第5章 直角三角形
5.1 直角三角形的性质定理
第1课时
知识点1 直角三角形的性质
1.在Rt△ABC中,若一个锐角等于40°,则另一个锐角的度数为( )
A.40° B.45°
C.50° D.60°
2.在△ABC中,∠C=90°,∠B=2∠A,则∠A=( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
3.已知AB∥CD,点E在直线AB上,点F,G在直线CD上,EG⊥EF于点E,∠AEF
=40°,则∠EGF的度数是( )
A.40° B.45° C.50° D.60°
知识点2 直角三角形的判定
4.在下列条件中:
①∠A=90°-∠B;②∠A=∠B=2∠C;
③∠A∶∠B∶∠C=5∶3∶2;④∠A+∠B=∠C能确定△ABC为直角三角形的条件有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.在△ABC中,∠A=55°,∠B=35°,那么这个三角形是 三角形.
知识点3 直角三角形的斜边中线的性质
6.(2023·株洲中考)一技术人员用刻度尺(单位:cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示,已知∠ACB=90°,点D为边AB的中点,点A,B对应的刻度为1,7,则CD=( )
A.3.5 cm B.3 cm C.4.5 cm D.6 cm
7.在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,若CD=1,则AB= .
8.如图,AB∥CD,∠CAB和∠ACD的平分线相交于H点,E为AC的中点,若EH+AC=18.则AC= .
9.如图,在Rt△ADB和Rt△ABC中,∠ADB=90°,∠ACB=90°,E是AB的中点.
(1)求证:DE=CE;
(2)若∠CAB=30°,∠DBA=40°,求∠DEC.
10.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交BC于D,连接AD,∠CAD∶
∠DAB=2∶5,∠ADC的度数为( )
A.55° B.65° C.75° D.85°
11.(2025·怀化溆浦县期中)已知△ABC中,如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形,其中一个为等腰三角形,另一个为直角三角形,则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线.如图1,Rt△ABC中,显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线.在图2的△ABC中,∠ABC=110°,若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线,则∠CDB的度数是( )
A.40°或140° B.90°或140°
C.40°或75°或140° D.40°或90°或140°
12.如图,BE,CF分别是△ABC的高,M为BC的中点,EF=5,BC=8,则△EFM的周长是 .
13.如图,△ABC中,AD是边BC上的高,CF是边AB上的中线,DC=BF,点E是CF的中点.
(1)求证:DE⊥CF;
(2)求证:∠B=2∠BCF.
14.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AM,AN分别为BC边上的高和中线,且AB=5 cm,AC=12 cm,BC=13 cm.
(1)求AM的长;
(2)求△ACN和△ABN的周长之差;
(3)若E为AB边的三等分点,连接CE,与AN交于F点,记△AEF的面积为S1,△CFN的面积为S2,求S1-S2的值.第5章 直角三角形
5.1 直角三角形的性质定理
第1课时
知识点1 直角三角形的性质
1.在Rt△ABC中,若一个锐角等于40°,则另一个锐角的度数为(C)
A.40° B.45°
C.50° D.60°
2.在△ABC中,∠C=90°,∠B=2∠A,则∠A=(B)
A.15° B.30° C.45° D.60°
3.已知AB∥CD,点E在直线AB上,点F,G在直线CD上,EG⊥EF于点E,∠AEF
=40°,则∠EGF的度数是(C)
A.40° B.45° C.50° D.60°
知识点2 直角三角形的判定
4.在下列条件中:
①∠A=90°-∠B;②∠A=∠B=2∠C;
③∠A∶∠B∶∠C=5∶3∶2;④∠A+∠B=∠C能确定△ABC为直角三角形的条件有(C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.在△ABC中,∠A=55°,∠B=35°,那么这个三角形是 直角 三角形.
知识点3 直角三角形的斜边中线的性质
6.(2023·株洲中考)一技术人员用刻度尺(单位:cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示,已知∠ACB=90°,点D为边AB的中点,点A,B对应的刻度为1,7,则CD=(B)
A.3.5 cm B.3 cm C.4.5 cm D.6 cm
7.在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,若CD=1,则AB= 2 .
8.如图,AB∥CD,∠CAB和∠ACD的平分线相交于H点,E为AC的中点,若EH+AC=18.则AC= 12 .
