2.2 平方根与立方根 教学设计（4课时） 2025-2026学年数学北师大版八年级上册

2　平方根与立方根
第1课时　算术平方根
1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个正数的算术平方根．
2．经历算术平方根及其性质的产生过程，能用概念及性质解决有关问题．
▲重点
算术平方根的概念．
▲难点
算术平方根的性质的应用．
活动1　创设情境　导入新课(课件)
前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图形(投影教材P31图2－5)完成下列问题：
问题1：x2＝__2__，y2＝__3__，z2＝__4__，w2＝__5__．
问题2：x，y，z，w中，__z__是有理数，__x，y，w__是无理数．
活动2　实践探究　交流新知
【探究】认识算术平方根
(投影出示)
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x就叫作__a的算术平方根__，记作____，读作“__根号a__”．特别地，我们规定：0的算术平方根是__0__，即＝0.
问题1：你能根据132＝169说出169的算术平方根是多少吗？
169的算术平方根是__13__．
问题2：你能根据x2＝7(x>0)说出7的算术平方根是多少吗？
7的算术平方根是__x__．
活动3　开放训练　应用举例
【例1】(教材P31例1)求下列各数的算术平方根：
(1)900；　(2)1；　(3)；　(4)14.
【方法指导】利用算术平方根的性质求解．
解：(1)因为__30__2＝900，所以900的算术平方根是__30__，即＝__30__；
(2)因为__1__2＝1，所以1的算术平方根是__1__，即＝__1__；
(3)因为____2＝，所以的算术平方根是____，即＝____；
(4)14的算术平方根是____．
【例2】(教材P32例2)由静止自由下落的物体下落的距离s(单位：m)与下落时间t(单位：s)的关系为s＝4.9t2.有一铁球从19.6 m高的建筑物上由静止自由下落，到达地面需要多长时间？
【方法指导】一个正数的算术平方根是正数．
解：将s＝19.6代入公式s＝4.9t2，得t2＝__4__，所以t＝____＝__2__．
因此，铁球到达地面需要__2__s.
【例3】求一个数的算术平方根．
(1)＝__64__；
(2)＝____；
(3)＝__7.2__．
【方法指导】当a为负数时，＝__－a__．
活动4　随堂练习
1．下列各式中正确的是 (D)
A．＝±9 B．＝－8
C．()2＝－3 D．(－)2＝5
2．求下列各数的算术平方根：
(1)81；(2)；(3)0.36；(4)10-6；(5)225；(6).
解：(1)9；(2)；(3)0.6；(4)10-3；(5)15；(6)1.
3．已知|x－2|＋＝0，求yx的算术平方根．
解：∵|x－2|＋＝0，∴x－2＝0，y－4＝0，∴x＝2，y＝4，∴yx＝42＝16.∵＝4，∴yx的算术平方根为4.
4．在户外活动中，刺激度排名榜首的是“蹦极”(如图)．“蹦极”就是跳跃者站在高约40 m以上(相当于10层楼高)的跳台上，把一端固定的长长的橡皮条绑牢跳下，跳跃者在空中享受“自由落体”[已知自由下落物体下落的距离s(m)与下落时间t(s)的关系为s＝4.9t2]．如果“蹦极”运动起跳点的高度为44.1 m，那么跳跃者在空中能享受多少秒的“自由落体”？
解：把s＝44.1代入s＝4.9t2，得t2＝9，所以t＝＝3，故跳跃者在空中能享受3 s的“自由落体”．
活动5　课堂小结与作业
学生活动：这节课的主要收获是什么？有什么感受？
教学说明：掌握算术平方根的概念和性质．
作业：教材P32随堂练习T1、T2、T3，P37习题2.2中的T1.
这节课的重点是算术平方根的概念教学和正数的算术平方根的求法，在讲解概念时应注意概念的自然引导和概念的解释，特别是在x2＝a中，正数x是a的算术平方根，x为正数，这一点一定要强调清楚．通过师生间频繁地互动，使学生深刻理解概念，准确表述，并通过练习巩固掌握．
第2课时　平方根
1．了解平方根、开平方的概念，会求一个正数的平方根．
2．了解平方根和算术平方根的性质．
3．使学生明确平方根与算术平方根的区别和联系，提高学生学习数学的能力.
