4.2 认识一次函数 教学设计（2课时）2025-2026学年数学北师大版八年级上册
文档属性
| 名称 | 4.2 认识一次函数 教学设计（2课时）2025-2026学年数学北师大版八年级上册 |  | |
| 格式 | DOCX | ||
| 文件大小 | 74.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-20 12:20:37 | ||
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文档简介
2 认识一次函数
第1课时 一次函数与正比例函数
1．理解一次函数和正比例函数的概念．
2．能够根据条件写出简单的一次函数表达式．
▲重点
理解一次函数和正比例函数的概念．
▲难点
一次函数知识的运用．
活动1 创设情境 导入新课(课件)
(多媒体出示)
问题：某登山队大本营所在地的气温是5 ℃，海拔每升高1 km气温下降6 ℃，登山队队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y ℃，试用表达式表示y与x间的关系．
在教师指导下，由学生讨论回答：每升高1 km气温下降6 ℃，那么升高x km，气温下降6x ℃，因此所在位置的气温为5－6x，即y＝－6x＋5.
自变量是x，右边是自变量的一次式，像这样的函数就是我们今天所要学的一次函数.
活动2 实践探究 交流新知
【探究】
1．在弹性限度内，某弹簧的长度y(m)与所挂物体的质量x(kg)的关系如下表所示：
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm 3 3.5 4 4.5 5 5.5
(1)随着所挂物体质量x的增加，弹簧长度y的增长是“均匀”的吗？
__是“均匀”的__；
(2)写出y与x之间的关系式，并说明理由．
__y＝0.5x＋3，所挂物体的质量x每增加1_kg，弹簧长度y增加0.5_cm__．
2．某辆汽车油箱中原有汽油40 L，汽车每行驶50 km耗油4 L.
(1)完成下表：
行驶路程x/km 0 50 100 150 200 250 300
耗油量y/L 0 4 8 12 16 20 24
(2)写出耗油量y与汽车行驶路程x之间的关系式：__y＝x__；
(3)写出油箱剩余油量z(L)与汽车行驶路程x之间的关系式：__z＝40－x__．
【归纳】如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的一次函数．特别地，当b＝0时，称y是x的正比例函数．
活动3 开放训练 应用举例
【例1】教材P81例1.
【方法指导】理解并运用一次函数和正比例函数．
解：(1)由路程＝速度×__时间__，得y＝__60x__，y__是__x的一次函数，也__是__x的正比例函数；
(2)由圆的面积公式，得y＝__πx2__，y__不是__x的正比例函数，也__不是__x的一次函数；
(3)这个水池每小时增加5 m3水，x h增加水__5x__m3，因而y＝15＋__5x__，y__是__x的一次函数，但__不是__x的正比例函数．
【例2】教材P82例2.
【方法指导】理解一次函数k，b在实际应用中的意义．
解：(1)刹车开始时汽车的速度为__120_km/h__，每过1 s汽车的速度减少__35_km/h__，于是经过t s汽车的速度减少__35t_km/h__，所以y与t之间的关系式是__y＝－35t＋120__．其中，k＝－35表示__每秒汽车速度的变化量__，b＝120表示__刹车开始时汽车的速度__；
(2)汽车停止时速度y＝__0__，解方程__0＝－35t＋120__，得t＝__≈3.43__．因此，该汽车从刹车到停止所需的时间大约为__3.43_s__．
活动4 随堂练习
1．有下列函数：(1)y＝；(2)y＝x＋5；(3)y＝－3x；(4)y＝3x2－4x；(5)y＝50－0.23x；(6)y＝.其中，是正比例函数的有__(3)(6)__，是一次函数的有__(2)(3)(5)(6)__．(均填序号)
2．已知函数y＝(m－1)x＋m＋2，当m__≠1__时，它是一次函数；当m＝__－2__时，它是正比例函数．
3．当k＝__1__时，y＝(k＋1)xk2＋k是y关于x的一次函数．
4．已知等腰三角形的周长为15 cm，若底边长为y cm，一腰长为x cm，写出y与x之间的函数关系式．
解：y＝15－2x.
