2.3 二次根式 教学设计（3课时） 2025-2026学年数学北师大版八年级上册

3　二次根式
第1课时　二次根式的乘除法
1．认识二次根式和理解二次根式乘除法法则计算．
2．会用公式＝·(a≥0，b≥0)，＝(a≥0，b>0)进行二次根式的运算.
▲重点
灵活运用计算法则进行实数的四则运算．
▲难点
理解并运用二次根式的乘除法法则计算．
活动1　创设情境　导入新课(课件)
观察下列代数式：
，，，，(其中b＝24，c＝25)，这些式子有什么共同特征？
特征：都含有开平方运算，并且被开方数都是非负数．
活动2　实践探究　交流新知
【探究1】二次根式概念的探究
像这样的式子就是我们本节课要学习的二次根式(板书课题)．首先我们认识一下什么叫二次根式．(给出概念)
二次根式的概念：一般地，形如(a≥0)的式子叫作__二次根式__，a叫作__被开方数__．
请同学们结合二次根式的概念回答下面的问题：
问题1：你认为一个式子是二次根式应满足几个条件？
问题2：下列式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？
，，，(x>0)，，4，－，，(x≥0，y≥0).
二次根式有__，(x>0)，，4，－，(x≥0，y≥0)__．
问题3：当二次根式在实数范围内有意义，则x≥____，其中x的最小整数值是__1__．
问题4：当a≥0时，的结果一定是__非负__数．
【探究2】(多媒体出示)计算下列各题，你发现了什么规律？
(1)计算下列各式，你能得到哪些猜想？
×＝__6__，＝__6__；
×＝__20__，＝__20__．
(2)×＝____，＝____．你又会产生怎样的猜想？
问题1：你能用字母表示这个规律吗？
问题2：你能用语言描述这个结论的意义吗？
【归纳】·＝(a≥0，b≥0).
【探究3】(多媒体出示)计算下列各式，你又发现了什么规律？
＝____；＝____；＝____；＝____．
【归纳】＝(a≥0，b>0).
活动3　开放训练　应用举例
【例1】教材P42例1
【方法指导】二次根式乘除法计算．
解：(1)原式＝＝____＝__2__；
(2)原式＝____＝＝____＝__3__．
【例2】教材P42例2
【方法指导】运用运算律和公式计算．
解：(1)原式＝__3__×__2__×＝__6__；
(2)原式＝____－5＝____－5＝__6__－5＝__1__；
(3)原式＝(____)2＋__2__＋(__1__)2＝__5__＋2＋__1__＝__6＋2__；
(4)原式＝()2－__32__＝__13__－__9__＝__4__；
(5)原式＝____×____－×____＝____－____＝__6__－__1__＝__5__；
(6)原式＝____＋____＝____＋____＝__2__＋__3__＝__5__．
活动4　随堂练习
1．若式子在实数范围内有意义，则x的取值可以是 (A)
A．6 B．－5 C．0 D．1
2．计算×等于 (B)
A． B． C．2 D．3
3．计算÷的结果是 (A)
A． B． C． D．
4．计算÷＝__3c__．
5．计算：
(1)×；(2)3×2；(3)÷；(4).
解：(1)原式＝＝8；(2)原式＝(3×2)×＝6；(3)原式＝＝；(4)原式＝＝5.
活动5　课堂小结与作业
学生活动：这节课的收获是什么？
教学说明：会利用二次根式的乘除法法则进行二次根式的计算．
作业：教材P42随堂练习，P46习题2.3中的T1.
本节课让学生理解二次根式和二次根式的乘除法法则，理解法则与运算律相结合运用，培养他们的合作精神和探索能力，也让他们获得成功的体验．在教学时加强了师生互动的教学环节，充分调动学生的积极性，发挥学生的主体性，促进学生在教师指导下主动地、富有个性地学习．
第2课时　二次根式的化简及加减法
1．化简二次根式的乘法、除法法则及其条件．
2．能运用法则进行二次根式的加减运算，并能将结果化为最简二次根式．
▲重点
二次根式的加减乘除运算．
▲难点
能运用法则进行二次根式的运算．
活动1　创设情境　导入新课(课件)
问题：分别把式子·＝(a≥0，b≥0)，＝(a≥0，b>0)的等号的左边的内容与右边的对换，等式是否依然成立？
活动2　实践探究　交流新知
【探究1】计算下列各式：
＝__6__，×＝__6__；
＝__20__，×＝__20__；
＝____，＝____；
＝____，＝____．
【探究2】完成以下各题，看谁完成得又对又快：(课件展示)
＝__×__＝____；　　＝__×__＝__4__；
＝____＝____；　　　　　＝____＝____．
问题：你有哪些发现？如何正确表述你的发现？
【归纳】(1)＝·(a≥0，b≥0)；＝(a≥0，b>0)；
(2)被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式．
活动3　开放训练　应用举例
【例1】教材P43例3
【方法指导】化简时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简的．
解：(1)＝×＝9×8＝72；
(2)＝×＝5；
(3)＝＝.
