5.3 二元一次方程组的应用 教学设计（3课时）2025-2026学年数学北师大版八年级上册
文档属性
| 名称 | 5.3 二元一次方程组的应用 教学设计（3课时）2025-2026学年数学北师大版八年级上册 |  | |
| 格式 | DOCX | ||
| 文件大小 | 527.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-20 12:28:07 | ||
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文档简介
3 二元一次方程组的应用
第1课时 二元一次方程组的应用——“鸡兔同笼”
1．在具体问题的解决过程中分析数量关系，列出方程组．
2．使学生掌握运用方程组解决实际问题的一般步骤．
▲重点
根据等量关系列二元一次方程组解应用题．
▲难点
根据题意找出等量关系，列出方程．
活动1 创设情境 导入新课(课件)
“鸡兔同笼”是经典的数学问题，在小学阶段同学们曾探究过它的多种解法．这节课我们用本单元学习的方程组来解决此问题．
活动2 实践探究 交流新知
【探究】(1)画图法：
用“○”表示头，先画35个头；将所有头都看作鸡的，用“||”表示脚，画出了70只脚；还剩24只脚，在一些头上再加2只脚，共12个头加了2只脚；4只脚的是兔子(12只)，两只脚的是鸡(23只)．
(2)一元一次方程法：鸡头＋兔头＝35，鸡脚＋兔脚＝94.
解：设鸡有x只，则兔有(35－x)只．根据题意，得2x＋4(35－x)＝94.
(3)二元一次方程组法：
①“上有三十五头”的意思是__一共35只__，“下有九十四足”的意思是__一共94只脚__.
②如果设鸡有x只，兔有y只，那么鸡兔共有__35__只；鸡足有__2x__只，兔足有__4y__只．
根据以上分析，得方程组____．解这个方程组，得____．所以笼中有鸡__23__只、兔__12__只．
活动3 开放训练 应用举例
【例1】教材P120例1
【方法指导】问题1：“甲得乙十钱，多乙余钱五倍”的意义是什么？
问题2：“乙得甲十钱，适等”的意义是什么？
问题3：你能用二元一次方程组解决这个题目吗？
解：设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，
根据题意，得
解这个方程组，得
所以，甲带了38钱，乙带了18钱．
【例2】我国明代数学家程大位(1533—1606)所著《算法统宗》中记载了“二果问价”问题：
九百九十九文钱，甜果苦果买一千．
甜果九个十一文，苦果七个四文钱．
试问甜苦果几个，又问各该几个钱．
意思是：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可以买九个甜果，四文钱可以买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？每个甜果、苦果分别卖多少文钱？请你解决这个问题．
解：设购买甜果、苦果的个数分别为x个、y个．
根据题意，得解得
∴购买甜果、苦果的个数分别为657个、343个．
∵十一文钱可以买九个甜果，四文钱可以买七个苦果，
∴每个甜果、苦果分别卖文钱和文钱．
答：购买甜果、苦果的个数分别为657个、343个，每个甜果、苦果分别卖文钱和文钱．
活动4 随堂练习
1．“六一”前夕，市关工委准备为希望小学购进图书和文具若干套．已知2套文具和3套图书需124元，3套文具和2套图书需116元，则1套文具和1套图书需__48__元．
2．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中记载：“今有大器六、小器一容五斛；大器一、小器六容二斛，问大小器各容几何？”译文：“今有大容器6个、小容器1个，总容量为5斛；大容器1个、小容器6个，总容量为2斛．问大小容器的容积各是多少斛？”
解：设大容器的容积是x斛，小容器的容积是y斛．
根据题意，得解得
答：大容器的容积是0.8斛，小容器的容积是0.2斛．
活动5 课堂小结与作业
学生活动：这节课的主要收获是什么？
教学说明：找出古代实际问题中的数量关系，列出方程组．
作业：教材P121随堂练习，P125～126习题5.3中的T1、T3、T4.
