2.1 认识实数 教学设计 2025-2026学年数学北师大版八年级上册

第二章　实数
1　认识实数
第1课时　无理数的产生
1．通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性．
2．通过计算器探究无理数是无限不循环小数．
3．能判断出不能用有理数表示的数．
▲重点
了解无理数与有理数的区别，并能正确判断．
▲难点
把两个边长为1的正方形剪拼成一个大正方形的动手操作过程．
活动1　创设情境　导入新课(课件)
用多媒体播放“龟免赛跑”的故事，如图，一水池呈直角三角形状，池边AC＝300 m，BC＝400 m，龟的速度为8 m/min，兔的速度为25 m/min，龟兔均从点C出发，龟沿CB跑．兔子沿C→A→B跑，谁先到达终点B呢？
老师：今天的龟免赛跑故事谁会取胜？
学生计算之后得出结论．
老师：它们各用多长时间？
学生：龟用50 min，免用32 min.
老师：如果我们将BC＝400 m改成200 m结果会怎样？
学生先自己计算，再小组讨论，但求不出结果．
老师：为什么算不出呢？我们如果设AB＝m，m2＝130，你能求出m吗？它是整数吗？它是分数吗？它是有理数吗？
学生讨论之后排除整数，因为整数的平方没有等于130的；也排除分数，因为分数的平方是分数，既不是整数也不是分数，因此它不是有理数．
师：以上的例子说明我们学习的有理数已经不够用了，在日常生活中不能用有理数表示的现象还有很多，现在让我们动手体验一下吧！
活动2　实践探究　交流新知
【探究1】阅读教材P25
已知两个正方形的边长均为1，将这两个正方形进行裁剪，然后重新拼接成一个大正方形，假设新拼接后的大正方形的边长为a，则a是多少？又是怎样一个数？
(1)首先我们知道a是正方形的边长，所以从正负性来讲，a肯定是__正__数．
(2)再来看看拼接后的正方形的面积，因为两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，所以可以计算出新拼接后的大正方形的面积为__2__．
(3)结合12＝1，22＝4，那么a2＝2.a是存在的．
(4)观察拼接后的图形可知，a既不是__整数__，也不是__分数__，所以a__不是__有理数．
【归纳】a在数学学习中存在，但不是有理数．
【探究2】阅读教材P25尝试·思考
(1)以直角三角形斜边为边的正方形的面积是__5__；
(2)正方形的边长为b，则b2＝__22＋12__；
(3)b是有理数吗？
__22＜5＜32，没有相同整数或分数的积等于5，b不是有理数．
【归纳】a，b都存在，但都不是有理数．
活动3　开放训练　应用举例
【例1】(1)面积为2的正方形边长a究竟是多少呢？
　　　　
【方法指导】利用12＜a2＜22探究a的取值范围．
边长a 面积S
1＜a＜2 1＜S＜4
1.4＜a＜1.5 1.96＜S＜2.25
1.41＜a＜1.42 1.988 1＜S＜2.016 4
1.414＜a＜1.415 1.999 396＜S＜2.002 225
1.414 2＜a＜1.414 3 1.999 961 64＜S＜2.000 244 49
还可以继续算下去吗？a可能是有限小数吗？
(2)面积为5的正方形的边长b的值是多少？b可能是有限小数吗？与同伴进行交流．
事实上，a＝1.414 213 56……，b＝2.236 067 977……，它们都__不是__有理数，都是__无限不循环小数__．
【归纳】无限不循环小数不是有理数．
【例2】下列各数中，哪些不是有理数？
3．14，－，0.，0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2)，π.
【方法指导】无限不循环小数不是有理数．
解：不是有理数的有：0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2)，π．
活动4　随堂练习
1．如图，正三角形ABC的边长为4，一边上的高为h，h是整数吗？h是分数吗？
解：易得h2＝42－22＝12，
∴h不是整数和分数．
2．已知直角三角形的两条直角边分别是7 cm和6 cm，斜边长是x cm，斜边x在哪两个整数之间？
解：93．如图，阴影部分是正方形，求出此正方形的面积．此正方形的边长是有理数吗？为什么？
解：正方形的面积为122－72＝95.此正方形的边长不是有理数，因为没有整数或分数的平方等于95，所以正方形的边长不是整数也不是分数，即不是有理数．
活动5　课堂小结与作业
学生活动：1.通过拼图活动，结合实际背景，让学生感受有理数又不够用了.
