4.3 一次函数的图像 教学设计（2课时）2025-2026学年数学北师大版八年级上册

3　一次函数的图象
第1课时　正比例函数的图象与性质　
1．会利用描点法或两点法画出正比例函数的图象．
2．掌握正比例函数的性质．
▲重点
能够画出正比例函数的图象．
▲难点
理解正比例函数的表达式与图象之间的一一对应关系．
活动1　创设情境　导入新课(课件)
把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，所有这些点组成的图形叫作该函数的图象．
本章图4－1就是摩天轮上某一点的高度h(m)与旋转时间t(min)之间函数关系的图象．(投影教材P75图4－1)
正比例函数y＝kx的图象是怎样的呢？它具有哪些性质呢？下面，我们一起去研究吧！
活动2　实践探究　交流新知
【探究1】作正比例函数的图象
做一做：请同学们在平面直角坐标系中作出下面的正比例函数的图象(多媒体展示)．
(教材P89操作·思考)画正比例函数y＝2x的图象．
解：列表：
x … －2 －1 0 1 2 …
y … －4 －2 0 2 4 …
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
连线：把这些点依次连接起来，得到y＝2x的图象(如图)，它是一条直线．
总结：作一个函数的图象需要三个步骤：列表、描点、连线．
处理方式：让学生先小组内进行讨论如何来作出函数的图象，教师加以指导，然后教师演示如何作函数y＝2x的图象，最后教师总结出作函数图象的一般步骤．
做一做、议一议：(多媒体出示)请同学们以小组为单位，讨论下面的问题，把得出的结论写出来．
(1)画出正比例函数y＝－3x的图象；
(2)在所画的图象上任意取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否都满足关系y＝－3x；
(3)满足关系式y＝－3x的x，y所对应的点(x，y)都在正比例函数y＝－3x的图象上吗？
(4)正比例函数y＝kx的图象有什么特点？
探究结论：正比例函数的表达式与图象是一一对应的，即满足正比例函数的表达式的x，y所对应的点(x，y)都在正比例函数的图象上；正比例函数的图象上的点(x，y)都满足正比例函数的表达式．正比例函数y＝kx的图象是一条直线．
【归纳】正比例函数y＝kx的图象是一条经过原点(0，0)的直线．因此，画正比例函数图象时，只要再确定一个点，过这个点与原点画直线就可以了.
【探究2】探索正比例函数图象的性质
请同学们画出下列函数的图象．(多媒体出示)
【例】在同一平面直角坐标系中画出正比例函数y＝x，y＝3x，y＝－x，y＝－4x的图象．
问题1：观察上面所画的四个函数图象，随着x值的增大，y的值分别如何变化？
问题2：正比例函数y＝x和y＝3x中，随着x值的增大，y的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能解释其中的道理吗？
问题3：类似地，正比例函数y＝－x和y＝－4x中，随着x值的增大，y的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？
问题分析：
问题1：在正比例函数y＝kx中，当k>0时，图象在第__一、三__象限，y的值随着x值的增大而__增大__(即从左向右观察图象时，直线是向上倾斜的)；当k<0时，图象在第__二、四__象限，y的值随着x值的增大而__减小__(即从左向右观察图象时，直线是向下倾斜的)．
问题2：正比例函数y＝x和y＝3x中，随着x值的增大，y＝3x中y的值增大得更快．
问题3：正比例函数y＝－x和y＝－4x中，随着x值的增大，y＝－4x中y的值减小得更快．
【归纳】|k|越大，直线越靠近y轴．
活动3　开放训练　应用举例
【例1】画出函数y＝4x的图象．
【方法指导】画函数图象的三个步骤．
解：略．
【例2】教材P91随堂练习T1.
【方法指导】正比例函数图象的性质．
解：图象略．y＝x，y的值随着x值的增大而增大；y＝－x，y的值随着x值的增大而减小.
活动4　随堂练习
1．正比例函数y＝－x的图象不经过点 (C)
A．(－2，1) B．(0，0)
C．(2，1) D．(2，－1)
2．函数y＝－0.5x的大致图象是 (D)
3．在平面直角坐标系中，已知正比例函数y＝3x的图象经过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点．若x1”“<”或“＝”)
4．正比例函数y＝－4x的图象经过点(0，__0__)与(1，__－4__)，y随x的增大而__减小__．
活动5　课堂小结与作业
学生活动：1.函数图象：把一个函数__自变量__的每一个值与对应的__函数值__分别作为点的__横坐标__和__纵坐标__，在平面直角坐标系中描出相应的__点__，所有这些__点__组成的图形叫作该函数的图象．
2．画函数图象的一般步骤：__列表__、__描点__、__连线__．
3．正比例函数y＝kx的图象是一条经过__原点(0，0)__的直线．因此，画正比例函数图象时，只要再确定一个点，过这个点与原点画直线就可以了．
4．在正比例函数y＝kx中，当k>0时，图象位于__一、三__象限，y的值随着x值的增大而__增大__；当k<0时，图象位于__二、四__象限，y的值随着x值的增大而__减小__.
教学说明：以填空的形式可以快速地回顾、梳理本节课所学知识．
作业：教材P93习题4.3中的T1(1)(2)(3)、T2、T3.