本节课在建立方程模型的过程中采用了循序渐进的思路，由算术方法到一元一次方程再到二元一次方程组，遵照了学生的思维梯度，逐步建立起学生用二元一次方程组解应用题的思想，充分感受它的优点和思维的简化．
第2课时 二元一次方程组的应用——增收节支
1．会正确地运用表格分析与“增收节支”类似问题的数量关系，并会列二元一次方程组解决这类问题．
2．根据具体问题的数量关系形成方程模型，培养学生的数学应用能力．
▲重点
用列表法分析题目中的各个量之间的数量关系．
▲难点
借助列表法分析问题中隐藏的数量关系．
活动1 创设情境 导入新课(课件)
【问题情境】在现实生活中，我们常常会听到这样一个词语，增收节支．当我们遇到实际问题的时候，该如何解决呢？
例如：某工厂去年的利润(总收入－总支出)为200万元．今年总收入比去年增加了20%, 总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元．去年的总收入、总支出各是多少万元？
如果设去年的总收入为x万元，总支出为y万元．
为了帮助同学们理清各个数量之间的关系，你能否采用表格的形式，用x，y的代数式来表示题目中的各个量呢？
活动2 实践探究 交流新知
问题1：找出问题中的等量关系：
问题2：学生填表：设去年的总收入为x万元，总支出为y万元，则有：
总收入/万元 总支出/万元 利润/万元
去年 x y 200
今年 (1＋20%)x (1－10%)y 780
问题3：正确书写解题过程．
解：设去年的总收入为x万元，总支出为y万元，则今年的总收入为(1＋20%)x万元，今年的总支出为(1－10%)y万元．
根据题意，得解得
答：去年的总收入为2 000万元，总支出为1 800万元．
【归纳】对于比较复杂的数量关系，可以借助表格来表示．
活动3 开放训练 应用举例
【例1】教材P122例2
【方法指导】教师引导学生寻找等量关系，教学生画表格分析数量关系．
解：设每餐用甲原料x g、乙原料y g，则有
成分 甲原料x g 乙原料y g 所配制的营养品
其中所含蛋白质 0.5x 0.7y 35
其中所含铁质 x 0.4y 40
根据上表，可以列出方程组____，解得____．所以每餐用甲原料__28_g__、乙原料__30_g__．
【例2】我区某学校原计划向山区学生捐赠3 500册图书，实际共捐赠了4 125册，其中初中学生捐赠了原计划的120%，高中学生捐赠了原计划的115%，初中学生和高中学生各比原计划多捐赠图书多少册？
【方法指导】可设原计划初中学生捐x册，高中学生捐y册，再列表分析等量关系进行求解．
解：设原计划初中学生捐x册，高中学生捐y册，则有
初中学生捐的数量 高中学生捐的数量 合计
计划 x y 3 500
实际 120%x 115%y 4 125
根据上表列方程组，得解得
初中学生比原计划多捐的册数是2 000×(120%－1)＝400(册)，
高中学生比原计划多捐的册数是1 500×(115%－1)＝225(册)，
答：初中学生和高中学生各比原计划多捐赠图书400册和225册．
活动4 随堂练习
1．某市现有人口45万，计划一年后城镇人口增加0.7%，农村人口增加1.2%，这样，全市人口将增加1%，求这个市现在的城镇人口与农村人口．设现在城镇人口有x万，农村人口有y万，则下列方程组中，正确的是 (B)
A．
B．
C．
D．
2．如图，在长方形ABCD中放入6个长、宽都相同的小长方形，则每个小长方形的面积是 (D)
A．9 B．8 C．18 D．16
3．今年“五一”小长假期间，某市外来与外出旅游的总人数为226万人，分别比去年同期增长30%和20%，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人．求该市今年外来和外出旅游的人数．
解：设去年外来旅游的人数为x万人，外出旅游的人数为y万人．
根据题意，得解得
所以(1＋30%)x＝(1＋30%)×100＝130，(1＋20%)y＝(1＋20%)×80＝96.