2．能判断一个数是不是有理数．
教学说明：梳理和判断是不是有理数．
作业：教材P26随堂练习T1.
本节课在无理数特征探讨过程中注意概念的引导，问题设问尽量简单，靠近学生所学知识点展开，循序渐进，让学生在老师的指导下得出结论．
第2课时　实数
1．了解实数的意义，能对实数按要求进行分类．
2．了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义．
3．用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则、运算律在实数范围内正确计算．
▲重点
无理数和实数的意义．
▲难点
利用数轴上的点表示无理数．
活动1　创设情境　导入新课(课件)
哪些数是有理数，哪些数不是有理数：
2，，π，－，3.，，－，0，0.373 773 777 3…(相邻两个3之间的7的个数逐次加1)．
有理数：{2，，－，3.，，－，0}；
不是有理数：{π，0.373 773 777 3…(相邻两个3之间的7的个数逐次加1)}．
活动2　实践探究　交流新知
【探究1】实数的分类
阅读教材P26下面部分
知识归纳：__有理数__和__无理数__统称为实数．
无理数和有理数一样，也有正负之分．
分类方法：(1)实数　(2)实数
继续完成：把上题各数填到相应的集合内：
正实数集合：{　2，，π，3.，，0.373 773 777 3…(相邻两个3之间的7的个数逐次加1)， …}；
负数集合：{　－，－， …}；
【探究2】在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义
议一议：
1．π与__－π__互为相反数，7与____互为倒数．
2．|－|＝____，|0|＝__0__，|－π|＝__π__．
3．3－π的绝对值是__π－3__．
想一想：
(1)a是一个实数，它的相反数为__－a__，绝对值为__|a|__．
(2)如果a≠0，那么它的倒数是____.
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用．
【探究3】实数与数轴上的点的对应关系
(多媒体出示)教材P28图2－4，认真观察，探讨下列问题：
议一议：
两个正方形，边长分别是a，b，且满足a2＝2，b2＝5.
(1)如图，OA＝OB，数轴上点A对应a，b中的哪个数？
(2)你能在数轴上找到另一个数对应的点吗？与同伴进行交流．
【归纳】(1)每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．也就是说，实数与数轴上的点是一一对应的．
(2)在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大．
活动3　开放训练　应用举例
【例1】将下列各数按要求填空：－0.313 131…，，，3.14，0.482 910 200 200 02…(相邻两个2之间的0的个数逐次加1)．
【方法指导】实数的分类．
有理数：__－0.313_131…，，3.14__．
无理数：__，0.482_910_200_200_02…(相邻两个2之间的0的个数逐次加1)…__．
正实数：__，，3.14，0.482_910_200_200_02…(相邻两个2之间的0的个数逐次加1)…__．
【例2】如图，数轴上表示1和a的点分别为A，B，点B关于点A的对称点是C，O为原点．
【方法指导】利用数轴表示实数．
用字母a表示线段长度：AB＝__a－1__，AC＝__a－1__，OC＝__2－a__．
活动4　随堂练习
1．在下列实数中，无理数是 (C)
A．0 B． C． D．8
2．下列说法正确的是 (D)
A．无限小数不是有理数 B．无限小数是无理数
C．数轴上的点与有理数一一对应 D．数轴上的点与实数一一对应
3．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是 (A)
A．|a|＜|b| B．a＞b
C．a＜－b D．|a|＞|b|
4．如图，数轴上A，B分别与实数－1，1对应，用圆规在数轴上以B为圆心画点C，则与点C对应的实数是__3__．
活动5　课堂小结与作业
学生活动：这节课学习了什么知识？你的收获是什么？
教学说明：掌握实数的概念及分类、运算，会正确在数轴上表示实数．
作业：教材P28随堂练习，P29习题2.1中的T2、T3.
关注学生对实数分类的理解，同时运用类比的方法，得到对于实数的性质：相反数、绝对值、倒数和意义与有理数范围内完全一样．通过数形结合的方式，运用数轴，让学生对“实数与数轴上的点是一一对应”有更清晰的认识．