4.6 线段的垂直平分线
知识点1 线段垂直平分线的性质与判定
1.已知点C,D是线段AB的垂直平分线MN上的点,MN交AB于点P,则一定有( )
A.PC=PD B.AC=AD
C.BC=BD D.DA=DB
2.(2024·岳阳临湘市期末)如图,在△ABC中,∠B=76°,边AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,连接AD,若AB+BD=BC,则∠C的度数为( )
A.28° B.30° C.36° D.38°
3.如图,在△ABC中,点E在AB的垂直平分线上,且AC=AE,AD平分∠EAC.若AC=3,CD=1,则BC= .
4.(教材再开发·P142习题4.6T1变式)如图,△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线DE分别交AC,AB于点D,E.
(1)若∠A=50°,求∠CBD的度数;
(2)若AB=8,△CBD周长为13,求BC的长.
知识点2 线段的垂直平分线的作法及应用
5.如图,已知点A和直线MN,过点A用尺规作图画出线段MN的垂线,下列画法中错误的是( )
6.如图,已知线段AB=6,利用尺规作AB的垂直平分线,步骤如下:①分别以点A,B为圆心,以b的长为半径作弧,两弧相交于点C和D.②作直线CD,直线CD就是线段AB的垂直平分线.则b的长可能是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
知识点3 角平分线的作法
7.(2025·娄底期中)如图,在△ABC中,∠A=74°,∠B=56°.尺规作图的步骤为:①以点C为圆心,任意长为半径画弧,分别交AC于点D,交BC的延长线于点E;②分别以D,E为圆心,大于DE为半径画弧,两弧交于点F;③作射线CF.则∠ECF的度数为( )
A.60° B.65° C.70° D.75°
8.如图,已知∠AOB=40°,以点O为圆心,以适当长度为半径画弧,分别交OA,OB于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线OP,过点P作PQ∥OB交OA于点Q,则∠OPQ的度数是 度.
9.如图,在等腰△ABC中,∠A=40°,分别以点A、点B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧分别交于点M和点N,连接MN,直线MN与AC交于点D,连接BD,则∠DBC的度数是( )
A.20° B.30° C.40° D.50°
10.(2025·郴州桂阳县期中)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=10°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M和N,再分别以M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数为( )
①AD是∠BAC的平分线;
②∠ADC=60°;
③点D在线段AB的垂直平分线上;
④S△DAC∶S△ABD=1∶1.
A.1 B.2 C.3 D.4
11.如图,∠AOB内一点P,P1,P2分别是点P关于OA,OB的对称点,P1P2交OA于点M,交OB于点N,若P1P2=10 cm,则△PMN的周长是 cm.
12.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,DE是BC的垂直平分线,交AB,BC于点D,E,若
∠DCB=30°,则图中等于60°的角有 个.
13. (几何直观、运算能力)如图,在△ABC中,点D在AC的垂直平分线上.
(1)若AB=AD,∠BAD=26°,求∠B和∠C的度数;
(2)若AB=AD=DC,AC=BC,求∠C的度数;
(3)若AC=6 cm,△ABD的周长为13 cm,求△ABC的周长.4.6 线段的垂直平分线
知识点1 线段垂直平分线的性质与判定
1.已知点C,D是线段AB的垂直平分线MN上的点,MN交AB于点P,则一定有(D)
A.PC=PD B.AC=AD
C.BC=BD D.DA=DB
2.(2024·岳阳临湘市期末)如图,在△ABC中,∠B=76°,边AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,连接AD,若AB+BD=BC,则∠C的度数为(D)
A.28° B.30° C.36° D.38°
3.如图,在△ABC中,点E在AB的垂直平分线上,且AC=AE,AD平分∠EAC.若AC=3,CD=1,则BC= 5 .
4.(教材再开发·P142习题4.6T1变式)如图,△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线DE分别交AC,AB于点D,E.
(1)若∠A=50°,求∠CBD的度数;
(2)若AB=8,△CBD周长为13,求BC的长.
【解析】(1)因为AB=AC,∠A=50°,所以∠ABC=∠C=65°,
又因为DE垂直平分AB,所以DA=DB,
所以∠ABD=∠A=50°,所以∠DBC=15°;
(2)因为DE垂直平分AB,所以DA=DB,
所以DB+DC=DA+DC=AC,
又因为AB=AC=8,△CBD周长为13,
所以BC=5.
知识点2 线段的垂直平分线的作法及应用
5.如图,已知点A和直线MN,过点A用尺规作图画出线段MN的垂线,下列画法中错误的是(A)
6.如图,已知线段AB=6,利用尺规作AB的垂直平分线,步骤如下:①分别以点A,B为圆心,以b的长为半径作弧,两弧相交于点C和D.②作直线CD,直线CD就是线段AB的垂直平分线.则b的长可能是(D)
A.1 B.2 C.3 D.4
知识点3 角平分线的作法
7.(2025·娄底期中)如图,在△ABC中,∠A=74°,∠B=56°.尺规作图的步骤为:①以点C为圆心,任意长为半径画弧,分别交AC于点D,交BC的延长线于点E;②分别以D,E为圆心,大于DE为半径画弧,两弧交于点F;③作射线CF.则∠ECF的度数为(B)
A.60° B.65° C.70° D.75°
8.如图,已知∠AOB=40°,以点O为圆心,以适当长度为半径画弧,分别交OA,OB于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线OP,过点P作PQ∥OB交OA于点Q,则∠OPQ的度数是 20 度.
9.如图,在等腰△ABC中,∠A=40°,分别以点A、点B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧分别交于点M和点N,连接MN,直线MN与AC交于点D,连接BD,则∠DBC的度数是(B)
A.20° B.30° C.40° D.50°
10.(2025·郴州桂阳县期中)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=10°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M和N,再分别以M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数为(A)
①AD是∠BAC的平分线;
②∠ADC=60°;
③点D在线段AB的垂直平分线上;
④S△DAC∶S△ABD=1∶1.
A.1 B.2 C.3 D.4
11.如图,∠AOB内一点P,P1,P2分别是点P关于OA,OB的对称点,P1P2交OA于点M,交OB于点N,若P1P2=10 cm,则△PMN的周长是 10 cm.
12.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,DE是BC的垂直平分线,交AB,BC于点D,E,若
∠DCB=30°,则图中等于60°的角有 5 个.
13. (几何直观、运算能力)如图,在△ABC中,点D在AC的垂直平分线上.
(1)若AB=AD,∠BAD=26°,求∠B和∠C的度数;
(2)若AB=AD=DC,AC=BC,求∠C的度数;
(3)若AC=6 cm,△ABD的周长为13 cm,求△ABC的周长.
【解析】(1)在△ABC中,AB=AD=DC,
因为AB=AD,在三角形ABD中,
∠B=∠ADB=(180°-26°)×=77°,
又因为AD=DC,在三角形ADC中,
所以∠C=77°×=38.5°.
(2)设∠B=x°,因为CA=CB,
所以∠B=∠CAB=x°,
因为AB=AD=DC,
所以∠B=∠ADB=x°,∠C=x°,
在△ABC中,x+x+x=180,
解得:x=72,所以∠C=×72°=36°.
(3)因为DE是AC的垂直平分线,
所以DA=DC,
因为△ABD的周长为13 cm,
所以AB+BD+AD=13 cm,
即AB+BD+DC=13 cm,
所以AB+BC+AC=13+6=19(cm),
所以△ABC的周长为19 cm.
