5.1 认识二元一次方程组 教学设计 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第五章　二元一次方程组
1　认识二元一次方程组
教师备课　素材示例
●情景导入　
问题1：从它们的对话中，你最想知道什么？
问题2：如果假设老牛驮了x个包裹，小马驮了y个包裹，你能得到怎样的方程？能列几个？
【教学与建议】教学：通过现实情景，导入二元一次方程．建议：可由两名同学有感情地分角色朗读，活跃课堂气氛．
●置疑导入　问题1：文具盒中有红、黄两种颜色的彩笔共10支，请猜一猜红色、黄色彩笔各多少支？
问题2：篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，某队在14场比赛中得到26分，那么这个队胜负场数分别是多少？
学生回答或展示．
教师点评：(1)若用x，y分别表示红色彩笔、黄色彩笔的支数，则可列方程x＋y＝10；(2)设这个队胜x场，负y场，则可列方程x＋y＝14，2x＋y＝26.这里出现的三个方程是我们原来没有学过的，今天我们来认识这类方程．
【教学与建议】教学：由问题得出用两个未知数表示一个等式，经历列出二元一次方程的过程．建议：引导学生回答问题，小组合作完成题目．
命题角度1　判断二元一次方程组
二元一次方程组需要满足三个条件：(1)方程组中总共含有两个未知数；(2)含有未知数的项的次数都是1；(3)每个方程都是整式方程．
【例1】(1)下列方程组中，是二元一次方程组的是 (D)
A．　　B．　　
C．　　D．
(2)下列方程组中，是二元一次方程组的是__①③__．(填序号)
①②③④
命题角度2　判断方程(组)的解
分别把所给的几组数依次代入到所给方程组的每个方程中进行检验，使所有方程都成立的为二元一次方程组的解．
【例2】(1)二元一次方程组的解是 (C)
A． B．
C． D．
(2)是下列哪个二元一次方程的解 (B)
A．x－y＝1 B．2y＋x＝11
C．2x－y＝5 D．－x＋3y＝2
(3)二元一次方程x－2y＝1有无数组解，下列四组值中，不是该方程的解的是 (B)
A． B．
C． D．
命题角度3　给出方程(组)的解，求方程中待定字母的值
将所给方程的解代入方程中，得到关于待定字母的方程，求解即得待定字母的值.
【例3】(1)若是关于x，y的二元一次方程ax＋y＝3的解，则a＝__1__．
(2)若是二元一次方程组的解，则m－n的值是__4__．将所给的一组数代入到各个二元一次方程中，能使方程成立的即为所求．
(3)已知与都是方程x＋y＝b的解，则(b＋c)2 025＝__1__．
高效课堂　教学设计
1．掌握二元一次方程、二元一次方程组及其解的有关概念．
2．会判断一组数是不是某个二元一次方程(组)的解．
▲重点
二元一次方程(组)及其解的含义．
▲难点
理解二元一次方程组的解．
活动1　创设情境　导入新课(课件)
【情境一】
小明和小颖参加课外种植实践活动，他们分别栽种了若干株绿植．已知小明栽种的绿植比小颖多2株，如果将小颖栽种的绿植给小明1株，那么小明的绿植株数是小颖的2倍．
问题1：这个情境涉及哪些量？这些量之间有什么等量关系？
问题2：设小明栽种x株绿植，小颖栽种y株绿植，你能写出几个方程？
【情境二】周末，小亮和朋友们到公园徒步锻炼，他们一共8个人，买门票花了34元．已知每张成人票5元，每张学生票3元．
问题1：这个情境涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？
问题2：设他们中有x个成人，y名学生，由此你能得到怎样的方程？
活动2　实践探究　交流新知
【探究1】二元一次方程的概念
观察并思考：
x－y＝2，x＋1＝2(y－1)，x＋y＝8，5x＋3y＝34.
(1)观察以上几个方程，它们各含有几个未知数？含未知数的项的次数是多少？与一元一次方程有何异同？
(2)能否仿照一元一次方程的定义给这几个方程起个名字？
【归纳】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程．
它有三个特征：(1)含有两个未知数；(2)含有未知数的项的次数都是1；(3)方程的两边都是整式．
【探究2】二元一次方程组的概念
对于公园门票问题：在方程x＋y＝8和5x＋3y＝34中，x所表示的对象相同吗？y呢？与同伴进行交流．
总结：两个方程中x，y所表示的对象分别相同．
x，y必须同时满足两个方程，所以我们把它们联立起来，在前面加一个大括号，组成方程组
【归纳】共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组．
【探究3】二元一次方程(组)的解
做一做：
(1)x＝6，y＝2满足方程x＋y＝8吗？x＝5，y＝3呢？x＝4，y＝4呢？你还能找到其他x，y的值满足方程x＋y＝8吗？
(2)x＝5，y＝3满足方程5x＋3y＝34吗？ x＝2，y＝8呢？
(3)你能找到一组x，y的值，同时满足方程x＋y＝8和5x＋3y＝34吗？
【归纳】使一个二元一次方程左、右两边的值相等的一组未知数的值，叫作这个二元一次方程的一个解．
x＝5，y＝3是二元一次方程x＋y＝8的一个解，记作同样也是二元一次方程5x＋3y＝34的一个解．
同时适合方程x＋y＝8和5x＋3y＝34，那么，我们就说是二元一次方程组的解．
【归纳】二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解．
活动3　开放训练　应用举例
【例1】如果方程2xm-1－3y2m＋n＝1是二元一次方程，那么m＝__2__，n＝__－3__．
【方法指导】根据二元一次方程的定义得关于m，n的方程m－1＝1，2m＋n＝1，解之即可．
【例2】已知下列四对数值：①②③④
(1)哪几对是方程2x－y＝5的解？
(2)哪几对是方程x＋3y＝6的解？
(3)哪几对是方程组的解？
【方法指导】将值代入进行验算即可．
解：通过验算，可得
(1)①和②是方程2x－y＝5的解；
(2)①和③是方程x＋3y＝6的解；
(3)①是方程组的解．
活动4　随堂练习
1．下列方程组中，属于二元一次方程组的是 (C)
A． B．
C． D．
2．请写出一个二元一次方程组：__(答案不唯一)__，使它的解是
3．若关于x，y的二元一次方程组的解为则多项式A可以是__x－y(答案不唯一)__．(写出一个即可)
4．已知是方程2x－ay＝3b的一个解，那么a－3b＝__－2__．
5．在①②，③三对数值中，__①③__是方程x＋y＝3的解，__②③__是方程3x＋2y＝5的解，__③__是方程组的解．(填序号)
活动5　课堂小结与作业
学生活动：这节课的收获是什么？你还有什么困惑？
教学说明：善于归纳总结数学定义．
作业：教材P113随堂练习T1、T2、T3，P113～114习题5.1中的T1、T2、T3.
本节课通过创设情境，让学生感受数学知识的产生、发展与形成过程．在教学过程中，不但注重数学知识的产生与形成过程，同时注重思想方法与思想情感教育的渗透，使学生的思想情感得到升华．