5.4 二元一次方程与一次函数 教学设计（2课时）2025-2026学年数学北师大版八年级上册

4　二元一次方程与一次函数
第1课时　二元一次方程(组)与一次函数
1．使学生初步理解二元一次方程与一次函数的对应关系．
2．能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解．
▲重点
掌握二元一次方程(组)和一次函数的关系．
▲难点
理解数形结合和数学转化的思想．
活动1　创设情境　导入新课(课件)
我们已经学会了求一个二元一次方程组的解的方法，比如可以用代入消元法，也可以用加减消元法．我们如何用函数的观点来看待方程组的解呢？这是本节课我们即将学习的内容．
活动2　实践探究　交流新知
【探究1】(教材P128上面部分)二元一次方程与一次函数的关系
(1)方程x＋y＝5的解有多少个？写出其中的几个．
(2)在平面直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y＝5－x的图象上吗？
(3)在一次函数y＝5－x的图象上任取一点，它的坐标适合方程x＋y＝5吗？
(4)以方程x＋y＝5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y＝5－x的图象相同吗？
(5)方程x＋y＝5与函数y＝5－x有何关系？
【归纳】二元一次方程和一次函数图象的关系：
一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是同一条__直线__．
【探究2】(教材P128操作·思考)二元一次方程组的解与对应的两个一次函数图象之间的关系
二元一次方程2x－y＝1与前面研究的x＋y＝5结合起来看：
问题1：两方程的公共解是什么？如何得到其公共解呢？
问题2：两方程对应的一次函数y＝－x＋5与y＝2x－1的图象有何位置关系？为什么？
问题3：已画出了一次函数y＝－x＋5的图象，请在同一平面直角坐标系内画出一次函数y＝2x－1的图象，并验证上一问题结论的正误．
问题4：观察并总结方程组的解与对应的两个一次函数图象的交点坐标有何关系．
问题5：对于方程组目前你都有哪些方法求其解？
【归纳】每个二元一次方程组都对应__两个__一次函数，于是也对应__两条__直线．一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组，相当于确定相应两条直线__交点的坐标__．
【探究3】在同一平面直角坐标系内，一次函数y＝x＋1和y＝x－2的图象有怎样的位置关系？方程组的解的情况如何？你发现了什么？
【归纳】方程组的解的个数与对应的一次函数图象的交点个数之间的关系：
二元一次方程组无解 对应的两个一次函数图象平行(无交点)；
二元一次方程组有一组解 对应的两个一次函数图象相交(有一个交点)；
二元一次方程组有无数组解 对应的两个一次函数图象重合(有无数个交点).
活动3　开放训练　应用举例
【例1】点(2，3)在一次函数y＝2x－1的图象上，则方程y＝2x－1的一组解是____.
【方法指导】以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的直线上．
【例2】如图，直线l1：y＝x－1与直线l2：y＝－x＋2在同一平面直角坐标系中交于点(2，1).
(1)直接写出方程组的解是________；
(2)判断三条直线y＝x－1，y＝－x＋2，y＝x＋是否经过同一个点，请说明理由．
【方法指导】(1)函数图象的交点就是方程组的解；(2)先求两直线交点的坐标，再判断该交点的坐标是否满足第三条直线即可．
解：(1)
(2)由图象可知方程组的解为
把x＝2，y＝1代入y＝x＋，成立，
∴三条直线y＝x－1，y＝－x＋2，y＝x＋经过同一个点(2，1).
活动4　随堂练习
1．二元一次方程3x＋y＝6有__无数__个解，以它的解为坐标的点都在函数__y＝6－3x__的图象上．
2．方程组的解为____，所以一次函数y＝－－x和y＝－－x的图象的交点坐标为__(－2，0)__．
3．若以二元一次方程x＋2y－b＝0的解为坐标的点(x，y)都在直线y＝－x＋b－1上，则常数b＝__2__．
4．若直线y＝ax＋7经过一次函数y＝4－3x和y＝2x－1的图象的交点，求a的值.
解：联立解得
把x＝1，y＝1代入y＝ax＋7，得1＝a＋7，解得a＝－6.
活动5　课堂小结与作业
学生活动：这节课要掌握几个知识点？
教学说明：思考、操作、引出方程(组)与函数之间的关系．
作业：教材P129随堂练习T1、T2、T3，P132习题5.4中的T1、T2、T3.
本节课在学生已具备解方程(组)的基本能力和掌握一次函数及其图象的基本知识的基础上，通过教师启发引导和学生自主学习探索相结合的方法，进一步揭示了二元一次方程和一次函数之间的对应关系，从而引出了二元一次方程组的图象解法，以及运用代数方法解决有关图象问题，培养了学生数形结合的意识和能力，充分展示了方程与函数的相互转化．
第2课时　用二元一次方程组确定一次函数表达式
1．使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系．
2．能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解．
3．能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式．
▲重点
利用二元一次方程组确定一次函数的表达式．
▲难点
利用二元一次方程组解决一次函数的实际问题．
活动1　创设情境　导入新课(课件)
前面我们已经学了利用一次函数的关系式求二元一次方程组的解．相反地，能不能用二元一次方程组来确定一次函数的表达式呢？这是这节课我们将要学习的内容.