▲重点
平方根和开平方的概念、性质．
▲难点
平方根与算术平方根的区别与联系．
活动1　创设情境　导入新课(课件)
上节课我们学习了算术平方根的概念、性质，知道若一个正数x的平方等于a，即x2＝a，则x叫a的算术平方根，记作x＝，而且也是非负数，比如正数22＝4，则2叫作4的算术平方根，4叫做2的平方．但是(－2)2＝4，则－2叫做4的什么根呢？下面我们就来讨论这个问题．
活动2　实践探究　交流新知
【探究1】探究新知
32＝( 9 ) (－3)2＝( 9 ) ( ±3 )2＝9
＝ ＝ ＝
02＝( 0 ) (　)2＝－4 ( 0 )2＝0 不存在
　　【探究2】形成概念
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫作a的平方根(也叫作二次方根)．而把正的平方根叫作算术平方根．
表达式：若x2＝a，那么x叫作a的平方根，记作±.
例：(±4)2＝16，则＋4和－4都是16的平方根，即16的平方根是±4；4是16的算术平方根．
【探究3】平方与开平方的关系
如果x2＝a，那么x＝±.求一个数a的平方根的运算，叫作__开平方__．
给出几组具体的数据，由平方探知开平方与平方的互逆关系．
【探究4】平方根的性质
(1)144的平方根是什么？
(2)0的平方根是什么？
(3)的平方根是什么？
(4)－4的平方根是什么？
【归纳】一个正数有__两个__平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是__0__本身，负数__没有__平方根．
【探究5】概念辨析
平方根与算术平方根的联系与区别：
联系：1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种．
2．只有非负数才有平方根和算术平方根．
3．0的平方根是0，算术平方根也是0.
区别：1.个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根．
2．表示不同：正数a的平方根表示为±，而算术平方根表示为.
活动3　开放训练　应用举例
【例1】(教材P33例3)求下列各数的平方根：
(1)64；(2)；(3)0.000 4；(4)(－25)2；(5)11.
【方法指导】灵活运用平方根的概念及性质解决问题．
解：(1)因为__(±8)2__＝64，所以64的平方根是__±8__，即±＝__±8__；
(2)因为____＝，所以的平方根是__±__，即±＝__±__；
(3)因为(±0.02)2＝0.000 4，所以0.000 4的平方根是__±0.02__，即±＝__±0.02__；
(4)因为(±25)2＝(－25)2，所以(－25)2的平方根是__±25__，即±＝__±25__；
(5)因为(±)2＝11，所以11的平方根是__±__.
【例2】若＋|y－2|＝0，求y－x的平方根．
【方法指导】根据非负数的性质求出x，y的值，再利用平方根的性质求平方根.
解：由题意，得x＋3＝0，y－2＝0，解得x＝__－3__，y＝__2__，y－x＝__5__，y－x的平方根是__±__．
活动4　随堂练习
1．下列各数中没有平方根的是 (B)
A．0 B．－4 C．20 D．104
2．25的平方根是 (A)
A．±5 B．5 C．－5 D．±25
3．81的平方根为__±9__；＝__10__．
4．求下列各数的平方根：
(1)0.04；　　(2)2；　　(3)(－17)2.
解：(1)±0.2；(2)±；(3)±17.
5．求下列各式中的x.
(1)16x2＝81；
解：x＝±；
(2)(x＋3)2－36＝0.
解：x1＝3，x2＝－9.
活动5　课堂小结与作业
学生活动：本节课的主要收获是什么？
教学说明：掌握平方根和开平方的概念，理解算术平方根与平方根之间的关系．
作业：教材P34随堂练习T1、T2、T3，P37～38习题2.2中的T2、T4、T5.
本节课为学生提供了富有数学含义的问题，引导学生充分进行交流、讨论与探索等数学活动，从中感受学习平方根的必要性．学生在理解平方根的概念时，易与算术平方根混淆，特别是符号表示，还应通过练习去体会．
第3课时　立方根
1．了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根．
2．会用立方运算求一个数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算．了解立方根的性质．
▲重点
立方根的概念和求法．
▲难点
立方根与平方根的联系及区别．
活动1　创设情境　导入新课(课件)
去年夏天天气特别干燥，我们小区定时供水，我们家用棱长为1 m的正方体水箱存满水，可供全家一天使用．请你帮老师算一算，我们家一天需要多少水呢？
如果停水8天，我们家该储存多少水呢？应该准备多大的正方体水箱呢？假如停水27天呢？
活动2　实践探究　交流新知
【探究1】立方根的定义
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x叫作a的__立方根(也叫作三次方根)__.
