4.4 一次函数的应用 教学设计（3课时）2025-2026学年数学北师大版八年级上册

4　一次函数的应用
第1课时　确定一次函数表达式
1．利用待定系数法确定一次函数的表达式．
2．能利用所学知识解决简单的实际问题．
▲重点
利用待定系数法确定一次函数的表达式．
▲难点
灵活运用一次函数的有关知识解决问题．
活动1　创设情境　导入新课(课件)
回顾一次函数的图象和性质．(多媒体出示问题)
1．什么是一次函数？
解：如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的一次函数．
2．一次函数的图象是什么？
解：一次函数的图象是一条直线，一次函数y＝kx＋b的图象也称为直线y＝kx＋b.
3．一次函数具有什么性质？
解：在一次函数y＝kx＋b中，当k>0时，y的值随着x值的增大而增大；当k<0时，y的值随着x值的增大而减小．
活动2　实践探究　交流新知
【探究1】正比例函数表达式展示实际情境
某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(m/s)与其下滑时间t(s)的关系如图所示.
(1)v与t之间的函数关系式是__v＝t__；
(2)下滑3 s时物体的速度是___m/s__．
确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？
【探究2】一次函数表达式展示实际情境
由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少，蓄水量V(万m3)与干旱持续时间t(天)之间的关系如图所示．
求蓄水量V(万m3)与时间t(天)之间的函数表达式.
思考：设函数表达式为y＝kx＋b，由图象可知直线与y轴的交点坐标为(0，1 200)，则b＝1 200，再知道直线上另外一点的坐标，即可求出函数表达式．
【归纳】确定一次函数的表达式需要2个条件，步骤是设、代、解、定．
活动3　开放训练　应用举例
【例1】教材P95例1.
【方法指导】运用求一次函数表达式的方法．
解：设y＝kx＋b，根据题意，得
__14.5__＝b，①
__16__＝3k＋b.②
将①代入②，得k＝__0.5__．
∴在弹性限度内，y＝__0.5x＋14.5__．
当x＝4时，y＝__0.5×4＋14.5＝16.5__．
因此，当所挂物体的质量为4 kg时，弹簧长度为__16.5__cm.
【例2】如图，直线l是一次函数y＝kx＋b的图象，求l与两坐标轴所围成的三角形的面积．
【方法指导】先求出一次函数y＝kx＋b的表达式，再求直线与x轴交点坐标，最后求三角形的面积．
解：把(0，2)，(2，－2)代入y＝kx＋b中，得b＝2，2k＋b＝－2，解得b＝2，k＝－2.
∴y＝－2x＋2.
当y＝0时，x＝1，∴l与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×2＝1.
活动4　随堂练习
1．油箱中存油10 L，油从油箱中均匀流出，流速为0.2 L/min，则油箱中剩余油量Q(L)与流出时间t(min)之间的函数关系式是 (B)
A．Q＝0.2t B．Q＝10－0.2t
C．t＝0.2Q D．t＝10－0.2Q
2．一次函数y＝kx＋b的图象经过点(－1，－1)，(0，2)，则其函数表达式为__y＝3x＋2__．
3．如图所示的直线是某一次函数的图象，点A(－1，7)，B(4，－4)是否在该函数的图象上？
解：设直线的函数表达式为y＝kx＋b.
把(0，4)，(2，0)代入，得b＝4，2k＋b＝0，
解得b＝4，k＝－2.∴y＝－2x＋4.
当x＝－1时，y＝6≠7；当x＝4时，y＝－4，
∴点A不在该函数的图象上，点B在该函数的图象上．
4．某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)是行李质量x(kg)的一次函数，其图象如图所示.
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)旅客最多可免费携带多少千克的行李？
解：(1)y＝0.2x－6；
(2)30 kg.
活动5　课堂小结与作业
学生活动：通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？
教学说明：给学生一定的时间去反思回顾，让学生们畅所欲言，然后老师点评．
作业：教材P96随堂练习T1、T2、T3，P101习题4.4中的T1、T2.