本节课是利用数形结合的思想去研究正比例函数的图象与性质，在教学过程中，函数与图象的对应关系应让学生动手去实践、去发现，对正比例函数的图象是一条直线应让学生自己得出．在巩固练习活动中，鼓励学生积极思考，提高学生解决实际问题的能力．
第2课时　一次函数的图象与性质
1．掌握一次函数的图象及其性质．
2．理解一次函数图象与代数表达式之间的关系．
3．比较熟练地画出一次函数图象．
▲重点
掌握一次函数的图象与性质．
▲难点
由一次函数的图象归纳出一次函数的性质．
活动1　创设情境　导入新课(课件)
问题情境：我们知道正比例函数y＝2x的图象是过原点的一条直线，那么一次函数y＝2x＋1的图象又是怎样的呢？下面研究一次函数y＝kx＋b的图象.
活动2　实践探究　交流新知
【探究1】画出一次函数y＝2x＋1的图象(多媒体出示)．
问题1：与正比例函数相比，一次函数y＝kx＋b的图象有什么特点？
问题2：还可以怎样画一次函数的图象？
【归纳】一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线．
【探究2】在同一平面直角坐标系内分别画y＝2x＋3，y＝－x，y＝－x＋3和y＝5x－2的图象．
【探究3】
活动内容1：
问题1：上述四个函数中，随着x值的增大，y的值分别如何变化？相应图象上点的变化趋势如何？
问题2：直线y＝－x与直线y＝－x＋3的位置关系如何？你能通过适当的移动将直线y＝－x变为直线y＝－x＋3吗？一般地，直线y＝kx＋b与y＝kx又有怎样的位置关系呢？
问题3：直线y＝2x＋3与直线y＝－x＋3有什么共同点？一般地，你能从函数y＝kx＋b的图象上直接看出b的数值吗？
(多媒体出示)
一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的图象与性质
k>0 y随x的增大而增大
k<0 y随x的增大而减小
k相等 图象平行
b相等 图象相交于点(0，b)
活动内容2：
在函数y＝－5x，y＝－5x＋4，y＝－5x－4的图象中：
(1)这三个函数的图象形状都是__一条直线__；
(2)函数y＝－5x的图象经过原点，一次函数y＝－5x＋4的图象可以看作由直线y＝－5x向__上__平移__4__个单位长度而得到；一次函数y＝－5x－4的图象可以看作由直线y＝－5x向__下__平移__4__个单位长度而得到；
(3)一次函数y＝－5x＋4的图象与x轴的交点坐标为____，与y轴的交点坐标为__(0，4)__．
活动3　开放训练　应用举例
【例1】用列表、描点、连线的方法画一次函数y＝－2x＋1的图象．
【方法指导】列表、描点、连线．
解：列表：
x … －2 －1 0 1 2 …
y … 5 3 1 －1 －3 …
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点．
连线：把这些点依次连接起来，得到y＝－2x＋1的图象，它是一条__直线__．
【例2】在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并求出它们与坐标轴交点的坐标：(1)y＝3x；(2)y＝－3x＋2.
【方法指导】因为一次函数的图象是直线，根据两点确定一条直线，所以只要描出图象上的两个点，就能画出一次函数的图象．
解：(1)函数y＝3x.
令x＝0，得y＝0，得到点(0，0)，
令x＝1，得y＝3，得到点(1，3).
过点(0，0)，(1，3)画直线，就得到函数y＝3x的图象，如图．从图象中可以看出，它与坐标轴的交点是原点(0，0)；
(2)函数y＝－3x＋2.
令x＝0，得y＝2，得到点(0，2)；
令x＝1，得y＝－1，得到点(1，－1).
过点(0，2)，(1，－1)画直线，就得到函数y＝－3x＋2的图象，如图．从图象中可以看出，它与y轴的交点坐标是(0，2).令y＝0，得－3x＋2＝0，解得x＝，∴它与x轴的交点坐标是.
活动4　随堂练习
1．一次函数y＝kx＋b(k>0，b<0)的大致图象是 (C)
2．已知一次函数y＝－x＋b的图象经过第二、三、四象限，则b的值可以是 (A)
A．－2 B．1 C．0 D．2
3．一次函数y＝－3＋5x的图象不经过第__二__象限，y随着x的增大而__增大__．
4．直线y＝2x－4可由直线y＝2x向__下__平移__4__个单位长度得到．
5．若一次函数的图象经过第一、二、三象限，则该一次函数的关系式为__y＝2x＋1(答案不唯一)__．(填上一个合适的关系式即可)
活动5　课堂小结与作业
学生活动：
1．在一次函数y＝kx＋b中，当k>0时，y的值随着x值的增大而__增大__，当b>0时， 直线必过第__一、二、三__象限，当b<0时，直线必过第__一、三、四__象限；
当k<0时，y的值随着x值的增大而__减小__， 当b>0时，直线必过第__一、二、四__象限，当b<0时，直线必过第__二、三、四__象限．
2．同一平面内，不重合的两条直线l1：y1＝k1x＋b1与l2：y2＝k2x＋b2，当__k1＝k2__时，l1∥l2.
教学说明：让学生对本节课所学的知识进行梳理．
作业：教材P92随堂练习T1、T2，P93习题4.3中的T4、T5.
本节课引导学生观察一次函数的图象，探讨一次函数的性质，逐步加深学生对一次函数及性质的认识．在师生互动、生生互动的探索实践活动中，促成学生对一次函数知识结构的构建和完善．