答：该市今年外来和外出旅游的人数分别是130万人和96万人．
活动5 课堂小结与作业
学生活动：这节课学习了用什么方法分析问题？关键是明确各数量之间的关系．
教学说明：由具体实例的分析、思考到合作学习模式．
作业：教材P123随堂练习T1、T2，P126习题5.3中的T7、T8、T9.
本节课着力于介绍分析问题的一种比较有效的方法——图表分析法．
列表分析有助于学生明确各数量间的关系，将较复杂的数量关系转化得更加清晰、简洁，帮助学生理清题中的未知量、已知量以及等量关系，条理清楚，很容易根据相等关系列方程，较易突破难点．
第3课时 二元一次方程组的应用——行程问题
1．用二元一次方程组解决数字问题和行程问题．
2．归纳用方程组解决实际问题的一般步骤．
▲重点
用二元一次方程组解决数学问题．
▲难点
将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型．
活动1 创设情境 导入新课(课件)
小明爸爸骑摩托车带着小明在公路上行驶，下图是小明在不同时间看到的里程碑情况．你能确定小明在12：00时看到的里程碑上的数吗？
活动2 实践探究 交流新知
如果设小明在12：00时看到的数的十位数字是x，个位数字是y，那么
(1)12：00时小明看到的数可表示为________，
根据“两个数字之和是7”，可列出方程________；
(2)13：00时小明看到的数可表示为________，
根据“13：00时看到的两位数比12：00时看到的大45”，可列出方程________；
(3)根据以上分析，得出方程组，并求出小明在12：00时看到的里程碑上的数．
解：(1)10x＋y x＋y＝7
(2)10y＋x (10y＋x)－(10x＋y)＝45
(3)列方程组，得解得
所以10x＋y＝10×1＋6＝16.
答：小明在12：00时看到的里程碑上的数是16.
活动3 开放训练 应用举例
【例1】教材P124例题
【方法指导】根据题意，利用线段图梳理数量关系，找出等量关系式，列出二元一次方程组．
解：设隧道的长度为x m，火车的长度为y m.
根据题意，得
解这个方程组，得
所以隧道和火车的长度分别是__1_000_m__和__200_m__．
【例2】某人骑车外出旅游，已知他的路程分为上坡和下坡，上坡速度为8 km/h，下坡速度为12 km/h，去时他共用了4.5 h，原路返回共用了4.25 h，求去时上坡路长和下坡路长．
【方法指导】根据行程问题中路程、速度、时间之间的关系列方程组．
解：设去时上坡路长为x km，下坡路长为y km.根据题意，得
解得
答：去时上坡路长为24 km，下坡路长为18 km.
活动4 随堂练习
1．一个两位数，数字之和为7，若原数加45，等于此两位数交换其数位上的数的位置后得到的新数，则原数是多少？若设原数十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出的下列方程组中，正确的是 (C)
A． B．
C． D．以上都不对
2．某船顺流航行48 km用了4 h，逆流航行32 km用了4 h，求水流速度和船在静水中的速度．
解：设船在静水中的速度为x km/h，水流速度为y km/h.
根据题意，得解得
答：船在静水中的速度为10 km/h，水流速度为2 km/h.
3．小红和小丽在400 m环形跑道上跑步，她们从同一个起点同时出发．如果同向跑，那么经过200 s两人第一次相遇；如果反向跑，那么经过40 s两人第一次相遇．若小红比小丽跑得快，则小红、小丽跑步的平均速度分别是多少？
解：设小红跑步的平均速度是x m/s，小丽跑步的平均速度是y m/s.
根据题意，得解得
答：小红跑步的平均速度是6 m/s，小丽跑步的平均速度是4 m/s.
活动5 课堂小结与作业
学生活动：1.这节课的主要收获是什么？
2．用二元一次方程组解决问题的关键是什么？
教学说明：会列方程组解决数字问题和行程问题，体会模型思想．
作业：教材P125随堂练习，P127习题5.3中的T11、T12、T13.