活动5 课堂小结与作业
学生活动：通过这节课的学习你有什么收获？
教学说明：学生对本节课所学知识进行梳理，养成反思与总结的习惯．
作业：教材P82～83随堂练习T1、T2，P86～87习题4.2中的T1、T2、T3、T4.
本节课从生动有趣的问题情境(弹簧的长度、汽车油箱中的余油量)出发，再通过对一般规律的探索、总结、归纳的过程，最后从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念．教师在教学上恰当地设疑立障，引导学生大胆猜想，勇于探索，鼓励学生积极思考，总结出一次函数的定义，能很好地提高学生提出问题、分析问题、解决问题、总结归纳的能力．
第2课时 分段函数与方案选择
1．理解一次函数和正比例函数的概念，能根据实际问题列出分段函数关系式．
2．经历一般规律的探索过程，经历从实际问题中得到函数关系式，发展学生的数学应用能力．
▲重点
根据条件理解题意，列出函数表达式并做出方案选择．
▲难点
根据实际问题列一次函数、正比例函数．
活动1 创设情境 导入新课(课件)
1．一次函数的概念：如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成__y＝kx＋b__(k，b为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的一次函数．特别地，当__b＝0__时，称y是x的正比例函数．
2．正比例函数与一次函数的关系：正比例函数是__特殊__的一次函数，但一次函数__不一定__是正比例函数．
3．某软件公司开发出一种图书管理软件，前期投入的开发、广告宣传费用共5万元，每售出一套软件，软件公司还需对其进行安装调试，花费200元．公司花费的总费用y(元)与销售套数x(套)之间的函数关系式为__y＝200x＋50_000__，y__是__(选填“是”或“不是”)x的一种函数．
活动2 实践探究 交流新知
【探究】教材P83例3上方内容．
(1)假设该单位用车里程为30 km，甲公司需付费__15×30＝450(元)__，乙公司需付费__10×30＋200＝500(元)__．选择__甲__公司合算；
(2)假设该单位用车里程为52 km，甲公司需付费__15×52＝780(元)__，乙公司需付费__52×10＋200＝720(元)__，选择__乙__公司合算；
(3)用车里程为多少千米时，两家出租车公司的收费相同？
解：假设该单位用车里程为x km，
甲公司需付费y1＝15x，乙公司需付费y2＝10x＋200.
根据题意，得y1＝y2，即15x＝10x＋200，解得x＝40.
故用车里程为40 km时，两家出租车公司的收费相同．
【归纳】解决函数问题时，先根据不同的情况写出一次函数表达式，再结合实际情况进行比较和理解，选择合算的方案．
活动3 开放训练 应用举例
【例1】教材P83例3.
【方法指导】理解分档计费的概念，根据计费方式列出各档位计费的函数关系式．
解：(1)当220＜x≤300时，用水量属于__第二__档．于是__y＝3.45×220＋4.83×(x－220)__，即__y＝4.83x－303.6__；
(2)当x＝250时，y＝__4.83×250－303.6＝903.9__；
(3)∵3.45×220＝759，4.83×300－303.6＝1 145.4，
759＜1 000.5＜1 145.4.
∴该用户用水量属于第二档．
设该户年用水量为x m3，则1 000.5＝4.83x－303.6，
解这个方程，得x＝270.
因此，该户去年一年的用水量为270 m3.
【例2】我国居民个人劳务报酬所得税预扣预缴税款的计算方法是：每次收入不超过800元的，预扣预缴税款为0；每次收入超过800元但不超过4 000元的，预扣预缴税款＝(每次收入－800)×20%；……如某人取得劳务报酬2 000元，他这笔所得应预扣预缴税款(2 000－800)×20%＝240(元).