本节课由浅入深，利用了丰富的实际情境，既增加了学生学习的兴趣，又让学生深切体会到一次函数就在我们身边，应用非常广泛．
第2课时　借助一个一次函数图象解决有关问题
1．能通过函数图象获取信息，发展形象思维．
2．能利用函数图象解决简单的实际问题．
3．初步体会方程与函数的关系．
▲重点
利用一次函数解决简单的实际问题．
▲难点
根据一次函数图象分析解决问题．
活动1　创设情境　导入新课(课件)
(多媒体投影教材P96例2上面部分)
问题1：x轴和y轴上的数据分别代表什么？
问题2：当x＝0时，y＝__10__，它代表油箱最大储油量．
问题3：当y＝0时，x＝__500__，它代表摩托车最多行驶的路程．
问题4：摩托车每行驶100 km消耗__2__L油．
单独完成教材上问题(1)(2)(3)(4)，再小组讨论．
让学生体会利用一次函数图象解决实际问题的方法．如果从图象上不能很明显得出结论，还需要求出一次函数的表达式再进行求解．今天我们来学习用一次函数图象解决简单的实际问题．
活动2　实践探究　交流新知
【探究1】简单的一次函数的实际应用
(多媒体投影教材P96例2)
解：观察图象，得
(1)当t＝0时，V＝__1_200__，因此，干旱开始时水库的蓄水量是__1_200__万m3；
(2)当t＝10时，V＝1 000.因此，干旱持续10天，水库的蓄水量为__1_000__万m3.当t为23时，V≈750.因此，干旱持续23天，水库的蓄水量约为__750__万m3；
(3)当V＝400时，t≈__40__．因此，干旱持续约__40__天后将发出严重干旱警报．
【探究2】一次函数与一元二次方程的关系
阅读教材P97思考·交流填空．
(1)例2中函数的表达式为__y＝－20x＋1_200__；
(2)当y＝0时，x＝__60__；
(3)一元一次方程－20x＋1 200＝0的解为__x＝60__；
(4)一元一次方程－20x＋1 200＝0与一次函数y＝－20x＋1 200有什么联系？
结论：一次函数y＝－20x＋1 200的图象与x轴交点的横坐标就是方程－20x＋1 200＝0的解.
【归纳】一般地，当一次函数y＝kx＋b的函数值为0吋，相应的自变量的值就是方程__kx＋b＝0__的解．从图象上看，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴__交点的横坐标__就是方程kx＋b＝0的解．
活动3　开放训练　应用举例
【例1】某公司销售人员的个人月收入y(元)与其每月的销售量x(千件)成一次函数关系，图象如图所示，则此销售人员的销售量为3千件时的月收入是多少元？
【方法指导】先求出y与x的一次函数关系式，再求月收入.
解：设一次函数的表达式为y＝kx＋b，代入(0，500)，(2，1 100)，
得b＝500，2k＋b＝1 100，
解得k＝300，b＝500.
∴一次函数表达式为y＝300x＋500，
∴当x＝3时，y＝300×3＋500＝1 400.
答：此销售人员的销售量为3千件时的月收入是1 400元．
【例2】科学家通过实验探究出，一定质量的某气体在体积不变的情况下，压强P(kPa)随温度t(℃)变化的函数关系是P＝kt＋b，其图象如图．
(1)根据图象求出上述气体的压强P与温度t的函数关系式；
(2)当压强P为200 kPa时，求上述气体的温度．
【方法指导】先根据图象分析题意，求出函数关系式，再代入求值．
解：(1)把(0，100)，(25，110)代入P＝kt＋b，
得b＝100，25k＋b＝110，
解得k＝，b＝100，
故所求函数关系式为P＝t＋100(t≥0)；
(2)当P＝200时，由(1)，得t＋100＝200，解得t＝250.
