3.2 平面直角坐标系 教学设计（2课时）2025-2026学年数学北师大版八年级上册

2　平面直角坐标系
第1课时　平面直角坐标系
1．理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念．
2．认识并能画出平面直角坐标系．
3．观察点的坐标与图形的关系，由点的位置写出它的坐标．
▲重点
平面直角坐标系和点的坐标．
▲难点
探究特殊点与坐标之间的关系．
活动1　创设情境　导入新课(课件)
同学们，你们喜欢旅游吗？假如你到了某一个城市旅游，那么你应怎样确定旅游景点的位置呢？下面给出一张某市旅游景点的示意图(教材P58图3－4)，解答以下问题：
你是怎样确定各个景点位置的？
活动2　实践探究　交流新知
【探究1】问题提出：请同学们自学课本P59例1以上部分(多媒体出示导学提纲)．
(1)什么是平面直角坐标系？简称什么？两条数轴怎么放置，如何称呼，方向如何确定？它们的交点叫什么？
(2)平面直角坐标系内的点的位置怎样表示？
(3)两条坐标轴将平面分为几个部分，分别叫作什么？坐标轴上的点属于哪个部分？
【归纳】(1)建立平面直角坐标系，必须满足三个条件：①__两__条数轴；②互相__垂直__；③公共__原点__．
(2)如图，在平面直角坐标系中，两条坐标轴将坐标平面分成了四部分．右上方的部分称为第__一__象限，其他三部分按逆时针方向依次称为第__二__象限、第__三__象限和第__四__象限．坐标轴上的点不在任何一个象限内．
【探究2】确定点的坐标
1．请一名同学到黑板前来演示一下如何确定下图(多媒体出示下图)中点P的横、纵坐标．
2．思考：Q(4，3)与P(3，4)是同一个点吗？
3．思考：M(－4，3)在第__二__象限，N(4，－3)在第__四__象限．
4．能否找出与点Q，P相同的坐标？
【归纳】在平面直角坐标系中，一个点只对应一个坐标(即一个有序实数对)．
　　
【探究3】确定点的位置
1．我们已经能够根据平面直角坐标系写出点的坐标，现在请思考：如何根据点的坐标描出点的位置呢？(投影课件)比如：描出点A(3，2)，点B(－3，0)的位置．与同伴交流你的想法．
2．做一做：
(1)在如图所示的平面直角坐标系中，描出下列各点：A(－5，0)，B(1，4)，C(3，3)，D(1，0)，E(3，－3)，F(1，－4)；
(2)依次连接A，B，C，D，E，F，A，你得到什么图形？
(3)在平面直角坐标系中，点与有序实数对之间有何关系？
【归纳】在平面直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对(即点的坐标)与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对，都有平面上唯一的一点与它对应．
活动3　开放训练　应用举例
【例1】教材P59例1.
【方法指导】先找到有序数对的横坐标，再找到纵坐标，写坐标要加小括号，括号内先写横坐标，中间用逗号隔开．
解：各个顶点的坐标分别为：A(－2，0)，B(0，－3)，C(3，－3)，D(4，0)，E(3，3)，F(0，3).
【例2】在平面直角坐标系中描出下列各点：A(4，5)，B(－2，3)，C(－4，－1)，D(2.5，－2)，E(0，－4)，F(3，0)，G(0，1)，H(－5，0).
【方法指导】先分别在x轴上找到表示各点横坐标的点，过这点作x轴的垂线，再在y轴上找到表示各点纵坐标的点，过这点作y轴垂线，两条垂线的交点就是所要求的各点．
解：如图：
活动4　随堂练习
1．在平面直角坐标系中，点(－3，2)到x轴的距离为 (C)
A．3 B．－3 C．2 D．－2
2．在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则点M的坐标是 (D)
A．(3，－4) B．(4，－3)
C．(－4，3) D．(－3，4)
3．写出如图棋盘中所有棋子的坐标．有兴趣的同学，可以写出“马”的下一步坐标可能是什么．(“马”行走路线为“日”字)
解：“士”(0，4)，“将”(1，3)，“马”(3，3)，“帅”(0，－4)，“马”下一步坐标可能是(2，1)，(4，1)，(1，2)，(1，4)，(2，5)，(4，5).
活动5　课堂小结与作业
学生活动：你这节课的主要收获是什么？
教学说明：理解并能画出平面直角坐标系，能写出点的坐标．
作业：教材P60随堂练习T1，P65习题3.2中的T1、T2.