(1)当每次收入超过800元但不超过4 000元时，写出劳务报酬所得税预扣预缴税款y(元)与每次收入x(元)之间的关系式；
(2)某人某次取得劳务报酬3 500元，他这笔所得应预扣预缴税款多少元？
(3)如果某人某次预扣预缴劳务报酬所得税600元，那么此人这次取得的劳务报酬是多少元？
【方法指导】根据条件写出函数表达式．
解：(1)当每次收入超过800元但不超过4 000元时，
y＝(x－800)×20%，即y＝0.2x－160；
(2)当x＝3 500时，y＝0.2×3 500－160＝540(元)；
(3)∵(4 000－800)×20%＝640(元)，600<640，∴此人这次取得的劳务报酬不超过4 000元．设此人这次取得的劳务报酬是x元，则600＝0.2x－160.解得x＝3 800，∴此人这次取得的劳务报酬是3 800元．
活动4 随堂练习
1．某通讯公司最近推出的无线市话的收费标准为前3 min(不足3 min按3 min计)收费0.2元，3 min后每分钟收费0.1元．则通话一次的时间x(单位：min)(x＞3)与这次通话费用y(单位：元)之间的关系式是 (C)
A．y＝0.1x B．y＝0.2＋0.1x
C．y＝0.2＋0.1(x－3) D．y＝0.1x＋0.5
2．某中学要添置某种教学仪器，方案一：到商店购买，每件需要8元；方案二：学校自己制作，每件需要4元，但另外需要制作工具的租用费120元，设需要仪器x件，方案一的费用为y1元，方案二的费用为y2元．
(1)分别求出 y1，y2关于x的函数关系式；
(2)购买仪器多少件时，两种方案的费用相同；
(3)若学校需要仪器50件，采用哪种方案更便宜？
解：(1)y1＝8x，y2＝4x＋120；
(2)依题意，得y1＝y2，即8x＝4x＋120，
解得x＝30，
∴当需要的仪器为30件时，两种方案所需的费用相同；
(3)把x＝50分别代入y1＝8x，y2＝4x＋120中，得y1＝8×50＝400，y2＝4×50＋120＝320.
∵400＞320，即y1＞y2.
∴当需要的仪器为50件时，选择方案二费用更便宜．
活动5 课堂小结与作业
学生活动：通过这节课的学习你有什么收获？
教学说明：学生对本节课所学知识进行梳理，养成反思与总结的习惯．
作业：课本P84随堂练习T1，P87～88习题4.2中的T10、T11.
经历一般规律的探索过程，培养学生的抽象思维能力，经历从实际问题中得到函数表达式这一过程，提升学生的数学应用能力，体验生活中数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣．使学生在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心．
第1课时 一次函数与正比例函数
1．理解一次函数和正比例函数的概念．
2．能够根据条件写出简单的一次函数表达式．
▲重点
理解一次函数和正比例函数的概念．
▲难点
一次函数知识的运用．
活动1 创设情境 导入新课(课件)
(多媒体出示)
问题：某登山队大本营所在地的气温是5 ℃，海拔每升高1 km气温下降6 ℃，登山队队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y ℃，试用表达式表示y与x间的关系．
在教师指导下，由学生讨论回答：每升高1 km气温下降6 ℃，那么升高x km，气温下降6x ℃，因此所在位置的气温为5－6x，即y＝－6x＋5.
自变量是x，右边是自变量的一次式，像这样的函数就是我们今天所要学的一次函数.
活动2 实践探究 交流新知
【探究】
1．在弹性限度内，某弹簧的长度y(m)与所挂物体的质量x(kg)的关系如下表所示：
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm 3 3.5 4 4.5 5 5.5
(1)随着所挂物体质量x的增加，弹簧长度y的增长是“均匀”的吗？
__是“均匀”的__；
(2)写出y与x之间的关系式，并说明理由．
__y＝0.5x＋3，所挂物体的质量x每增加1_kg，弹簧长度y增加0.5_cm__．
2．某辆汽车油箱中原有汽油40 L，汽车每行驶50 km耗油4 L.
(1)完成下表：
行驶路程x/km 0 50 100 150 200 250 300
耗油量y/L 0 4 8 12 16 20 24
(2)写出耗油量y与汽车行驶路程x之间的关系式：__y＝x__；
(3)写出油箱剩余油量z(L)与汽车行驶路程x之间的关系式：__z＝40－x__．
【归纳】如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的一次函数．特别地，当b＝0时，称y是x的正比例函数．
活动3 开放训练 应用举例
【例1】教材P81例1.