给予学生独立思考的空间有助于学生思维的发展．而各组围在黑板前去讨论、探究，从而列方程，解方程，使每个学生都能积极参与到活动中．以小组为单位解决问题增强了学生的小组荣誉感，每个学生都想积极争做最好．同时也利于教师去观察学生分析问题的能力，了解他们解决问题的方向．
第1课时 二元一次方程组的应用——“鸡兔同笼”
1．在具体问题的解决过程中分析数量关系，列出方程组．
2．使学生掌握运用方程组解决实际问题的一般步骤．
▲重点
根据等量关系列二元一次方程组解应用题．
▲难点
根据题意找出等量关系，列出方程．
活动1 创设情境 导入新课(课件)
“鸡兔同笼”是经典的数学问题，在小学阶段同学们曾探究过它的多种解法．这节课我们用本单元学习的方程组来解决此问题．
活动2 实践探究 交流新知
【探究】(1)画图法：
用“○”表示头，先画35个头；将所有头都看作鸡的，用“||”表示脚，画出了70只脚；还剩24只脚，在一些头上再加2只脚，共12个头加了2只脚；4只脚的是兔子(12只)，两只脚的是鸡(23只)．
(2)一元一次方程法：鸡头＋兔头＝35，鸡脚＋兔脚＝94.
解：设鸡有x只，则兔有(35－x)只．根据题意，得2x＋4(35－x)＝94.
(3)二元一次方程组法：
①“上有三十五头”的意思是__一共35只__，“下有九十四足”的意思是__一共94只脚__.
②如果设鸡有x只，兔有y只，那么鸡兔共有__35__只；鸡足有__2x__只，兔足有__4y__只．
根据以上分析，得方程组____．解这个方程组，得____．所以笼中有鸡__23__只、兔__12__只．
活动3 开放训练 应用举例
【例1】教材P120例1
【方法指导】问题1：“甲得乙十钱，多乙余钱五倍”的意义是什么？
问题2：“乙得甲十钱，适等”的意义是什么？
问题3：你能用二元一次方程组解决这个题目吗？
解：设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，
根据题意，得
解这个方程组，得
所以，甲带了38钱，乙带了18钱．
【例2】我国明代数学家程大位(1533—1606)所著《算法统宗》中记载了“二果问价”问题：
九百九十九文钱，甜果苦果买一千．
甜果九个十一文，苦果七个四文钱．
试问甜苦果几个，又问各该几个钱．
意思是：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可以买九个甜果，四文钱可以买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？每个甜果、苦果分别卖多少文钱？请你解决这个问题．
解：设购买甜果、苦果的个数分别为x个、y个．
根据题意，得解得
∴购买甜果、苦果的个数分别为657个、343个．
∵十一文钱可以买九个甜果，四文钱可以买七个苦果，
∴每个甜果、苦果分别卖文钱和文钱．
答：购买甜果、苦果的个数分别为657个、343个，每个甜果、苦果分别卖文钱和文钱．
活动4 随堂练习
1．“六一”前夕，市关工委准备为希望小学购进图书和文具若干套．已知2套文具和3套图书需124元，3套文具和2套图书需116元，则1套文具和1套图书需__48__元．
2．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中记载：“今有大器六、小器一容五斛；大器一、小器六容二斛，问大小器各容几何？”译文：“今有大容器6个、小容器1个，总容量为5斛；大容器1个、小容器6个，总容量为2斛．问大小容器的容积各是多少斛？”
解：设大容器的容积是x斛，小容器的容积是y斛．
根据题意，得解得
答：大容器的容积是0.8斛，小容器的容积是0.2斛．
活动5 课堂小结与作业
学生活动：这节课的主要收获是什么？
教学说明：找出古代实际问题中的数量关系，列出方程组．
作业：教材P121随堂练习，P125～126习题5.3中的T1、T3、T4.
