4.5 等腰三角形
第2课时
知识点1 等边三角形的性质
1.如图,直线l1∥l2,将等边三角形如图放置,若∠α=35°,则∠β等于(C)
A.35° B.30° C.25° D.15°
2.三个等边三角形的摆放位置如图所示,若∠1+∠2=110°,则∠3的度数为(B)
A.90° B.70° C.45° D.30°
3.如图,BD是等边△ABC的边AC上的高,以点D为圆心,DB长为半径作弧交BC的延长线于点E,则∠DEC=(C)
A.20° B.25° C.30° D.35°
4.如图,P,Q是△ABC的边BC上的两点,并且PB=PQ=QC=AP=AQ.求∠BAQ的大小.
【解析】因为PQ=AP=AQ,
所以△APQ为等边三角形,
所以∠PAQ=∠APQ=60°,
因为BP=AP,
所以∠BAP=∠APQ=30°.
所以∠BAQ=∠BAP+∠PAQ=30°+60°=90°.
知识点2 等边三角形的判定
5.已知△ABC中,AB=AC,下列结论:
①若AB=BC,则△ABC是等边三角形;
②若∠A=60°,则△ABC是等边三角形;
③若∠B=60°,则△ABC是等边三角形.
其中正确的有(D)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
6.(易错警示题)如图已知OA=a,P是射线ON上一动点,∠AON=60°,当OP= a 时,△AOP为等边三角形.
7.如图,点E是DC的中点,EC=EB,∠CDA=120°,DF∥BE,且DF平分∠CDA,求证:△BEC为等边三角形.
【证明】因为DF平分∠CDA,所以∠FDC=∠ADC.
因为∠CDA=120°,
所以∠FDC=60°.
因为DF∥BE,
所以∠FDC=∠BEC,
所以∠BEC=60°.
又因为EC=EB,
所以△BEC为等边三角形.
8.在等边三角形ABC所在的平面内存在点P,使△PAB,△PBC,△PAC都是等腰三角形.则具有这种性质的点P的个数为(C)
A.1 B.7 C.10 D.15
9.在△ABC中,已知∠A=60°,若要判定△ABC是等边三角形,还需添加一个条件.下面三个条件:①AB=AC;②∠B=∠C;③边AB,BC上的高相等.其中,正确的有(D)
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
10.如图,已知△ABC是等边三角形,点B,C,D,E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E= 15 度.
11.(2024·邵阳武冈市期末)如图,△ABC以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转60°得到△AB'C',则△ABB'是 等边 三角形.
12.如图,等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的三等分点.分别过点E,F沿着平行于BA,CA的方向各剪一刀,则剪下△DEF后剩余部分图形的周长是 20 .
13.如图,在△ABC中,D是AB边上任意点,DE⊥AC于点E,ED的延长线与CB的延长线交于点F,BD=BF,∠ABC=∠A,试判断
△ABC的形状,并说明理由.
【解析】△ABC是等边三角形,理由如下:
因为DE⊥AC,所以∠AED=∠CEF=90°,
所以∠A+∠ADE=90°,∠C+∠F=90°,
因为BD=BF,所以∠BDF=∠F,
因为∠ADE=∠BDF,所以∠ADE=∠F,
所以∠A=∠C,
又因为∠ABC=∠A,所以∠ABC=∠A=∠C,
所以△ABC是等边三角形.
14.(抽象能力、运算能力)如图所示,在△ABC中,AB=AC=BC=10厘米,M,N分别从点A,B同时出发,沿三角形的边运动.已知点M的速度是1厘米/秒,点N的速度是2厘米/秒,当点N第一次回到点B时,M,N同时停止运动.
(1)M,N同时运动几秒后,M,N两点重合
(2)M,N同时运动几秒后,可得等边三角形AMN
【解析】(1)设点M,N同时运动x秒后,M,N两点重合,x+10=2x,解得x=10.M,N同时运动10秒后,M,N两点重合.
(2)设点M,N同时运动t秒后,可得等边三角形AMN,
如图,则AM=t,AN=AB-BN=10-2t,
因为△AMN是等边三角形,
所以t=10-2t,解得t=,
所以点M,N同时运动秒后,可得等边三角形AMN.4.5 等腰三角形
第2课时
知识点1 等边三角形的性质
1.如图,直线l1∥l2,将等边三角形如图放置,若∠α=35°,则∠β等于( )
A.35° B.30° C.25° D.15°
2.三个等边三角形的摆放位置如图所示,若∠1+∠2=110°,则∠3的度数为( )
A.90° B.70° C.45° D.30°
3.如图,BD是等边△ABC的边AC上的高,以点D为圆心,DB长为半径作弧交BC的延长线于点E,则∠DEC=( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
4.如图,P,Q是△ABC的边BC上的两点,并且PB=PQ=QC=AP=AQ.求∠BAQ的大小.
知识点2 等边三角形的判定
5.已知△ABC中,AB=AC,下列结论:
①若AB=BC,则△ABC是等边三角形;
②若∠A=60°,则△ABC是等边三角形;
③若∠B=60°,则△ABC是等边三角形.
其中正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
6.(易错警示题)如图已知OA=a,P是射线ON上一动点,∠AON=60°,当OP= 时,△AOP为等边三角形.
7.如图,点E是DC的中点,EC=EB,∠CDA=120°,DF∥BE,且DF平分∠CDA,求证:△BEC为等边三角形.
8.在等边三角形ABC所在的平面内存在点P,使△PAB,△PBC,△PAC都是等腰三角形.则具有这种性质的点P的个数为( )
A.1 B.7 C.10 D.15
9.在△ABC中,已知∠A=60°,若要判定△ABC是等边三角形,还需添加一个条件.下面三个条件:①AB=AC;②∠B=∠C;③边AB,BC上的高相等.其中,正确的有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
10.如图,已知△ABC是等边三角形,点B,C,D,E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E= 度.
11.(2024·邵阳武冈市期末)如图,△ABC以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转60°得到△AB'C',则△ABB'是 三角形.
12.如图,等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的三等分点.分别过点E,F沿着平行于BA,CA的方向各剪一刀,则剪下△DEF后剩余部分图形的周长是 .
13.如图,在△ABC中,D是AB边上任意点,DE⊥AC于点E,ED的延长线与CB的延长线交于点F,BD=BF,∠ABC=∠A,试判断
△ABC的形状,并说明理由.
14.(抽象能力、运算能力)如图所示,在△ABC中,AB=AC=BC=10厘米,M,N分别从点A,B同时出发,沿三角形的边运动.已知点M的速度是1厘米/秒,点N的速度是2厘米/秒,当点N第一次回到点B时,M,N同时停止运动.
(1)M,N同时运动几秒后,M,N两点重合
(2)M,N同时运动几秒后,可得等边三角形AMN