因为23＝8，所以__2__是8的立方根；－是－的__立方根__．
【探究2】开立方的定义
问题1：什么叫开平方？
问题2：类比开平方的定义，你能给出开立方的定义吗？
求一个数a的__立方根__的运算叫作开立方，a叫作__被开方数__．
【探究3】立方根的性质
问题1：2的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是8
问题2：－3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是－27
问题3：0的立方等于多少？
问题4：正数有几个立方根？ 0有几个立方根？负数有几个立方根？
【归纳】正数有__1__个正的立方根，负数有__1__个负的立方根，0的立方根是__0__.
【探究4】立方根的表示
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫作a的__立方根__(也叫作三次方根)．每个数a都有一个立方根，记作____，读作“__三次根号a__”．
活动3　开放训练　应用举例
【例1】(教材P35例5)求下列各数的立方根：
(1)－27；　(2)；　(3)0.216；　(4)－5.
【方法指导】利用立方根的概念求解．
解：(1)因为__(－3)__3＝－27，所以－27的立方根是__－3__，即＝__－3__；
(2)因为____3＝，所以的立方根是____，即＝____；
(3)因为__0.6__3＝0.216，所以0.216的立方根是__0.6__，即＝__0.6__；
(4)－5的立方根是____．
【例2】求下列各式的值：
(1)；(2)；(3)－；(4).
【方法指导】正数的立方根是正数，负数的立方根是负数．
解：(1)＝0.3；(2)＝－1；(3)－＝－；(4)＝＝－.
【例3】下列说法正确的有__④__．(填序号)
①－4没有立方根；②1的立方根是±1；③的立方根是；④－5的立方根是－；⑤64的算术平方根是±8.
【方法指导】根据立方根和算术平方根的概念进行判断．
活动4　随堂练习
1．判断正误：
(1)－8没有立方根； (×)
(2)1的立方根是±1； (×)
(3)的立方根是. (×)
2．求下列各式的值：
(1)；　　　　　(2)－；
(3)； (4).
解：(1)－0.4；(2)－；(3)－4；(4)－4.
3．已知＋|b3－27|＝0，求(a＋b)b的立方根．
解：由题意可知，a3＋64＝0，b3－27＝0，
解得a＝－4，b＝3，则(a＋b)b＝(－4＋3)3＝－1，
∴(a＋b)b的立方根是－1.
4．一个正方体的体积是125 cm3，它的表面积是多少？
解：正方体的边长为＝5(cm)，它的表面积为52×6＝150(cm2).
活动5　课堂小结与作业
学生活动：1.本节课的主要收获是什么？
2．你有什么感受？
教学说明：立方根的概念和性质的理解和运用．
作业：教材P35～36随堂练习T1、T2，P38习题2.2中的T3、T7.
本节课给足学生思考、计算的时间，让学生在原有的基础上自主完成新知识的构建．重点理解立方根的概念及其性质．
第4课时　估算与用计算器开方
1．能估计一个无理数的大致范围；通过估算比较两个数的大小．
2．用计算器求平方根和立方根及有关混合运算．
3．通过教学过程的参与，培养学生学习数学的主动性，发展学生数感．
▲重点
掌握估算方法，会根据实际问题用计算器求平方根和立方根．
▲难点
通过估算比较两个数的大小．
活动1　创设情境　导入新课(课件)
师：同学们知道我们班男生和女生的平均身高吗？
生：男生大约170 cm，女生大约158 cm.
师：你是怎样得出结果的呢？
生：猜的．
师：“猜”的意思就是根据自己的判断估计得出的结果，它并不是准确值，但也不是无中生有，是有一定的理论依据的，这节课我们就来学习有关估算的方法.
活动2　新知探究　合作交流
【探究1】估算
(多媒体出示)
某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园．已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400 000 m2.
