5.5 三元一次方程组 教学设计 2025-2026学年数学北师大版八年级上册

*5　三元一次方程组
教师备课　素材示例
●情境导入　纸币问题
小明手头有12张面额分别是1元、5元、10元的纸币，共计38元，其中1元纸币的数量是5元纸币数量的4倍，求1元、5元、10元的纸币各多少张？
此题是否可以利用二元一次方程组解呢？如果设1元纸币有x张，5元纸币有y张，10元纸币有z张，又该如何列方程呢？
【教学与建议】教学：利用实际生活中的问题，激发学生学习数学的热情，引导学生将实际问题转化为数学问题．建议：利用算筹图让学生理解用三个未知数表示数量，建立三个方程，组成三元一次方程组．
●置疑导入　问题1：解二元一次方程组有哪几种方法？代入消元法、加减消元法、图象法．
问题2：解二元一次方程组的基本思路是什么？
解：是消元．
【教学与建议】教学：类比二元一次方程组的概念及解法，掌握三元一次方程组的概念及消元方法．建议：给学生回忆思考的时间，及时纠错和补充．
命题角度1　三元一次方程组的概念
满足三元一次方程组的条件：①含三个未知数；②每个未知数的次数都是1；③方程组共有三个整式方程．
【例1】下列方程组中，是三元一次方程组的是 (C)
A．　　B．　　
C．　　D．
命题角度2　三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的基本思路是“消元”，把“三元”化为“二元”，再化为“一元”．
【例2】(1)观察方程组的系数特点，若要使求解简便，消元的方法应选取 (B)
A．先消去x　　　B．先消去y　　　C．先消去z　　　D．以上说法都不对
(2)解方程组：
解：把①代入②，得2z＝6，z＝3，即x＋y＝3.④
④＋③，得2x＝6，x＝3.把x＝3代入③，得3－y＝3，y＝0.所以原方程组的解是
命题角度3　列三元一次方程组解决实际问题
根据题意找出三个未知数，三个等量关系式，列出三元一次方程组．
【例3】某汽车在相距70 km的甲、乙两地往返行驶，因途中有一坡度均匀的小山．该汽车从甲地到乙地需要2.5 h，而从乙地到甲地需要2.3 h．假设汽车在平路、上坡路、下坡路的时速分别是30 km，20 km，40 km，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？
解：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度分别是x km，y km和z km.
由题意，得解得
答：从甲地到乙地的过程中，上坡路是12 km，平路是54 km，下坡路是4 km.
高效课堂　教学设计
1．类比学习，掌握三元一次方程组的概念及解法．
2．经历探究活动过程，实现“消元”完成求解计算．
▲重点
掌握三元一次方程组的解法．
▲难点
让学生感受把新知转化为已知、把不会的问题转化为学过的问题、把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想．
活动1　创设情境　导入新课(课件)
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？
(选自《九章算术》)
题目大意：有上禾3束，中禾2束，下禾1束，可得米39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，可得米34斗；上禾1束，中禾2束，下禾3束，可得米26斗。上、中、下禾每束各可得米多少斗？
活动2　实践探究　交流新知
【探究1】三元一次方程组的概念
问题1：下面的算筹图代表了古代解决这个问题的方法，它是什么意思呢？
问题2：由题意可得到几个等量关系式？分别是什么？
__上禾×3＋中禾×2＋下禾__＝39斗　　__上禾×2＋中禾×3＋下禾__＝34斗
__上禾＋中禾×2＋下禾×3__＝26斗
问题3：设每束上禾可得米x斗，每束中禾可得米y斗，每束下禾可得米z斗，你能列出几个方程？
①__3x＋2y＋z＝39__　　②__2x＋3y＋z＝34__　　③__x＋2y＋3z＝26__
问题4：这三个方程组成一个三元一次方程组，它与前面学习过的二元一次方程组、一元一次方程有什么区别和联系？
【归纳】(1)含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作三元一次方程；
(2)共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫作三元一次方程组；
(3)关注概念中的三个要点：①未知数的个数；②未知数的次数；③未知数同时满足三个等量关系．
【探究2】解三元一次方程组
问题1：怎样解二元一次方程组？
问题2：解二元一次方程组的基本思路是什么？
问题3：类比二元一次方程组，你会用代入消元法和加减消元法解三元一次方程组吗？
【归纳】1.解三元一次方程组的基本思路仍然是——消元，把“三元”化为“二元”，再化为“一元”．在消元过程中，消“谁”都行，用哪种消元法(代入法、加减法)都可以，但如果选择合适，可提高计算的效率．
2．解三元一次方程组的一般步骤：
(1)观察方程组的系数特点，确定先消哪个未知数；
(2)消元，得到一个二元一次方程组；
(3)解二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(4)求出第三个未知数的值，写出方程组的解．
活动3　开放训练　应用举例
【例1】(教材P135例题)解方程组：
解：由①，得z＝__39－3x－2y__．④
把④分别代入②③并化简，得
解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得
把x＝____，y＝____代入④，得z＝____．
经检验，x＝____，y＝____，z＝____适合原方程组．
所以原方程组的解是
【例2】上题用代入消元法求得三元一次方程组的解，你能用其他的解法吗？
解：①－②，得x－y＝5.④
①×3－③，得8x＋4y＝91.⑤
解由④⑤组成的二元一次方程组，得
把x＝，y＝代入①，得z＝.
经检验，x＝，y＝，z＝适合原方程组．
所以原方程组的解是
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
活动4　随堂练习
1．下列四组数值中，为方程组的解的是 (D)
A． B． C． D．
2．某校组织课外活动小组一共50人，分A，B，C三组，B组人数是A，C两组人数和的，A组人数恰好是B，C两组人数之和，则A，B，C三组人数分别为__25，10，15__．
3．已知三角形ABC的周长为36，a，b，c是它的三条边长，a＋b＝2c，a：b＝1：2.求a，b，c的值．
解：根据题意，得解得
活动5　课堂小结与作业
学生活动：这节课你有什么收获？
教学说明：类比二元一次方程组的方法解三元一次方程组．
作业：教材P136随堂练习，P137～138习题5.5中的T1、T2、T3、T4.
本节课让学生理解三元一次方程组概念的同时，要让学生理解用三元一次方程组去求解实际问题的必要性．在教学的过程中，要让学生充分理解对复杂的实际问题方程中元越多，等量关系的建立就越直接；充分理解代入消元法和加减消元法解方程的优点和缺点，让学生充分讨论、交流、合作，其理解才会深刻．