【方法指导】理解并运用一次函数和正比例函数．
解：(1)由路程＝速度×__时间__，得y＝__60x__，y__是__x的一次函数，也__是__x的正比例函数；
(2)由圆的面积公式，得y＝__πx2__，y__不是__x的正比例函数，也__不是__x的一次函数；
(3)这个水池每小时增加5 m3水，x h增加水__5x__m3，因而y＝15＋__5x__，y__是__x的一次函数，但__不是__x的正比例函数．
【例2】教材P82例2.
【方法指导】理解一次函数k，b在实际应用中的意义．
解：(1)刹车开始时汽车的速度为__120_km/h__，每过1 s汽车的速度减少__35_km/h__，于是经过t s汽车的速度减少__35t_km/h__，所以y与t之间的关系式是__y＝－35t＋120__．其中，k＝－35表示__每秒汽车速度的变化量__，b＝120表示__刹车开始时汽车的速度__；
(2)汽车停止时速度y＝__0__，解方程__0＝－35t＋120__，得t＝__≈3.43__．因此，该汽车从刹车到停止所需的时间大约为__3.43_s__．
活动4 随堂练习
1．有下列函数：(1)y＝；(2)y＝x＋5；(3)y＝－3x；(4)y＝3x2－4x；(5)y＝50－0.23x；(6)y＝.其中，是正比例函数的有__(3)(6)__，是一次函数的有__(2)(3)(5)(6)__．(均填序号)
2．已知函数y＝(m－1)x＋m＋2，当m__≠1__时，它是一次函数；当m＝__－2__时，它是正比例函数．
3．当k＝__1__时，y＝(k＋1)xk2＋k是y关于x的一次函数．
4．已知等腰三角形的周长为15 cm，若底边长为y cm，一腰长为x cm，写出y与x之间的函数关系式．
解：y＝15－2x.
活动5 课堂小结与作业
学生活动：通过这节课的学习你有什么收获？
教学说明：学生对本节课所学知识进行梳理，养成反思与总结的习惯．
作业：教材P82～83随堂练习T1、T2，P86～87习题4.2中的T1、T2、T3、T4.
本节课从生动有趣的问题情境(弹簧的长度、汽车油箱中的余油量)出发，再通过对一般规律的探索、总结、归纳的过程，最后从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念．教师在教学上恰当地设疑立障，引导学生大胆猜想，勇于探索，鼓励学生积极思考，总结出一次函数的定义，能很好地提高学生提出问题、分析问题、解决问题、总结归纳的能力．
第2课时 分段函数与方案选择
1．理解一次函数和正比例函数的概念，能根据实际问题列出分段函数关系式．
2．经历一般规律的探索过程，经历从实际问题中得到函数关系式，发展学生的数学应用能力．
▲重点
根据条件理解题意，列出函数表达式并做出方案选择．
▲难点
根据实际问题列一次函数、正比例函数．
活动1 创设情境 导入新课(课件)
1．一次函数的概念：如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成__y＝kx＋b__(k，b为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的一次函数．特别地，当__b＝0__时，称y是x的正比例函数．
2．正比例函数与一次函数的关系：正比例函数是__特殊__的一次函数，但一次函数__不一定__是正比例函数．
3．某软件公司开发出一种图书管理软件，前期投入的开发、广告宣传费用共5万元，每售出一套软件，软件公司还需对其进行安装调试，花费200元．公司花费的总费用y(元)与销售套数x(套)之间的函数关系式为__y＝200x＋50_000__，y__是__(选填“是”或“不是”)x的一种函数．
活动2 实践探究 交流新知
【探究】教材P83例3上方内容．
(1)假设该单位用车里程为30 km，甲公司需付费__15×30＝450(元)__，乙公司需付费__10×30＋200＝500(元)__．选择__甲__公司合算；
(2)假设该单位用车里程为52 km，甲公司需付费__15×52＝780(元)__，乙公司需付费__52×10＋200＝720(元)__，选择__乙__公司合算；
(3)用车里程为多少千米时，两家出租车公司的收费相同？
解：假设该单位用车里程为x km，
甲公司需付费y1＝15x，乙公司需付费y2＝10x＋200.
