4.5 等腰三角形
第1课时
知识点1 等腰三角形的性质
1.(概念应用题)如图,△ABC中,AB=AC,D是BC中点,下列结论中不正确的是( )
A.AB=2BD B.AD⊥BC
C.AD平分∠BAC D.∠B=∠C
2.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则∠ACD的度数为( )
A.70° B.100° C.110° D.140°
3.等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°,则这个底角的度数是( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
4.若等腰三角形的周长是20 cm,一腰长为7 cm,则这个三角形的底边长是
cm.
5.(2024·长沙开福区质检)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,AD=AE,
∠BAD=30°,求∠EDC的度数.
知识点2 等腰三角形的判定
6.(概念应用题)在△ABC中,若∠A=15°,∠B=150°,则△ABC是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.锐角三角形
7.(2024·湘潭雨湖区质检)下列能断定△ABC为等腰三角形的是( )
A.∠A=30°,∠B=60°
B.AB=AC=2,BC=4
C.∠A=50°,∠B=80°
D.AB=3,BC=7,周长为13
8.如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A,B是两格点,若C也是图中的格点,则使得△ABC是以AB为一腰的等腰三角形时,点C的个数是( )
A.8 B.6 C.4 D.7
9.如图,BD是等边△ABC的中线,以D为圆心,DB的长为半径画弧,交BC的延长线于E,连接DE.求证:CD=CE.
10.如图,∠B=∠C=36°,∠ADE=∠AED=72°,则图中的等腰三角形有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
11.如图,如果△ABC外一点O满足OA=OB=OC,∠OAB=45°,∠OBC=24°,那么
∠OCA的大小是( )
A.65° B.24° C.69° D.45°
12.如图,∠AOB=60°,OC平分∠AOB,如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形,那么∠OEC的度数不可能为( )
A.120° B.75° C.60° D.30°
13.如图,△ABC中,AB=AC=2,P是BC上任意一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,若S△ABC=1,则PE+PF= .
14.(2025·永州冷水滩区期中)如图,△ABC中,D是BC边上的点,E在边AC上,已知BD=CE,∠BAD=∠CDE,∠ADE=∠C.求证:△ADE是等腰三角形.
15.(抽象能力、运算能力)数学课上,张老师举了下面的例题:
例1 等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度数.
例2 等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度数.
张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:
变式
等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度数.
(1)请你解答以上的变式题.
(2)解(1)后,小敏发现,∠A的度数不同,得到∠B的度数的个数也可能不同,如果在等腰三角形ABC中,设∠A=x°,当∠B有三个不同的度数时,请你探索x的取值范围.4.5 等腰三角形
第1课时
知识点1 等腰三角形的性质
1.(概念应用题)如图,△ABC中,AB=AC,D是BC中点,下列结论中不正确的是(A)
A.AB=2BD B.AD⊥BC
C.AD平分∠BAC D.∠B=∠C
2.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则∠ACD的度数为(C)
A.70° B.100° C.110° D.140°
3.等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°,则这个底角的度数是(B)
A.30° B.40° C.50° D.60°
4.若等腰三角形的周长是20 cm,一腰长为7 cm,则这个三角形的底边长是
6 cm.
5.(2024·长沙开福区质检)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,AD=AE,
∠BAD=30°,求∠EDC的度数.
【解析】因为AB=AC,D为BC的中点,
所以∠ADC=90°,∠BAD=∠CAD=30°,
因为AD=AE,所以∠ADE=∠AED=(180°-∠CAD)=75°,所以∠EDC=∠ADC-
∠ADE=15°,所以∠EDC的度数为15°.
知识点2 等腰三角形的判定
6.(概念应用题)在△ABC中,若∠A=15°,∠B=150°,则△ABC是(A)
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.锐角三角形
7.(2024·湘潭雨湖区质检)下列能断定△ABC为等腰三角形的是(C)
A.∠A=30°,∠B=60°
B.AB=AC=2,BC=4
C.∠A=50°,∠B=80°
D.AB=3,BC=7,周长为13
8.如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A,B是两格点,若C也是图中的格点,则使得△ABC是以AB为一腰的等腰三角形时,点C的个数是(C)
A.8 B.6 C.4 D.7
9.如图,BD是等边△ABC的中线,以D为圆心,DB的长为半径画弧,交BC的延长线于E,连接DE.求证:CD=CE.
【证明】因为BD是等边△ABC的中线,
所以BD⊥AC,∠ACB=60°,
所以∠DBC=30°,
因为BD=DE,
所以∠E=∠DBC=30°,
因为∠CDE+∠E=∠ACB=60°,
所以∠E=∠CDE=30°,
所以CD=CE.
10.如图,∠B=∠C=36°,∠ADE=∠AED=72°,则图中的等腰三角形有(D)
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
11.如图,如果△ABC外一点O满足OA=OB=OC,∠OAB=45°,∠OBC=24°,那么
∠OCA的大小是(C)
A.65° B.24° C.69° D.45°
12.如图,∠AOB=60°,OC平分∠AOB,如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形,那么∠OEC的度数不可能为(C)
A.120° B.75° C.60° D.30°
13.如图,△ABC中,AB=AC=2,P是BC上任意一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,若S△ABC=1,则PE+PF= 1 .
14.(2025·永州冷水滩区期中)如图,△ABC中,D是BC边上的点,E在边AC上,已知BD=CE,∠BAD=∠CDE,∠ADE=∠C.求证:△ADE是等腰三角形.
【证明】由题意可得:∠ADB=180°-∠ADE-∠CDE,∠DEC=180°-∠CDE-∠C,
又因为∠ADE=∠C,所以∠ADB=∠DEC,
在△ADB与△DEC中,,
所以△ADB≌△DEC(角角边),所以AD=DE,所以△ADE是等腰三角形.
15.(抽象能力、运算能力)数学课上,张老师举了下面的例题:
例1 等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度数.
例2 等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度数.
张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:
变式
等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度数.
(1)请你解答以上的变式题.
(2)解(1)后,小敏发现,∠A的度数不同,得到∠B的度数的个数也可能不同,如果在等腰三角形ABC中,设∠A=x°,当∠B有三个不同的度数时,请你探索x的取值范围.
【解析】(1)若∠A为顶角,则∠B=(180°-∠A)÷2=50°;若∠A为底角,∠B为顶角,则∠B=180°-2×80°=20°;若∠A为底角,∠B为底角,则∠B=80°;故∠B=50°或20°或80°;
(2)分两种情况:
①当90≤x<180时,∠A只能为顶角,
所以∠B的度数只有一个;
②当0若∠A为顶角,则∠B=()°;若∠A为底角,∠B为顶角,则∠B=(180-2x)°;若∠A为底角,∠B为底角,则∠B=x°.
当≠180-2x且180-2x≠x且≠x,即x≠60时,∠B有三个不同的度数.
综上所述,当0