活动2　实践探究　交流新知
(多媒体展示教材P129)
【探究】利用二元一次方程组确定一次函数表达式
小组讨论，交流展示
方法一：距离s是骑车时间t的一次函数，交点的横坐标就是相遇时间，可以画函数图象．
方法二：s是t的一次函数，将s和t的值代入确定函数表达式，再解二元一次方程组．
方法三：行程问题中，利用“相遇时间＝路程÷速度和”这个公式解决．
解：方法一：因为他们各自到A地的距离s(km)都是骑行时间t(h)的一次函数，所以可以分别画出这两个一次函数的图象，交点的__横__坐标就是两人相遇的时间，即经过__3__h两人相遇．
方法二：对于甲，s与t是正比例关系，设s＝k1t，当t＝2时，s＝30，代入表达式可得k1＝__15__，所以s与t之间的表达式为__s＝15t__．
对于乙，s与t是一次函数关系，设s＝k2t＋b，当t＝0时，s＝100；当t＝1时，s＝80.将它们分别代入s＝k2t＋b中，求出k2＝__－20__，b＝__100__，所以s与t之间的表达式为__s＝－20t＋100__．
联立这两个表达式，得二元一次方程组____，解得t＝____.
【思考】方法一和方法二求出的结果相同吗？哪种方法求出的结果准确？
答：不相同，第二种方法求出的结果准确．
方法三：1 h后乙距离A地80 km，则乙行驶了__20__km，即乙的速度为__20__km/h；2 h后甲距离A地30 km，则甲的速度是__15__km/h，由相遇时间＝路程÷速度和，可得相遇时间t＝____．
【归纳】先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫作__待定系数法__．
一次函数表达式的确定：
(1)方法：__待定系数__法；
(2)一般步骤：
①设：设出一次函数表达式的一般形式__y＝kx＋b__；
②列：将已知点的__坐标__代入函数表达式，得到方程(组)；
③解：解方程(组)，求出待定系数；
④写出一次函数表达式．
活动3　开放训练　应用举例
【例1】教材P130例题
【方法指导】用待定系数法确定一次函数的表达式，关键是根据条件建立二元一次方程组的模型，得到关于k，b的二元一次方程组，求得k，b的值．
解：(1)设y＝kx＋b，根据题意，得
解这个方程组，得
所以y＝x－5.
(2)令y＝0，即x－5＝0，解得x＝30；当x>30时，y>0.
所以旅客最多可免费携带30 kg的行李．
【例2】我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶，如图所示，l1，l2分别表示两船相对于两岸的距离s(n mile)与追赶时间t(min)之间的关系．当时间t等于多少分钟时，我边防快艇B能够追赶上A
【方法指导】先设函数表达式，再列方程组．
解：设l1的函数表达式为s1＝k1t.
由题意，得10k1＝5，解得k1＝，∴s1＝t.
设l2的函数表达式为y＝k2x＋b.
由题意，得解得
∴s2＝t＋5，当B追上A时，即t＝t＋5.解得t＝.
即当时间t等于 min时，我边防快艇B能够追上A.
活动4　随堂练习
1．已知直线m与一次函数y＝－2x＋3的图象平行，并且直线m经过点(2，1)，则直线m的函数表达式是__y＝－2x＋5__．
2．甲、乙两地相距300 km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发开往乙地，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y(km)与其行驶时间x(h)之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y(km)与货车行驶时间x(h)之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：
(1)轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？
(2)求线段CD对应的函数表达式；
(3)轿车到达乙地后，马上沿原路以CD段速度返回，求货车从甲地出发多长时间后再与轿车相遇(结果精确到0.01 h)．
解：(1)根据图象得货车的速度v货＝＝60(km/h).
∵轿车到达乙地的时间为货车出发后4.5 h，
∴轿车到达乙地时，货车行驶的路程为4.5×60＝270(km)，此时，货车距乙地的路程为300－270＝30(km).
答：轿车到达乙地后，货车距乙地30 km.
(2)设线段CD对应的函数表达式为y＝kx＋b(2.5≤x≤4.5).
把点C(2.5，80)，D(4.5，300)代入，得
解得
∴CD段对应的函数表达式为y＝110x－195(2.5≤x≤4.5).
(3)设货车从甲地出发x h后再与轿车相遇．
∵v货＝60 km/h，v轿＝ (300－80)÷(4.5－2.5)＝110(km/h)，
∴110(x－4.5)＋60x＝300，解得x≈4.68.
答：货车从甲地出发约4.68 h后再与轿车相遇．
活动5　课堂小结与作业
学生活动：什么是待定系数法？你掌握了利用二元一次方程组确定一次函数表达式的方法吗？
教学说明：体会知识之间的普遍联系和相互转化．
作业：教材P132～133习题5.4中的T5、T6、T7.
本节课的主要内容是在已经学习了二元一次方程组的解法和一次函数图象的基础上，采用以引导学生自主学习，通过活动进行分组合作探究学习的形式进行教学，在教学中放手让学生在探究活动中去经历、体验、观察、类比、讨论、合作、归纳．通过充分的过程探究，最后总结归纳出：一次函数与二元一次方程组之间的联系．这就要求我们：在新课程标准的指导下，认真研究教材，体会教材的编写意图．在此基础上，设计出既体现课程精神，又适合本班学生实际的教学案例．