本节课在建立方程模型的过程中采用了循序渐进的思路，由算术方法到一元一次方程再到二元一次方程组，遵照了学生的思维梯度，逐步建立起学生用二元一次方程组解应用题的思想，充分感受它的优点和思维的简化．
第2课时 二元一次方程组的应用——增收节支
1．会正确地运用表格分析与“增收节支”类似问题的数量关系，并会列二元一次方程组解决这类问题．
2．根据具体问题的数量关系形成方程模型，培养学生的数学应用能力．
▲重点
用列表法分析题目中的各个量之间的数量关系．
▲难点
借助列表法分析问题中隐藏的数量关系．
活动1 创设情境 导入新课(课件)
【问题情境】在现实生活中，我们常常会听到这样一个词语，增收节支．当我们遇到实际问题的时候，该如何解决呢？
例如：某工厂去年的利润(总收入－总支出)为200万元．今年总收入比去年增加了20%, 总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元．去年的总收入、总支出各是多少万元？
如果设去年的总收入为x万元，总支出为y万元．
为了帮助同学们理清各个数量之间的关系，你能否采用表格的形式，用x，y的代数式来表示题目中的各个量呢？
活动2 实践探究 交流新知
问题1：找出问题中的等量关系：
问题2：学生填表：设去年的总收入为x万元，总支出为y万元，则有：
总收入/万元 总支出/万元 利润/万元
去年 x y 200
今年 (1＋20%)x (1－10%)y 780
问题3：正确书写解题过程．
解：设去年的总收入为x万元，总支出为y万元，则今年的总收入为(1＋20%)x万元，今年的总支出为(1－10%)y万元．
根据题意，得解得
答：去年的总收入为2 000万元，总支出为1 800万元．
【归纳】对于比较复杂的数量关系，可以借助表格来表示．
活动3 开放训练 应用举例
【例1】教材P122例2
【方法指导】教师引导学生寻找等量关系，教学生画表格分析数量关系．
解：设每餐用甲原料x g、乙原料y g，则有
成分 甲原料x g 乙原料y g 所配制的营养品
其中所含蛋白质 0.5x 0.7y 35
其中所含铁质 x 0.4y 40
根据上表，可以列出方程组____，解得____．所以每餐用甲原料__28_g__、乙原料__30_g__．
【例2】我区某学校原计划向山区学生捐赠3 500册图书，实际共捐赠了4 125册，其中初中学生捐赠了原计划的120%，高中学生捐赠了原计划的115%，初中学生和高中学生各比原计划多捐赠图书多少册？
【方法指导】可设原计划初中学生捐x册，高中学生捐y册，再列表分析等量关系进行求解．
解：设原计划初中学生捐x册，高中学生捐y册，则有
初中学生捐的数量 高中学生捐的数量 合计
计划 x y 3 500
实际 120%x 115%y 4 125
根据上表列方程组，得解得
初中学生比原计划多捐的册数是2 000×(120%－1)＝400(册)，
高中学生比原计划多捐的册数是1 500×(115%－1)＝225(册)，
答：初中学生和高中学生各比原计划多捐赠图书400册和225册．
活动4 随堂练习
1．某市现有人口45万，计划一年后城镇人口增加0.7%，农村人口增加1.2%，这样，全市人口将增加1%，求这个市现在的城镇人口与农村人口．设现在城镇人口有x万，农村人口有y万，则下列方程组中，正确的是 (B)
A．
B．
C．
D．
2．如图，在长方形ABCD中放入6个长、宽都相同的小长方形，则每个小长方形的面积是 (D)
A．9 B．8 C．18 D．16
3．今年“五一”小长假期间，某市外来与外出旅游的总人数为226万人，分别比去年同期增长30%和20%，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人．求该市今年外来和外出旅游的人数．
解：设去年外来旅游的人数为x万人，外出旅游的人数为y万人．
根据题意，得解得
所以(1＋30%)x＝(1＋30%)×100＝130，(1＋20%)y＝(1＋20%)×80＝96.
答：该市今年外来和外出旅游的人数分别是130万人和96万人．
活动5 课堂小结与作业
学生活动：这节课学习了用什么方法分析问题？关键是明确各数量之间的关系．
教学说明：由具体实例的分析、思考到合作学习模式．
作业：教材P123随堂练习T1、T2，P126习题5.3中的T7、T8、T9.