即当压强P为200 kPa时，气体的温度是250 ℃.
活动4　随堂练习
1．直线y＝2x＋b与x轴的交点坐标是(2，0)，则关于x的方程2x＋b＝0的解是 (A)
A．x＝2 B．x＝4 C．x＝8 D．x＝10
2．电子体重秤的原理是利用力传感器在置物平台上放上重物后，使表面发生形变而引发了内置电阻的形状变化，电阻的形变必然引发电阻值的变化，电阻值的变化又使内部电流发生变化产生了相应的电信号，电信号经过处理后就成了可视数字．简易电子秤制作方法：制作一个装有踏板(踏板质量忽略不计)的可变电阻R1，已知R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km＋b(其中k，b为常数，0≤m≤120)，如图所示．下列说法不正确的是 (D)
A．b＝240
B．可变电阻R1随着踏板上人的质量m的增加而减小
C．当踏板上人的质量m每增加10 kg，可变电阻R1减小20 Ω
D．当可变电阻R1为90 Ω时，对应测得人的质量m为60 kg
　　　　　
3．放学后，小明骑车回家，他经过的路程s(km)与所用时间t(min)的函数关系如图所示，则小明的骑车速度是__0.2__km/min.
4．某种拖拉机的油箱可储油40 L，加满油并开始工作后，油箱中的余油量y(L)与工作时间x(h)之间为一次函数关系如图．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)一箱油可供拖拉机工作几小时？
解：(1)设y＝kx＋b，
根据题意，得30＝2k＋b，40＝b，
解得k＝－5，b＝40，
∴y＝－5x＋40；
(2)8 h．
活动5　课堂小结与作业
学生活动：你的主要收获是什么？你能根据一次函数的图象解决简单问题吗？
教学说明：培养学生分析、概括能力，并会把函数知识渗透于实际生活中．
作业：教材P101～102习题4.4中的T3、T4、T5.
函数和我们的生活密切相关，函数图象可以直观地反映一些规律．对函数图象的理解，其关键是弄清函数图象上的点的意义，即横坐标与纵坐标的意义．本节课采取小组合作交流获取信息，应用所学的知识解决有关一次函数的问题的方式进行，教学时还可以根据学生的实际情况，结合函数图象提出相应的实际问题．
第3课时　借助两个一次函数图象解决有关问题
1．能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题．
2．在函数图象信息获取过程中，解决实际问题．
▲重点
两个一次函数图象的应用．
▲难点
根据函数图象解决实际问题．
活动1　创设情境　导入新课(课件)
王教授和孙子小强经常一起爬山．有一天，小强让爷爷先走，然后追赶爷爷，图中的两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离(m)与爬山所用时间(min)的关系(从小强开始爬山时计时)．
(1)小强让爷爷先走了多少米？
(2)小强经过多长时间追上了爷爷？
活动2　实践探究　交流新知
【探究】如图，l1表示某公司产品的销售收入与销售量之间的关系，l2表示该公司产品的销售成本与销售量之间的关系．
根据图象填空：
(1)当销售量为2 t时，销售收入＝__2_000__元，销售成本＝__3_000__元；
(2)当销售量为6 t时，销售收入＝__6_000__元，销售成本＝__5_000__元；
(3)当销售量等于__4_t__时，销售收入等于销售成本；
(4)当销售量__>4_t__时，该公司赢利(收入大于成本)；当销售量__<4_t__时，该公司亏损(收入小于成本)；
(5)当销售量等于__6_t__时，该公司赢利(收入减成本)1 000元；
(6)l1对应的函数表达式是__y＝1_000x__，l2对应的函数表达式是__y＝500x＋2_000__．
图中，设l1对应的一次函数为y＝k1x＋b1，k1和b1的实际意义各是什么？设l2对应的一次函数为y＝k2x＋b2，k2和b2的实际意义各是什么？与同伴进行交流．
结论：l1中，k1＝__1_000__，b1＝__0__，k1表示的是每销售1 t，销售收入是__1_000元__，b1表示__没有销售时无收入__；l2中，k2＝__500__，b2＝__2_000__，k2表示的是销售量每增加1 t，销售成本增加__500元__，b2表示__没有销售量时成本是2_000元__．
活动3　开放训练　应用举例
【例1】教材P99例3.
