综合与实践 利用拼接探究勾股定理
勾股定理:直角三角形两直角边a和b的平方和等于斜边c的平方,即a2+b2=c2.这是初中数学中的一个重要定理.长期以来,人们对它进行了大量的研究,探索出许多不同的字母方法,丰富了研究数学问题的方法和手段,促进了数学的发展.证明勾股定理,一般是通过割补拼接法构建特殊的图形,根据它们面积之间的关系进行推导.
一、拼接成一个正方形
方法1 如图1,在边长为c的正方形中,有4个斜边为c的全等直角三角形,它们的直角边分别为a,b(b>a),利用这个图形推导勾股定理.
推导如下:由图1可知,小正方形的边长为(b-a),大正方形的面积等于边长的平方,即S=c2.大正方形的面积又等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积之和,即S=(b-a)2+4×ab.比较两式,得到c2=(b-a)2+4×ab,所以a2+b2=c2.
这是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形,被称为“赵爽弦图”.
方法2 如图2,在边长为(a+b)的正方形中,有4个斜边为c的全等直角三角形,它们的直角边分别为a,b,利用这个图形也可以推导勾股定理.
推导如下:由图2可知,大正方形的边长为(a+b),大正方形的面积等于边长的平方,即S=(a+b)2.大正方形的面积又等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积之和,即S=c2+4×ab.比较两式,得到(a+b)2=c2+4×ab,所以a2+b2=c2.
二、拼接成两个正方形
方法3 用4个全等的直角边分别为a,b,斜边为c的直角三角形和1个边长为c的小正方形拼成如图3-1所示的边长为(a+b)的大正方形,再用4个全等的直角边分别为a,b,斜边为c的直角三角形和边长分别为a,b的小正方形拼成如图3-2所示的边长为(a+b)的大正方形.
推导如下:
由图3-1可知,大正方形的面积=c2+4×ab.
由图3-2可知,大正方形的面积=a2+b2+4×ab,比较两式,易得a2+b2=c2.
三、拼接成等腰梯形
方法4 用4个全等的直角边分别为a,b,斜边为c的直角三角形和2个直角边长为c的等腰直角三角形拼成如图4所示的等腰梯形.
推导如下:等腰梯形的上底为2a,下底为2b,高为(a+b),则梯形的面积为(2a+2b)(a+b).又梯形的面积为4×ab+2×c2,比较两式,易得a2+b2=c2.
四、拼接成直角梯形
方法5 用2个全等的直角边分别为a,b,斜边为c的直角三角形和1个直角边为c的等腰直角三角形拼接成如图5所示的直角梯形.
推导如下:这个直角梯形的两底边分别为a,b,高为(a+b),则梯形的面积为(a+b)(a+b),又梯形的面积为2×ab+c2,比较两式,易得a2+b2=c2.
这就是美国第20任总统伽菲尔德1876年4月1日在《新英格兰教育日志》上发表的对勾股定理的证明方法,既简捷明快,又直观易懂.综合与实践 利用拼接探究勾股定理
勾股定理:直角三角形两直角边a和b的平方和等于斜边c的平方,即a2+b2=c2.这是初中数学中的一个重要定理.长期以来,人们对它进行了大量的研究,探索出许多不同的字母方法,丰富了研究数学问题的方法和手段,促进了数学的发展.证明勾股定理,一般是通过割补拼接法构建特殊的图形,根据它们面积之间的关系进行推导.
一、拼接成一个正方形
方法1 如图1,在边长为c的正方形中,有4个斜边为c的全等直角三角形,它们的直角边分别为a,b(b>a),利用这个图形推导勾股定理.
推导如下:由图1可知,小正方形的边长为(b-a),大正方形的面积等于边长的平方,即S=c2.大正方形的面积又等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积之和,即S=(b-a)2+4×ab.比较两式,得到c2=(b-a)2+4×ab,所以a2+b2=c2.
这是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形,被称为“赵爽弦图”.
方法2 如图2,在边长为(a+b)的正方形中,有4个斜边为c的全等直角三角形,它们的直角边分别为a,b,利用这个图形也可以推导勾股定理.
推导如下:由图2可知,大正方形的边长为(a+b),大正方形的面积等于边长的平方,即S=(a+b)2.大正方形的面积又等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积之和,即S=c2+4×ab.比较两式,得到(a+b)2=c2+4×ab,所以a2+b2=c2.
二、拼接成两个正方形
方法3 用4个全等的直角边分别为a,b,斜边为c的直角三角形和1个边长为c的小正方形拼成如图3-1所示的边长为(a+b)的大正方形,再用4个全等的直角边分别为a,b,斜边为c的直角三角形和边长分别为a,b的小正方形拼成如图3-2所示的边长为(a+b)的大正方形.
推导如下:
由图3-1可知,大正方形的面积=c2+4×ab.
由图3-2可知,大正方形的面积=a2+b2+4×ab,比较两式,易得a2+b2=c2.
三、拼接成等腰梯形
方法4 用4个全等的直角边分别为a,b,斜边为c的直角三角形和2个直角边长为c的等腰直角三角形拼成如图4所示的等腰梯形.
推导如下:等腰梯形的上底为2a,下底为2b,高为(a+b),则梯形的面积为(2a+2b)(a+b).又梯形的面积为4×ab+2×c2,比较两式,易得a2+b2=c2.
四、拼接成直角梯形
方法5 用2个全等的直角边分别为a,b,斜边为c的直角三角形和1个直角边为c的等腰直角三角形拼接成如图5所示的直角梯形.
推导如下:这个直角梯形的两底边分别为a,b,高为(a+b),则梯形的面积为(a+b)(a+b),又梯形的面积为2×ab+c2,比较两式,易得a2+b2=c2.
这就是美国第20任总统伽菲尔德1876年4月1日在《新英格兰教育日志》上发表的对勾股定理的证明方法,既简捷明快,又直观易懂.
