1.3 勾股定理的应用 教学设计 2025-2026学年数学北师大版八年级上册

3　勾股定理的应用
教师备课　素材示例
●复习导入　1.勾股定理：直角三角形两直角边的__平方和__等于__斜边的平方__．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.
2．直角三角形的判别条件：如果三角形的三边长a，b，c满足__a2＋b2＝c2__，那么这个三角形是直角三角形．
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，∠C＝90°，c＝25，b＝24，则a＝__7__．
4．三角形的三个内角之比为1：2：3，则此三角形是__直角三角形__，若相对应的三边长分别为a，b，c，则它们的关系是__a2＋b2＝c2__．
【教学与建议】教学：通过复习勾股定理及其简单计算、勾股定理的逆定理，为勾股定理在日常生活中的应用打下基础．建议：勾股定理的概念描绘要语言规范，题目逐步出示，集体校正，及时纠错．
●情景导入　有一块长方形绿地，绿地周边是小路，在绿地旁边的B处有健身器材．居住在A处的居民为了走近路而不惜践踏草地直接从A到B.
(1)各位同学，你知道他们为什么不走绿地周边的小路吗？
(2)如图，假设入口A到拐角C处3 m，拐角C到健身器材B处4 m，你能计算出直接从A到B，他们少走了几步吗？(假设2步为1 m)
解：(1)两点之间线段最短；
(2)∵AB2＝AC2＋BC2＝32＋42＝25，
∴AB＝5 m，5×2＝10(步).
3＋4＝7(m)，7×2＝14(步).
14－10＝4(步).
答：他们少走了4步．
【教学与建议】教学：让学生回顾勾股定理知识，为新课的学习做好铺垫．后面又以实际问题引领学生思考导入课题．建议：引导学生理解勾股定理在生活中的应用．
命题角度1　利用勾股定理求平面图形有关线段的长度
利用勾股定理求平面图形有关线段的长度问题，构造直角三角形求解．
【例1】(1)在△ABC中，AB＝10，AC2＝40，BC边上的高AD＝6，则BC＝__6或10__．
(2)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝20，BD＝16，DC＝5，求AC的长．
解：在Rt△ABD中，AD2＝AB2－BD2＝202－162＝144.
在Rt△ADC中，AC2＝AD2＋DC2＝144＋52＝169.
∵132＝169，∴AC＝13.
命题角度2　利用勾股定理解决实际生活中的长度问题
利用勾股定理求长度问题，关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．在构造的直角三角形中，利用勾股定理求解．
【例2】(1)小华想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2 m，当他把绳子的下端拉开10 m后，发现绳子刚好接触到地面，则旗杆的高度是 (C)
A．10 m B．12 m C．24 m D．20 m
(2)你听说过亡羊补牢的故事吧？为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在高0.9 m，宽1.2 m的长方形栅栏门的相对角顶点间加固一条木板，则这条木板至少需__1.5_m__长．
高效课堂　教学设计
1．能灵活运用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题．
2．通过观察图形，探索图形间的关系，发展和培养空间观念．
3．在将实际问题抽象成几何图形时，渗透数学建模思想．
▲重点
应用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题．
▲难点
从实际问题中合理抽象出数学模型．
活动1　创设情境　导入新课(课件)
1．如图①，小华将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为多少米？
　　　　
2．如图②是学校的旗杆示意图，旗杆上的绳子垂到了地面，并多出一段，现在老师想知道旗杆的高度，你能帮老师想个办法吗？说出你的设计方案．
活动2　实践探究　交流新知
【探究1】直角三角形的判定
装修工人李叔叔想检测某块装修用砖(如图)的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB.
(1)如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？
(2)李叔叔量得边AD长是30 cm，边AB长是40 cm，点B，D之间的距离是50 cm.边AD垂直于边AB吗？
(3)如果李叔叔随身只带了一个长度为20 cm的刻度尺，那么他能检验边AD是否垂直于边AB吗？
解：(2)∵302＋402＝__502__，
∴__AD2＋AB2__＝__BD2__，
∴AD__⊥__AB.
(3)在AB，AD边上各量出较短的线段AB′，AD′，若__B′D′2＝AB′2＋AD′2__，则__AD⊥AB__.
【归纳】判断线段的垂直关系时，一般是把线段放到三角形中，利用勾股定理的逆定理证得直角三角形，进而得到线段的垂直关系．
【探究2】勾股定理的应用
教材P13尝试·思考．
问题1：在Rt△DEF中，三条边满足什么条件？
问题2：将正方形纸片沿FG翻折，可以得到哪些相等线段？
问题3：你能求出DF的长吗？
解：设DF长x cm，则EF长为(8－x) cm，
∵正方形纸片ABCD的边长为8 cm，点E为AD中点，
∴ED＝AD＝4 cm.
在Rt△DEF中，由勾股定理，得DE2＋DF2＝EF2，
即42＋x2＝(8－x)2，
解得x＝3.
∴DF的长为3 cm.
【归纳】在直角三角形中，运用勾股定理解决边的长度问题．
活动3　开放训练　应用举例
【例1】教材P13例题．
【方法指导】运用勾股定理求解．
解：设水池的深度OA为x尺，则芦苇的长度OB为__(x＋1)__尺．由于芦苇位于水池中央，所以AC为__5__尺．在Rt△OAC中，由勾股定理，可得__AC2＋OA2＝OC2__，即__52＋x2＝(x＋1)2__．解得x＝12.12＋1＝13.因此水池的深度是__12__尺，芦苇的长度是__13__尺．
【例2】甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h的速度向正东行走，1 h后乙出发，他以5 km/h的速度向正北行走．上午10：00甲、乙两人相距多远？
【方法指导】根据题意，画出图形，再利用勾股定理求解．
解：如图，已知A是甲、乙的出发点，10：00甲到达B点，乙到达C点，则AB＝2×6＝12(km)，AC＝1×5＝5(km).
在Rt△ABC中，BC2＝AC2＋AB2＝52＋122＝169＝132.
∴BC＝13 km.
故甲、乙两人相距13 km.
活动4　随堂练习
1．小雨用竹竿扎了一个长40 cm、宽30 cm的长方形框架，由于四边形容易变形，需要用一根竹竿作斜拉杆将四边形定形，则斜拉杆最短需__50__cm.
2．如图，有两棵树，一棵高13 m，另一棵高8 m，两树相距12 m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，至少飞了__13__m.
　　　
3．如图，阴影部分的半圆的面积是多少？(π取3.14)
解：62＋82＝100＝102，
∴半圆的直径为10.
π×≈39.25.
活动5　课堂小结与作业
学生活动：通过本堂课的学习，你有哪些收获？你有哪些困惑？
教学说明：同学们经历了运用勾股定理解决简单实际问题的过程，体会转化思想及数学和生活的密切联系．
作业：教材P14～15习题1.3中的T1、T2、T3.
这节课老师从“入趣点”着手，通过学生身边熟悉的问题引入．同时本节课知识容量大，所以在教学中板书必不可少，它既能给学生的思维增添时间和空间，又可以规范学生解题的格式．