(1)公园的宽大约是多少？它有1 000 m吗？
解：设公园的宽是x m，则长为__2x__m.根据题意，得__x·2x__＝400 000，所以x2＝__200_000__.所以公园的宽x为__200_000__的算术平方根．若x＝1 000，则x2＝1 000 000.因为1 000 000>__200_000__，所以它没有1 000 m.
(2)如果要求结果精确到10 m，它的宽大约是多少？
解：用计算器依次计算4102 ，4202 ，4302……看200 000在哪两数的平方之间：
x x2
400440　　因为x＝__450__时，x2更接近200 000，所以它的宽大约是__450__m.
(3)该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800 m2 ，你能估计它的半径吗？(π取3.14，结果精确到1 m)
解：设它的半径为r m，则__πr2__ ＝800，所以r2≈__255__，因为225<255<256，所以__15__【归纳】估算的步骤如下：
(1)估计是几位数；
(2)确定最高位上的数字(如百位)；
(3)确定下一位上的数字(如十位)；
(4)依次类推，确定个位上的数字或精确到小数点后的某一位．
【探究2】用计算器进行开方运算
提出问题：(1)观察计算器面板，开方运算用到哪些键？
(2)你会用计算器求下列各式的值吗？(结果精确到0.000 1)
①；　　　　②.
(3)任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算……，随着开平方次数的增加，你发现了什么？改用另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有类似的规律．
【归纳】1.用计算器进行开平方、开立方的方法：
(1)开方运算要用到按键；
(2)对于开平方运算，按键顺序为：，被开方数，，；
(3)对于开立方运算，按键顺序为：，，被开方数，.
注：用不同型号的计算器进行开方运算，按键顺序可能有所不同，如用有些计算器进行开平方运算时，先按被开方数，再按“”．
2．在开平方运算时，随着开方次数的增加，所得结果越来越小，越来越接近1.
活动3　开放训练　应用举例
【例1】教材P36例7.
【方法指导】根据估算的步骤方法，估出结果．
解：设梯子稳定摆放时它的顶端抵达的高度为x m，此时梯子底端到墙的距离恰为梯子长度的.根据勾股定理，得x2＋＝62，即x2＝32，x＝.
因为5.62＝31.36<32，所以>5.6.
因此，梯子稳定摆放时，它的顶端能抵达5.6 m高的墙头．
【例2】通过估算，比较下面各组数的大小．
(1)与3.85；
(2)与.
【方法指导】(1)利用估算方法；(2)化成分母相同的分数再比较．
解：(1)∵3.852＝14.822 5，
∴<3.85；
(2)＝.
∵4＋4>7，∴>.
【例3】利用计算器，比较下列各组数的大小．
(1)与；
(2)与.
【方法指导】正确利用计算器进行运算是解题关键．
解：(1)∵≈2.08，≈2.34，
∴<；
(2)∵＝0.875，≈0.31，
∴>.
活动4　随堂练习
1．估计＋1的值在 (B)
A．2和3之间 B．3和4之间
C．4和5之间 D．5和6之间
2．已知m＝＋，对于m的估算，正确的是 (B)
A．2C．43．用计算器求下列各式的值．(结果精确到0.000 1)
(1)≈__1.902_6__；
(2)－≈__－0.935_4__；
(3)≈__－0.932_2__；
(4)≈__6.895_0__．
4．如图，旗杆高10 m，旗杆顶部A与地面一固定点B之间要拉一笔直的铁索，已知固定点B到旗杆底部的距离是7 m，一工人找了长约12.5 m的铁索，这一长度够吗？
解：由题意，得AC＝10 m，BC＝7 m，
由勾股定理，得AB＝＝＝.
∵12.52＝156.25，
∴<12.5，
∴这一长度够．
活动5　课堂小结与作业
学生活动：这节课的收获是什么？
教学说明：掌握估算知识，会用估算比较数的大小，并会用计算器开方．
作业：教材P37随堂练习T1、T2、T3，P38习题2.2中的T8、T9、T10.
这节课的内容是让学生掌握估算的方法及动手用计算器开方，训练他们的估算能力．由于学生在生活中接触用估算解决实际问题的情况比较少，所以比较陌生，学习起来难度就比较大，因此在教学中需选取学生熟悉的问题，激发学生的学习兴趣．比如，本节课的教学中选取了“新建环保公园”的问题，与学生平时的生活密切联系，容易把学生的积极性调动起来．