【方法指导】根据函数图象分析解决问题．
解：(1)直线__l1__(选填“l1”或“l2”)表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系，理由是：__当t＝0时，甲距离观景台1为0_m__；
(2)__甲__的速度快；
(3)如图4－13，延长l1，l2，可以看出，当t＝30时，l1上的对应点在l2上对应点的__下方__(选填“上方”或“下方”)，这表明，30 min时甲尚未追上乙；
(4)在图4－13中，l1与l2交点P的纵坐标小于__2_100__，这说明，甲__能__(选填“能”或“不能”)在观景台3前追上乙；
(5)k1表示甲的速度，k2表示乙的速度．甲的速度是__50_m/min__，乙的速度是__30_m/min__.
【例2】在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y(cm)与燃烧时间x(h)之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
(1)甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是________，从点燃到燃尽所用的时间分别是________；
(2)分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式；
(3)燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等(不考虑都燃尽时的情况)？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？
【方法指导】根据图象计算出甲、乙两根蜡烛剩余部分高度与燃烧时间的函数表达式．
解：(1)30 cm，25 cm　2 h，2.5 h
(2)甲：设y＝k1x＋b1.将(0，30)，(2，0)代入y＝k1x＋b1中可得k1＝－15，b1＝30，所以y＝－15x＋30.
乙：设y＝k2x＋b2.把(0，25)，(2.5，0)代入y＝k2x＋b2中可得k2＝－10，b2＝25，所以y＝－10x＋25；
(3)令－15x＋30＝－10x＋25，解得x＝1.∴燃烧1 h时，甲、乙两根蜡烛的高度相等；在0≤x<1时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高；在1活动4　随堂练习
1．如图，表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中离开甲港的距离随时间变化的图象，根据图象，下列结论错误的是 (D)
A．轮船的速度为20 km/h B．轮船比快艇先出发2 h
C．快艇的速度为40 km/h D．快艇不能赶上轮船
　　　　
2．如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y(元)与销售量x(件)之间的函数图象．下列说法：①销售2件时，甲、乙两家销售价一样；②买1件时，买乙家的合算；③买3件时，买甲家的合算；④买乙家的1件销售价约为3元．其中，正确的说法是 (D)
A．①② B．②③④ C．②③ D．①②③
3．某医药研究所开发了一种新药，在实验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y(μg)随时间x(h)的变化情况如图所示，当成人按规定剂量服药后．
(1)服药后__2__h，血液中含药量最高，达每毫升__6__μg，接着逐步降低；
(2)服药后5 h，血液中含药量为每毫升__3__μg；
(3)当x≤2时，y与x之间的函数关系式是__y＝3x__；
(4)当x≥2时，y与x之间的函数关系式是__y＝－x＋8__；
(5)如果每毫升血液中含药量为3 μg及以上时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间范围是多少小时？
解：由y＝3x得，当y＝3时，3x＝3，解得x＝1.
由y＝－x＋8得，当y＝3时，－x＋8＝3，解得x＝5，
5－1＝4(h).
答：这个有效时间范围是4 h．
活动5　课堂小结与作业
学生活动：通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．
教学说明：让学生对本节课所学知识进行梳理，会借助两个函数图象来分析解决问题．
作业：教材P103习题4.4中的T10、T11.
本节课是在学生已经掌握了一次函数的图象和有关性质的基础上，对有关知识进行应用和拓展．在教学过程中，通过问题情境的创设，激发学生的学习兴趣，引导学生进行探究活动．