这节课从之前学习过的知识——数轴入手，并以问题串的形式提问，充分调动学生的积极性，从而为新课的学习做好铺垫．教师要让学生带着问题走进教室，更要学生带着更多的问题走出教室，在课堂上激发学生的问题意识，加深问题的深度和广度，提高学生自己解决问题的能力．
第2课时　平面直角坐标系中点的坐标特点
1．各象限的点、坐标轴上的点以及与坐标轴平行的直线上点的坐标特征．
2．平面直角坐标系中求图形面积．
▲重点
不同象限的点及坐标轴上的点的坐标的特征．
▲难点
平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征．
活动1　创设情境　导入新课(课件)
问题1：已知点P在平面直角坐标系中的位置，如何确定点P的坐标呢？如果已知点P(a，b)，怎样在平面直角坐标系中确定点P的位置呢？
问题2：多媒体出示“笑脸”．
(1)在“笑脸”上找出几个位于第一象限的点，指出它们的坐标，说说这些点的坐标有什么特点；
(2)在其他象限内分别找几个点，看看其他各个象限内的点的坐标有什么特点；
(3)不描出点，分别判断A(1，2)，B(－1，－3)，C(2，－1)，D(－3，4)所在的象限．
活动2　实践探究　交流新知
【探究1】在如图所示的平面直角坐标系中，描出下列各点：A(－4，0)，B(1，4)，C(3，3)，D(1，0)，E(3，－3)，F(1，－4)，并探究各个象限中点的坐标的符号具有怎样的特征？
【归纳】(1)第一象限中点的坐标符号为(＋，＋)；
(2)第二象限中点的坐标符号为(－，＋)；
(3)第三象限中点的坐标符号为(－，－)；
(4)第四象限中点的坐标符号为(＋，－).
【探究2】如图，观察平面直角坐标系中坐标轴上的点，能得出什么结论？
【归纳】(1)x轴上，点的纵坐标为__0__；
(2)y轴上，点的横坐标为__0__；
(3)在原点上的点的坐标为__(0，0)__．
活动3　开放训练　应用举例
【例1】教材P61例2.
【方法指导】x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0.
解：如图，各点连接起来的图形像“房子”．
(1)线段AG上的点都在x轴上，它们的纵坐标都等于0；线段AB上的点、线段CD与y轴的交点都在y轴上，它们的横坐标都是0；
(2)线段EC与x轴平行，点E和点C的纵坐标相同；线段EC上其他点的纵坐标也相同，都是3；
(3)点F和点G的横坐标相同，线段FG与y轴平行.
【例2】教材P61尝试·思考．
【方法指导】理解和应用每个象限坐标符号．
(1)在“笑脸”上找出几个位于第一象限的点，指出它们的坐标，说说这些点的坐标有什么特点；
解：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(5，2)，这些点的横、纵坐标都为正数；
(2)在其他象限内分别找几个点，看看其他各个象限内的点的坐标有什么特点；
解：第二象限：(－1，1)，(－1，2)，(－2，1)，(－2，2)，(－2，3)，(－5，2)，这些点的横坐标为负数， 纵坐标为正数．
第三象限：(－1，－1)，(－3，－3)，这些点的横、纵坐标都为负数．
第四象限：(1，－1)，(3，－3)，这些点的横坐标为正数、纵坐标为负数；
(3)不描出点，分别判断点A(1，2)，B(－1，－3)，C(2，－1)，D(－3，4)所在的象限．
解：点A(1，2)在第一象限，点B(－1，－3)在第三象限，点C(2，－1)在第四象限，点D(－3，4)在第二象限．
活动4　随堂练习
1．若点P(3m－1，5)在第二象限，则m的值可能为 (B)
A． B．－ C．1 D．3
2．如果同一平面直角坐标系中两个点的横坐标相同，那么过这两点的直线 (B)
A．平行于x轴
B．平行于y轴或与y轴重合
C．经过原点
D．以上都不对
3．如图，在平面直角坐标系中，描出下列各组点，并将各组内的点用线段连接起来.
①(2，0)，(12，0)，(13，2)，(0，3)；
②(5，4)，(9，5)，(11，13)，(2，10)；
③(6，14)，(7，2.5).
