4.1 函数 教学设计 2025-2026学年数学北师大版八年级上册

第四章　一次函数
1　函数
教师备课　素材示例
●情景导入　
师：生活中充满着变化的量，你了解这些变量之间的关系吗？如弹簧的长度与所挂物体的质量，路程与所用的时间……了解这些关系，可以帮助我们更好地认识世界．函数是刻画变量之间关系的常用模型，今天我们先来学习第一课《函数》．
师：你坐过摩天轮吗？想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？
在摩天轮的转动过程中，共有两个量在变化，即旋转时间t(min)与摩天轮上一点的高度h(m).图中反映了摩天轮上某一点离地面的高度h(m)与旋转时间t(min)之间的关系．你能根据图象填写下表吗？对于给定的时间t，相应的高度h确定吗？
t/min 0 1 2 3 4 5 …
h/m …
　　【教学与建议】教学：由熟悉的问题情境引入新课，目的是激发学生的学习兴趣，同时点明本章所要解决的主要问题．建议：学生先独立思考，教师再提问学生．
●复习导入　活动内容：
我们生活在一个变化的世界中，很多东西都在悄悄地发生着变化．我们在七年级已经学习了变量及因变量和自变量，你还记得它们的概念吗？让我们一起来回顾一下吧！
课件展示：
在一个变化过程中可以取不同数值的量叫作__变量__；如果一个量随着另外一个量的变化而变化，那么把这个量叫作__因变量__，另一个量叫作__自变量__；在一个变化过程中数值可以保持不变的量叫作__常量__．
函数是刻画变量之间关系的常用模型，了解变量之间的关系可以帮助我们更好地认识世界，服务于我们的生活．因此，让我们一起走进函数天地吧！
【教学与建议】教学：以填空的形式引导学生回顾知识，为后面的学习做好铺垫．建议：可采用抢答的方式进行，再让学生举例来说明这几个概念的联系．
命题角度1　根据图象测定函数关系
根据自变量与因变量是一一对应的，能判断两个变量间的函数关系．
【例1】(1)下列表示y是x的函数的图象是 (C)
　　　　　　　　　　　　　　　
　　
(2)在下列图象中，不能表示y是x的函数是 (D)
命题角度2　确定函数自变量的取值范围
确定自变量的取值范围时，若代数式是根式形式，则需要注意根号下为非负数，若自变量在分母的位置，则要注意分母不为0.
【例2】在函数y＝中，自变量x的取值可以是 (B)
A．－3 B．3 C．0 D．2
命题角度3　列关系式
解答列关系式和求函数自变量的取值范围等问题时，首先要读懂题意，找出等量关系，然后列出关系式即可．
【例3】(1)一位老师带领x名学生到动物园参观，已知成人票每张20元，学生票每张8元．设门票的总费用为y元，则y与x之间的关系式为 (A)
A．y＝8x＋20 B．y＝8x
C．y＝8＋20x D．y＝20x
(2)在登山过程中，海拔每升高1 km，气温下降6 ℃，已知某登山大本营所在位置的气温是2 ℃，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x km时，所在位置的气温是y ℃，那么y关于x的函数表达式是__y＝－6x＋2__．
命题角度4　程序图中的函数问题
解答程序问题，首先要根据各个关系式所对应的自变量的取值范围确定其关系式.
【例4】已知变量x，y之间的关系可以用如图所示的程序表示：
则y与x之间函数关系式为__y＝x3－x__．
高效课堂　教学设计
1．初步掌握函数的概念，能判断两个变量间的关系是否可以看成函数．
2．根据两个变量之间的关系式，给定其中一个量，会求出另一个量的值．
3．了解函数的三种表示方法．
▲重点
理解函数的概念，会判断两个变量间的关系是不是函数关系．
▲难点
能把实际问题抽象概括为函数问题．
活动1　创设情境　导入新课(课件)
一辆汽车以60 km/h的速度行驶，行驶的里程为s km，设行驶时间为t h.