本节课着力于介绍分析问题的一种比较有效的方法——图表分析法．
列表分析有助于学生明确各数量间的关系，将较复杂的数量关系转化得更加清晰、简洁，帮助学生理清题中的未知量、已知量以及等量关系，条理清楚，很容易根据相等关系列方程，较易突破难点．
第3课时 二元一次方程组的应用——行程问题
1．用二元一次方程组解决数字问题和行程问题．
2．归纳用方程组解决实际问题的一般步骤．
▲重点
用二元一次方程组解决数学问题．
▲难点
将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型．
活动1 创设情境 导入新课(课件)
小明爸爸骑摩托车带着小明在公路上行驶，下图是小明在不同时间看到的里程碑情况．你能确定小明在12：00时看到的里程碑上的数吗？
活动2 实践探究 交流新知
如果设小明在12：00时看到的数的十位数字是x，个位数字是y，那么
(1)12：00时小明看到的数可表示为________，
根据“两个数字之和是7”，可列出方程________；
(2)13：00时小明看到的数可表示为________，
根据“13：00时看到的两位数比12：00时看到的大45”，可列出方程________；
(3)根据以上分析，得出方程组，并求出小明在12：00时看到的里程碑上的数．
解：(1)10x＋y x＋y＝7
(2)10y＋x (10y＋x)－(10x＋y)＝45
(3)列方程组，得解得
所以10x＋y＝10×1＋6＝16.
答：小明在12：00时看到的里程碑上的数是16.
活动3 开放训练 应用举例
【例1】教材P124例题
【方法指导】根据题意，利用线段图梳理数量关系，找出等量关系式，列出二元一次方程组．
解：设隧道的长度为x m，火车的长度为y m.
根据题意，得
解这个方程组，得
所以隧道和火车的长度分别是__1_000_m__和__200_m__．
【例2】某人骑车外出旅游，已知他的路程分为上坡和下坡，上坡速度为8 km/h，下坡速度为12 km/h，去时他共用了4.5 h，原路返回共用了4.25 h，求去时上坡路长和下坡路长．
【方法指导】根据行程问题中路程、速度、时间之间的关系列方程组．
解：设去时上坡路长为x km，下坡路长为y km.根据题意，得
解得
答：去时上坡路长为24 km，下坡路长为18 km.
活动4 随堂练习
1．一个两位数，数字之和为7，若原数加45，等于此两位数交换其数位上的数的位置后得到的新数，则原数是多少？若设原数十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出的下列方程组中，正确的是 (C)
A． B．
C． D．以上都不对
2．某船顺流航行48 km用了4 h，逆流航行32 km用了4 h，求水流速度和船在静水中的速度．
解：设船在静水中的速度为x km/h，水流速度为y km/h.
根据题意，得解得
答：船在静水中的速度为10 km/h，水流速度为2 km/h.
3．小红和小丽在400 m环形跑道上跑步，她们从同一个起点同时出发．如果同向跑，那么经过200 s两人第一次相遇；如果反向跑，那么经过40 s两人第一次相遇．若小红比小丽跑得快，则小红、小丽跑步的平均速度分别是多少？
解：设小红跑步的平均速度是x m/s，小丽跑步的平均速度是y m/s.
根据题意，得解得
答：小红跑步的平均速度是6 m/s，小丽跑步的平均速度是4 m/s.
活动5 课堂小结与作业
学生活动：1.这节课的主要收获是什么？
2．用二元一次方程组解决问题的关键是什么？
教学说明：会列方程组解决数字问题和行程问题，体会模型思想．
作业：教材P125随堂练习，P127习题5.3中的T11、T12、T13.
给予学生独立思考的空间有助于学生思维的发展．而各组围在黑板前去讨论、探究，从而列方程，解方程，使每个学生都能积极参与到活动中．以小组为单位解决问题增强了学生的小组荣誉感，每个学生都想积极争做最好．同时也利于教师去观察学生分析问题的能力，了解他们解决问题的方向．
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