3.3 轴对称与坐标变化 教学设计 2025-2026学年数学北师大版八年级上册

3　轴对称与坐标变化
教师备课　素材示例
●复习导入　
问题1：仔细观察如图所示的三幅图片，你知道它们有什么共同特点吗？
问题2：在我们的生活中，轴对称的现象非常常见．你还记得什么叫轴对称图形吗？
问题3：我们前两节课所学的平面直角坐标系中是否存在轴对称图形呢？它们的坐标之间又有什么关系呢？
　　　　
【教学与建议】教学：回顾前面所学习过的轴对称图形的定义及其性质，为新课的学习做铺垫．建议：问题可由学生进行口答，对于学生回答不完全的，教师再加以订正指出，以便学生在本节课的学习中能够熟练地作出轴对称图形．
●置疑导入　
问题1：点的坐标的概念是什么？
问题2：写出图中多边形ABCDEF各个顶点的坐标．
问题3：在平面直角坐标系中，描出下列各点：A(－5，0)，B(1，4)，C(3，3)，D(1，0)，E(3，－3)，F(1，－4).
观察：点B和点F，点C和点E关于__x轴__对称．
【归纳】点的位置不同，写出的坐标就不同，反过来，不同的坐标确定不同的点．如果图形中点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，则这两个点关于x轴对称．本节课我们将探究轴对称与坐标变化问题．
【教学与建议】教学：回顾点的坐标，同时为新课埋下伏笔，激发学生的学习兴趣．建议：学生轮流回答，教师适时点评，并引导归纳轴对称坐标特点．
命题角度1　求关于坐标轴对称的点的坐标
对称点的坐标规律：关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同；关于x轴对称的点的纵坐标互为相反数，横坐标相同．
【例1】(1)平面直角坐标系中的点A(－2，3)与点B(2，3)关于 (A)
A．y轴对称 B．x轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
(2)点A(－5，1)关于y轴对称的点的坐标是__(5，1)__，点B(－3，4)关于x轴对称的点的坐标是__(－3，－4)__．
命题角度2　关于坐标轴对称变换的含参问题
关于“谁”(x轴，y轴)对称，“谁”(横坐标，纵坐标)不变．
【例2】(1)若点A(－4，m－3)，B(2n，1)关于x轴对称，则 (B)
A．m＝2，n＝0 B．m＝2，n＝－2
C．m＝4，n＝2 D．m＝4，n＝－2
(2)若点A(m＋1，4)与点B(－3，n＋3)关于y轴对称，则m＋n＝__3__．
命题角度3　轴对称与坐标变化中的作图问题
根据对称性作出每个点的对称点，再把各个点依次连接．
【例3】在如图的平面直角坐标系中，已知点A(－2，1)，B(0，－3)，C(1，－2)，请在图中画出△ABC和与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1.
解：如图．
高效课堂　教学设计
1．在同一直角坐标系中，感受图形上点的坐标变化与图形的轴对称变换之间的关系．
2．经历探究物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的过程，掌握空间与图形的基础知识和基本技能．
▲重点
会求一点关于坐标轴对称的点的坐标．
▲难点
找两点关于坐标轴对称的坐标规律．
活动1　创设情境　导入新课(课件)
(多媒体出示图片)
这是一幅老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的，如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，对应如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？
学生讨论回答：(－3.5，4)，教师点评．
本节课我们就来学习用坐标表示已知点关于x轴、y轴的对称点．
活动2　实践探究　交流新知
【探究】探索两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系
(多媒体出示)在如图所示的平面直角坐标系中，第一、二象限内各有一面小旗．
(1)两面小旗之间有怎样的位置关系？对应点A与A1的坐标又有什么共同特点？其他的对应点也有这个特点吗？
(2)在这个坐标系里画出小旗ABCD关于x轴的对称图形，它的各个“顶点”的坐标与其对应点的坐标有什么关系？
解：(1)两面小旗关于y轴对称；点A的坐标是(2，6)，点A1的坐标是(－2，6)，点A与点A1的__纵坐标__相同，__横坐标__互为相反数；其他对应的点仍然具有“__纵坐标__相同，__横坐标__互为相反数”这个特点；
(2)图略，关于x轴对称的两个点，__横坐标__相同，__纵坐标__互为相反数.
【归纳】关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
活动3　开放训练　应用举例
【例1】教材P68例题．
【方法指导】关于坐标轴对称图形的坐标关系的应用．
解：(1)依次连接各点得到的图案见教材，它像一条小鱼；
(2)纵坐标保持不变，横坐标分别乘－1，所得各点的坐标依次是__(0，0)__，__(－5，4)__，__(－3，0)__，__(－5，1)__，__(－5，－1)__，__(－3，0)__，__(－4，－2)__，__(0，0)__．依次连接这些点，所得图案形状是__小鱼__．它与原图案关于__y轴__对称.
做一做：将所得图案的各个“顶点”的横坐标保持不变，纵坐标分别乘－1，得到的点的坐标分别为__(0，0)__，__(5，－4)__，__(3，0)__，__(5，－1)__，__(5，1)__，__(3，0)__，__(4，2)__，__(0，0)__．依次连接这些点，所得图案的形状是__小鱼__．它与原图案关于__x轴__对称．
【例2】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(2x－3，x－2y)，它关于x轴的对称点A1的坐标为(x＋3，y－4)，关于y轴的对称点为A2.
(1)求点A1，A2的坐标；
(2)求证：O为线段A1A2的中点．
解：(1)由题意，得2x－3＝x＋3，x－2y＝－(y－4)，
解得x＝6，y＝2.
∴A1(9，－2)，A2(－9，2)；
(2)∵OA1＝＝，OA2＝＝，
∴OA1＝OA2，易得点O在线段A1A2上，
∴O为线段A1A2的中点．
活动4　随堂练习
1．若点M(a，－6)与点N(－4，b)关于x轴对称，则a＝__－4__，b＝__6__；若点M(a，3)与点N(5，b)关于y轴对称，则a＝__－5__，b＝__3__．
2．点A(－4，3)与点B(－4，－3)的关系是 (A)
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．以上各项都不对
3．若点P(a，3－b)，Q(4，3)关于x轴对称，则a＝__4__，b＝__6__．
4．若mn＝0，则点P(m，n)必定在__坐标轴__上．
5．如图，已知网格中每个小正方形的边长均为1.
(1)作出△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′，并分别写出A′，B′，C′三点的坐标；
(2)求△ABC的面积．
解：(1)如图，△A′B′C′即为所求；A′(3，3)，B′(5，1)，C′(1，0)；
(2)S△ABC＝4×3－×4×1－×2×2－×2×3＝5.
活动5　课堂小结与作业
学生活动：1.这节课很快就要结束了，请同学们回顾一下学习过程，谈谈你有哪些收获．
2．请同学们以小组为单位交流讨论一下，我们这节课用过哪些数学方法呢？
教学说明：掌握和感受点的坐标变化与图形的变化．
作业：教材P70复习题T2、T4.
这节课通过“坐标与轴对称”，经历图形坐标变化与图形的轴对称之间的关系的探索过程，掌握空间与图形的基础知识和基本技能，丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维，激发学生对数学学习的好奇心与求知欲，学生能积极参与数学学习活动，积极交流合作，体验数学活动充满着探索与创造．