10.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．三角形的三边长分别是a，b，c，且满足等式(a＋b)2－c2＝2ab，则此三角形是 (A)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
3．将直角三角形的三边扩大10倍后，得到的三角形是 (A)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
4．如图，AB＝3，CB＝4，∠ABC＝90°，CD＝13，AD＝12.求该图形的面积．
解：连接AC.
∵在Rt△ACB中，AB＝3，CB＝4，
∴AC＝5.
在△ACD中，
∵AC2＋AD2＝52＋122＝132＝DC2，
∴△ADC为直角三角形，∠CAD＝90°，
∴该图形的面积为S△ADC－S△ACB＝×5×12－×3×4＝24.
活动5　课堂小结与作业
学生活动：1.请你总结一下，判断一个三角形是否是直角三角形都有哪些方法？
2．通过此次实验活动，你学到了什么？你感受最深的是什么？
教学说明：体会直角三角形的判别方法；培养学生积极参与数学活动的意识.
作业：教材P11随堂练习T1、T2，P11～12习题1.2中的T1、T3.
这节课注重引导学生积极参与实验活动，从中体验任何一个数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循“特殊→一般”的发展规律．