根据题意，得y1＝y2，即15x＝10x＋200，解得x＝40.
故用车里程为40 km时，两家出租车公司的收费相同．
【归纳】解决函数问题时，先根据不同的情况写出一次函数表达式，再结合实际情况进行比较和理解，选择合算的方案．
活动3 开放训练 应用举例
【例1】教材P83例3.
【方法指导】理解分档计费的概念，根据计费方式列出各档位计费的函数关系式．
解：(1)当220＜x≤300时，用水量属于__第二__档．于是__y＝3.45×220＋4.83×(x－220)__，即__y＝4.83x－303.6__；
(2)当x＝250时，y＝__4.83×250－303.6＝903.9__；
(3)∵3.45×220＝759，4.83×300－303.6＝1 145.4，
759＜1 000.5＜1 145.4.
∴该用户用水量属于第二档．
设该户年用水量为x m3，则1 000.5＝4.83x－303.6，
解这个方程，得x＝270.
因此，该户去年一年的用水量为270 m3.
【例2】我国居民个人劳务报酬所得税预扣预缴税款的计算方法是：每次收入不超过800元的，预扣预缴税款为0；每次收入超过800元但不超过4 000元的，预扣预缴税款＝(每次收入－800)×20%；……如某人取得劳务报酬2 000元，他这笔所得应预扣预缴税款(2 000－800)×20%＝240(元).
(1)当每次收入超过800元但不超过4 000元时，写出劳务报酬所得税预扣预缴税款y(元)与每次收入x(元)之间的关系式；
(2)某人某次取得劳务报酬3 500元，他这笔所得应预扣预缴税款多少元？
(3)如果某人某次预扣预缴劳务报酬所得税600元，那么此人这次取得的劳务报酬是多少元？
【方法指导】根据条件写出函数表达式．
解：(1)当每次收入超过800元但不超过4 000元时，
y＝(x－800)×20%，即y＝0.2x－160；
(2)当x＝3 500时，y＝0.2×3 500－160＝540(元)；
(3)∵(4 000－800)×20%＝640(元)，600<640，∴此人这次取得的劳务报酬不超过4 000元．设此人这次取得的劳务报酬是x元，则600＝0.2x－160.解得x＝3 800，∴此人这次取得的劳务报酬是3 800元．
活动4 随堂练习
1．某通讯公司最近推出的无线市话的收费标准为前3 min(不足3 min按3 min计)收费0.2元，3 min后每分钟收费0.1元．则通话一次的时间x(单位：min)(x＞3)与这次通话费用y(单位：元)之间的关系式是 (C)
A．y＝0.1x B．y＝0.2＋0.1x
C．y＝0.2＋0.1(x－3) D．y＝0.1x＋0.5
2．某中学要添置某种教学仪器，方案一：到商店购买，每件需要8元；方案二：学校自己制作，每件需要4元，但另外需要制作工具的租用费120元，设需要仪器x件，方案一的费用为y1元，方案二的费用为y2元．
(1)分别求出 y1，y2关于x的函数关系式；
(2)购买仪器多少件时，两种方案的费用相同；
(3)若学校需要仪器50件，采用哪种方案更便宜？
解：(1)y1＝8x，y2＝4x＋120；
(2)依题意，得y1＝y2，即8x＝4x＋120，
解得x＝30，
∴当需要的仪器为30件时，两种方案所需的费用相同；
(3)把x＝50分别代入y1＝8x，y2＝4x＋120中，得y1＝8×50＝400，y2＝4×50＋120＝320.
∵400＞320，即y1＞y2.
∴当需要的仪器为50件时，选择方案二费用更便宜．
活动5 课堂小结与作业
学生活动：通过这节课的学习你有什么收获？
教学说明：学生对本节课所学知识进行梳理，养成反思与总结的习惯．
作业：课本P84随堂练习T1，P87～88习题4.2中的T10、T11.
经历一般规律的探索过程，培养学生的抽象思维能力，经历从实际问题中得到函数表达式这一过程，提升学生的数学应用能力，体验生活中数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣．使学生在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心．
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