观察所得的图形，你觉得它像什么？
解：如图，像帆船．
活动5　课堂小结与作业
学生活动：通过此次实验活动，你学到了什么？你感受最深的是什么？
教学说明：课堂总结是知识沉淀的过程，学会把所学知识运用于生活中．
作业：教材P65习题3.2中的T3、T4.
本节课采用自主学习与组内合作学习的教学模式，学生经历了画直角坐标系、描点、连线、看图等过程，体会到平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系，发展了学生的数形结合意识、合作交流意识．
第3课时　建立适当坐标系描述图形的位置
1．学会根据实际情况，建立适当的平面直角坐标系．
2．体会同一个图形，可以根据不同需要，建立不同的直角坐标系．
▲重点
建立适当的坐标系表示点的位置．
▲难点
建立适当的坐标系．
活动1　创设情境　导入新课(课件)
如图是用网格画出的太原市地铁1，2，3号线路部分规划示意图，我们能用坐标表示出各站点的具体位置吗？
这节课我们将学习利用建立直角坐标系求坐标．
活动2　实践探究　交流新知
【探究】建立适当的平面直角坐标系
1．(多媒体出示下图)长方形ABCD的长与宽分别是6，4，建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标．
2．问题1：可以以哪些点为原点？
问题2：确定原点后，以哪些直线为x轴、y轴建立直角坐标系？
3．小组讨论．
讨论结果：
解：(1)方法一：如图①，以点C为坐标原点，分别以CD，CB所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，此时点C的坐标是__(0，0)__，点D的坐标为__(6，0)__，点 A的坐标为__(6，4)__，点B的坐标为__(0，4)__．同理，也可以分别以A，B，D为原点建立直角坐标系，请试试．
　　
(2)方法二：如图②，以BC的中垂线为x轴，CD的中垂线为y轴，建立直角坐标系，此时，点C的坐标为__(－3，－2)__，点D的坐标为__(3，－2)__，点A的坐标为__(3，2)__，点B的坐标为__(－3，2)__．
(3)思考：哪种方法建立坐标系更简单呢？
【归纳】建立直角坐标系的一般步骤：
(1)建立坐标系，选择一个适当的参考点为__原点__，确定坐标轴__正方向__；
(2)根据具体问题，确定恰当的比例尺，在坐标轴上标出__单位长度__．
活动3　开放训练　应用举例
【例1】教材P63例4.
【方法指导】建立平面直角坐标系的一般步骤
解：(1)方法一：如图①，以边BC所在直线为x轴，以边BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系．由等边三角形的性质可知，△AOB是直角三角形．AO＝＝____＝__2__，所以顶点A，B，C的坐标分别为__A(0，2)，B(－2，0)，C(2，0)__．
　　　
(2)方法二：如图②，以点B为原点，建立如图所示的直角坐标系，则点B的坐标为__(0，0)__，点C的坐标为__(4，0)__，点A的坐标为__(2，2)__．
【例2】如下图是我市市区几个旅游景点的示意图(图中每个小正方形的边长为1个单位长度)．请以某景点为原点，建立平面直角坐标系，并用坐标表示各景点的位置．
【方法指导】先建立适当的平面直角坐标系，再用坐标表示各景点的位置．
解：以光岳楼为原点建立平面直角坐标系．如下图，则各景点所在位置的坐标为：光岳楼(0，0)，金凤广场(－2，－2)，动物园(6，3)，湖心岛(－1.5，1)，山峡会馆(4，－1).(答案不唯一)
活动4　随堂练习
1．如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是(3，－1)和(－3，1)，那么“卒”的坐标为__(－2，－2)__．
　　　　　
2．在如图的方格纸上，若用(－1，1)表示点A的位置，(0，3)表示点B的位置，那么点C的位置可表示为__(1，2)__．
活动5　课堂小结与作业
学生活动：1.你这节课的收获是什么？
2．怎样建立坐标系会更简单？
教学说明：能根据具体情境灵活运用多种方式建立直角坐标系．
作业：教材P64随堂练习T1，P65～66习题3.2中的T4、T6.
新课的学习还是以学生自学为主，让学生自主探究例题的过程是如何写的？分几个层面？为什么要这样建立坐标系？用不同坐标系去解决同一个问题的例子，学生自学，形成一种共识：建立不同的坐标系，得到的点的坐标也是不一样的，思考：怎么建立坐标系会更简单？
让学生从做题中总结出：坐标系建立时，尽可能地让边或顶点在坐标轴上，以对称为主，让整个图形在第一象限等，以避难就易为原则．