9.如图,在Rt△ADB和Rt△ABC中,∠ADB=90°,∠ACB=90°,E是AB的中点.
(1)求证:DE=CE;
(2)若∠CAB=30°,∠DBA=40°,求∠DEC.
【解析】(1)因为在Rt△ADB和Rt△ABC中,∠ADB=90°,∠ACB=90°,E是AB的中点,
所以DE=AB,CE=AB,所以DE=CE;
(2)在Rt△ADB和Rt△ABC中,
因为∠ADB=90°,∠ACB=90°,∠CAB=30°,∠DBA=40°,所以∠DAB=90°-∠DBA
=50°,∠ABC=90°-∠CAB=60°,
因为E是AB的中点,
所以DE=AB=AE,CE=AB=BE,
所以∠ADE=∠DAB=50°,∠ECB=∠ABC=60°,所以∠DEA=180°-∠DAB-
∠ADE=180°-50°-50°=80°,∠CEB=180°-∠ECB-∠CBA=180°-60°-60°=60°,所以∠DEC=180°-∠DEA-∠CEB=180°-80°-60°=40°.
10.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交BC于D,连接AD,∠CAD∶
∠DAB=2∶5,∠ADC的度数为(C)
A.55° B.65° C.75° D.85°
11.(2025·怀化溆浦县期中)已知△ABC中,如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形,其中一个为等腰三角形,另一个为直角三角形,则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线.如图1,Rt△ABC中,显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线.在图2的△ABC中,∠ABC=110°,若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线,则∠CDB的度数是(D)
A.40°或140° B.90°或140°
C.40°或75°或140° D.40°或90°或140°
12.如图,BE,CF分别是△ABC的高,M为BC的中点,EF=5,BC=8,则△EFM的周长是 13 .
13.如图,△ABC中,AD是边BC上的高,CF是边AB上的中线,DC=BF,点E是CF的中点.
(1)求证:DE⊥CF;
(2)求证:∠B=2∠BCF.
【证明】(1)连接DF,因为AD是边BC上的高,所以∠ADB=90°,因为点F是AB的中点,所以DF=AB=BF,
因为DC=BF,所以DC=DF,
因为点E是CF的中点,所以DE⊥CF;
(2)因为DC=DF,所以∠DFC=∠DCF,
所以∠FDB=∠DFC+∠DCF=2∠DFC,
因为DF=BF,所以∠FDB=∠B,
所以∠B=2∠BCF.
14.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AM,AN分别为BC边上的高和中线,且AB=5 cm,AC=12 cm,BC=13 cm.
(1)求AM的长;
(2)求△ACN和△ABN的周长之差;
(3)若E为AB边的三等分点,连接CE,与AN交于F点,记△AEF的面积为S1,△CFN的面积为S2,求S1-S2的值.
【解析】(1)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=5 cm,AC=12 cm,BC=13 cm,AM为BC边上的高,
所以S△ABC=BC·AM=AB·AC,
所以AM===(cm),
即AM的长度为 cm.
(2)因为AN为BC边上的中线,所以BN=CN,
所以△ACN的周长-△ABN的周长=AC+CN+AN-(BN+AN+AB)=AC-AB=
12-5=7(cm),
即△ACN和△ABN的周长之差为7 cm.
(3)因为点E是AB边的三等分点,
所以有以下两种情况:
①当BE=AB时,如图1所示:
因为在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=5 cm,AC=12 cm,
所以S△ABC=AB·AC=×5×12=30(cm2),
因为AN为BC边上的中线,
所以S△ABN=S△ABC=15 cm2,
所以S△AEF+S四边形BEFN=15(cm2),
即S1+S四边形BEFN=15(cm2),
因为BE=AB,
所以S△CBE=S△ABC=10(cm2),
所以S△CFN+S四边形BEFN=10(cm2),
即S2+S四边形BEFN=10(cm2),
所以S1-S2=5;
②当AE=AB时,如图2所示:
同理得:S1+S四边形BEFN=15(cm2),
因为AE=AB,所以BE=AB,
所以S△CBE=S△ABC=20(cm2),即S2+S四边形BEFN=20(cm2),
所以S1-S2=-5.
综上所述:S1-S2的值为±5.