请同学们根据题意填写下表：
t/h 1 2 3 4 5
s/km 60 120 180 240 300
　　在以上过程中，有没有变化的量？有没有始终不变的量？
学生讨论回答：变化的量是时间和里程，不变的量是速度．
在上面的过程中，汽车可以开1 h，2 h，3 h……相应的里程是60 km，2×60 km，3×60 km……因此，随着时间的变化，里程数相应的发生了变化．这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的里程随时间变化的过程，在现实生活中，有许多类似的问题，今天我们一起来探究这个问题．
活动2　实践探究　交流新知
【探究1】图象法
如图反映了摩天轮上某一点离地面的高度h(m)与旋转时间t(min)之间的关系．
(1)图中的变量有__2__个，自变量是__旋转时间t__，因变量是__摩天轮上某一点离地面的高度h__；
(2)根据图象填写下表：
t/min 0 1 2 3 4 5 …
h/m 3 13 35 47 36 14 …
　　(3)对于给定的时间t，相应的高度h确定吗？__确定__；
(4)自变量的取值范围是__0≤t≤12__．
【探究2】列表法
圆柱形物体常常如下图那样堆放，随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
问题1：根据图形，填写表格：
层数n 1 2 3 4 5 …
物体总数y 1 3 6 10 15 …
　　问题2：在这个问题中有几个变量？分别是什么？
问题3：对于给定的每一个层数n，物体的总数y唯一确定吗？
【探究3】关系式法
一定质量的气体在体积不变时，若温度降低到－273.15 ℃，则气体的压强为零．因此，物理学把－273.15 ℃作为热力学温度的零度．热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T＝t＋273.15(T≥0).
(1)在这个过程中有__变__量和__常__量；
(2)在上述量中，__t，T__是变量，__273.15__是常量；
(3)当t分别为－43 ℃，－27 ℃，0 ℃，18 ℃时，相应的热力学温度T是__230.15_K__，__246.15_K__，__273.15_K__，__291.15_K__；
(4)给定一个大于－273.15 ℃的t值，你都能求出相应的T值吗？
【归纳】一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数(function)，其中x是自变量．
理解函数概念应把握三点：(1)有两个变量；(2)一个变量的值随着另一个变量的值的变化而变化；(3)自变量每确定一个值，另一个变量就有唯一确定的值与之对应．
前面的“探究1”中是用__图象法__表示，“探究2”中是用__列表法__表示，“探究3”中是用__关系式法__表示．
【归纳】表示函数的方法一般有：列表法、关系式法和图象法．
函数值：对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值．
活动3　开放训练　应用举例
【例1】教材P77习题4.1T1.
【方法指导】运用函数知识．
解：(1)反映了物体与抛射点之间的水平距离s与物体的高度h之间的关系；
(2)略；
(3)确定；
(4)高度h可以看成距离s的函数．
【例2】某蓄水池蓄水120 m3，出水管每小时放水10 m3.
(1)填写下表：
放水时间/h 2 4 6 8 10 12
池内剩水量/m3
(2)设放水时间为t(h)，池内剩水量为Q(m3)，Q与t之间有怎样的关系？Q能看成t的函数吗？
(3)当放水时间为3 h时，池内剩水量为多少？经过多少小时，池内水刚好放完？
【方法指导】将实际问题抽象成函数问题．
解：(1)感受变量之间的关系，出水管每小时放水10 m3，则2 h可放水20 m3，3 h可放水30 m3，t h可放水10t m3，因此池内剩水量为(120－10t)m3.表格填写如下：
100　80　60　40　20　0
(2)池内剩水量＝蓄水池原有的水量－放水量，因此，Q＝120－10t，Q能看成t的函数；
(3)当t＝3时，Q＝120－10×3＝90(m3)；
令Q＝0，得120－10t＝0，解得t＝12.
活动4　随堂练习
1．下列图象不能反映y是x的函数的是 (C)
2．长方体的底面积为3 cm2，高x(cm)可变化，则其体积V＝3x.关系式中有__2__个变量，当x＝4 cm时，V＝__12__cm3.我们可以把__体积V__看成是__高x__的函数.
3．一蓄满水的水池正在放水，剩余水量y与时间t的关系式为y＝500－40t.其中自变量是__t__，__y__是__t__的函数．
给定了t值，请你完成下表：
时间t 0 1 2 3 4 …
剩余水量y 500 460 420 380 340 …
活动5　课堂小结与作业
学生活动：这节课你的收获是什么？还有哪些困惑？
教学说明：让学生畅所欲言，谈谈自己的切身感受与实际收获．
作业：教材P77随堂练习T1，P78习题4.1中的T2.
本节课通过大量的函数关系的展示，让学生经历函数概念的抽象概括过程，初步掌握函数概念．通过函数概念，初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力．体会函数的模型思想，让学生主动地参与观察、操作、交流、归纳等探索活动，促进其对数学知识的理解，形成有效的学习模式．