【例2】教材P43例4
【方法指导】灵活运用二次根式乘除法法则和性质化简二次根式．
解：(1)＝＝×＝5；
(2)＝＝＝；
(3)＝＝＝.
【例3】教材P44例5
【方法指导】实数的运算法则、运算律对于二次根式同样适用
解：(1)＋＝＋＝×＋＝4＋＝5；
(2)－＝－＝－＝；
(3)(＋)×＝＋＝＋＝2＋3＝5.
活动4　随堂练习
1．下列各组二次根式中，可以进行合并的一组是 (B)
A．与 B．与
C．与 D．与
2．化简：
(1)；　　　　(2)；　　　　(3)(x≥0，y＞0).
解：(1)原式＝×＝4×9＝36；
(2)原式＝＝20；
(3)原式＝＝.
3．计算：
(1)(2＋)2; (2)＋2－.
解：原式＝＋6－
＝6.
4．已知x＝－1，求(x＋1)2－4(x＋1)＋4的值．
解：(x＋1)2－4(x＋1)＋4＝(x＋1－2)2＝(x－1)2.
当x＝－1时，原式＝(－2)2＝7－4.
活动5　课堂小结与作业
学生活动：这节课的收获是什么？还有哪些疑惑？
教学说明：二次根式的运算，可以运用运算律和公式使计算简便．
作业：教材P46随堂练习，习题2.3中的T2、T3.
这节课经历从具体实例到一般规律的探究过程，运用类比的方法，得出实数运算律和运算法则，使学生清楚新旧知识的区别和联系．
第3课时　二次根式的混合运算
1．学会二次根式的混合运算，并能熟练地进行二次根式的运算．
2．在多种解法中比较，寻找最快捷的计算方法．
▲重点
混合运算的法则，运算律的合理使用．
▲难点
灵活运用公式或运算律以及约分等技巧，使计算简便．
活动1　创设情境　导入新课(课件)
已知长方形的长是5＋2，宽是，求它的面积．
通过本节课的学习，我们就会轻松解答这个问题．
活动2　实践探究　交流新知
【探究】计算：(1)＋；　　(2)－.
问题1：展示算法：＋＝＋＝____＋____＝____．
问题2：分子、分母同乘的目的是__把分母化成整数__．
问题3：试着计算－.
解：原式＝2－＝.
【归纳】1.实数的四则运算法则、运算律对于二次根式同样适用．
2．二次根式的混合运算顺序：先算__乘方和开方__，再算__乘除__，最后算__加减__；有括号的先算括号内的，计算结果要化成__最简二次根式__．
活动3　开放训练　应用举例
【例1】教材P45例6.
【方法指导】如果二次根式的运算中，二次根式化简后的被开方数不相同，结果可以保留原来的形式．
解：(1)原式＝－＝；
(2)原式＝3－2＋＝；
(3)原式＝2－＝；
(4)原式＝＋－3＝－＋.
【例2】计算：(1)＋3－－；
(2)－－a2＋(a>0，b>0).
【方法指导】(1)二次根式混合运算的运算顺序是：先乘方和开方再乘除后加减；(2)整式运算的运算法则和运算律对二次根式同样适用；(3)二次根式的运算结果能化简的必须化简.
解：(1)原式＝2＋－－＝－2；
(2)原式＝a－b－a＋＝(1－b).
【例3】在计算×2－÷的值时，小明的解法如下：
解：原式＝2－……①
＝2－……②
＝(2－1)……③
＝.……④
(1)老师认为小明的解法有误，请你指出小明是从第__③__步开始出错的；
(2)请写出正确的解题过程．
解：原式＝2－
＝2－
＝6－2
＝4.
活动4　随堂练习
1．计算(－)结果是 (B)
A．2－2 B．2－2 C．2－ D．2－
2．计算：
(1)(2－3)÷；
解：原式＝2－3
＝4－6；
(2)(2＋3)(－2＋3)；
解：原式＝(3＋2)(3－2)
＝(3)2－(2)2
＝9y－4x；
(3)×.
解：原式＝×
＝9.
3．化简·，其中a＝3，b＝2.你是怎么计算的？与同伴交流.
解：方法一：先化简，再求值．
原式＝·－·
＝－b.
∵a＝3，b＝2，∴原式＝－2.
方法二：直接代入求值．
∵a＝3，b＝2，
∴原式＝·
＝－2.
活动5　课堂小结与作业
学生活动：1.进行二次根式的混合运算，应注意哪些问题？
2．通过本节课的学习，你的收获是什么？
教学说明：让学生自主完成课后作业，诊断二次根式综合运算掌握情况．
作业：教材P46随堂练习T1，P47～48习题2.3中的T3、T5、T9.
本节课主要学习二次根式的混合运算，通过练习，使学生掌握计算方法和运算技巧，能够灵活运用．习题可以分层次布置，以满足不同层次的学生的需要.