6.1 平均数与方差 教学设计（4课时）2025-2026学年数学北师大版八年级上册

第六章　数据的分析
1　平均数与方差
第1课时　众数与平均数
1．掌握众数、平均数的概念．
2．会从统计图中获取众数、平均数，培养判断能力和数学处理能力，发展数学思维．
▲重点
认识众数、平均数，会求一组数据的众数和平均数．
▲难点
运用众数、平均数分析实际问题．
活动1　创设情境　导入新课(课件)
(教材P146图6－1)在一次射击比赛中，甲、乙、丙、丁四人的成绩如图6－1所示．
图6－1
你能判断出谁的成绩最好吗？
活动2　实践探究　交流新知
【探究1】众数
问题1：观察图6－1，你能说出每位选手哪个射击成绩出现次数最多吗？
甲8环出现__5__次，乙7环出现__5__次，丙9环出现__6__次，丁__6__环和__10__环出现__4__次．
问题2：不计算，你能否判断出谁的射击成绩最好，说出理由．
【归纳】1.一组数据中出现次数__最多__的那个数据叫作这组数据的众数．
2．众数出现的次数最多，众数可能有__1__个，也可能有__多个__．
【探究2】平均数
问题1：观察图6－1，众数一定在统计的数据中，平均数也一定在这组数据中吗？
问题2：如果甲又射击了一次，意外脱靶，成绩为0环，那么甲的平均成绩有什么影响？
问题3：在比赛评分中，为什么常常会去掉一个最高分和一个最低分？
【归纳】1.一组数据中所有__数据之和__除以这组数据的__个数__，就得到这组数据的算术平均数，简称__平均数__．
2．平均数作为一组数据的代表与数据中的每一个数都有关系，容易受极端值的影响．
活动3　开放训练　应用举例
【例1】(教材P147操作·思考)某店铺一种商品10天的销售量及顾客对店铺的评分如图6－2和图6－3所示．
(1)请你计算这种商品10天的平均销售量；
(2)顾客对店铺评分的众数是多少？顾客对店铺评分的平均数呢？
　
【方法指导】问题(1)求平均数，问题(2)先求众数，再求平均数．求店铺评分平均数时，用评分总分除以总人数．
解：(1)(121＋138＋156＋148＋152＋141＋128＋130＋125＋122)÷10＝136.1(件)；
(2)顾客对店铺评分的众数是5分．
顾客对店铺评分的平均数是＝4.732(分).
【例2】某次语文测试成绩如下，得100分的有3人，得95分的有5人，得90分的有6人，得80分的有12人，得70分的有16人，得60分的有5人，得50分的有6人．
(1)这次测试成绩的众数是多少分？
(2)求这次测试成绩的平均分数．
【方法指导】出现次数最多的数据是众数；平均分数＝总分数÷总人数
解：(1)众数是70分；
(2)≈75.38(分).
活动4　随堂练习
1．教材P147随堂练习．
解：(27×1＋29×3＋31×5＋32×4＋33×4＋34×4＋35×6＋36×5＋37×9＋38×9＋39×7＋40×7＋45×1)÷65≈35.82(岁).
2．某老师为了了解学生周末学习时间的情况，在所任班级中随机调查了10名学生，绘成了如图所示的条形统计图，则这10名学生周末学均时间是 (B)
A．4 h　　　　　　B．3 h　　　　　　C. 2 h　　　　　　D．1 h
　　　
3．为了解班级同学在假期参加志愿者服务活动情况，小明随机调查了班级20名同学参加活动的时间，结果如图所示，则这组数据的众数是__3__h.
活动5　课堂小结与作业
学生活动：你会从统计图中获取众数与平均数吗？
教学说明：掌握众数与平均数的概念，培养统计意识．
作业：教材P155～156习题6.1中的T1、T2.
本节课通过运用启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度，掌握众数和算术平均数的概念与计算，发展学生初步的统计意识和数学应用能力．
第2课时　加权平均数
1．理解算术平均数和加权平均数的联系与区别．
2．会求加权平均数，体会权的差异对平均数的影响，能利用平均数解决实际问题.
▲重点
加权平均数的应用．
▲难点
权的差异对结果的影响，用其解决实际的问题．
活动1　创设情境　导入新课(课件)
问题导入：1.什么是众数？什么是算术平均数？
2．某班在一次物理测试中的成绩为100分7人，90分14人，80分17人，70分8人，60分2人，50分2人，则该班此次测试的平均成绩为__82__分，成绩众数为__80__分.
活动2　实践探究　交流新知
【探究1】加权平均数
(教材P148引言与尝试·交流)某馄饨店每碗有10个馄饨．其中蛋黄鲜肉馄饨15元/碗，虾仁鲜肉馄饨15元/碗，荠菜鲜肉馄饨12元/碗，玉米鲜肉馄饨10元/碗，香芹鲜肉馄饨10元/碗．现在计划推出一份“全家福”馄饨，其中含蛋黄鲜肉馄饨、虾仁鲜肉馄饨各1个，荠菜鲜肉馄饨2个，玉米鲜肉馄饨、香芹鲜肉馄饨各3个．
提出问题：(1)你认为“全家福”馄饨每碗定价多少元合理？
15×____＋15×____＋12×____＋10×____＋10×____＝__11.4__(元).
(2)如果“全家福”馄饨含蛋黄鲜肉馄饨、虾仁鲜肉馄饨各3个，荠菜鲜肉馄饨2个，玉米鲜肉馄饨与香芹鲜肉馄饨各1个，该怎样定价？
15×____＋15×____＋12×____＋10×____＋10×____＝__13.4__(元).
(3)如果每种馄饨各2个，该怎样定价？
15×____＋15×____＋12×____＋10×____＋10×____＝__12.4__(元).
(4)“全家福”馄饨的定价与什么有关？
__不同馅料的馄饨个数__影响馄饨的定价．
【归纳】在很多实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同．因而，在计算这组数据的平均数时，往往根据每个数据的“重要程度”赋一个“权”．一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是f1，f2，…，fn，则叫作这n个数的加权平均数．
【探究2】算术平均数与加权平均数
阅读教材P149思考·交流，回答问题．
(1)这两家网站所有用户的日人均上网时间是(2＋1)÷2＝1.5(h)吗？为什么？
解：无法判断，因为不清楚这两家网站平均每天上网用户人数，如果人数相等，此算式正确，如果人数不相等，此算式不正确．
(2)A，B两家网站用户的日人均上网时间分别是a h和b h，A，B两家网站平均每天的上网用户分别为m人和n人，则这两家网站所有用户的日人均上网时间为____h，这个代数式是__加权平均数__(选填“算术平均数”或“加权平均数”)，权重__，__反映了两家网站用户的分布情况．
【归纳】当加权平均数各项的权相等时，采用算术平均数，算术平均数是加权平均数的一种特殊情况．
活动3　开放训练　应用举例
【例1】某学校进行广播操比赛，比赛打分包括以下几项：服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐(每项满分10分)．其中三个班级的成绩分别如下：
服装统一 进退场有序 动作规范 动作整齐
一班 9 8 9 8
二班 10 9 7 8
三班 8 9 8 9
(1)若将服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐这四项得分依次按10% ，20% ，30%，40%的比例计算各班的广播操比赛成绩，那么哪个班的成绩最高？
(2)你认为上述四项中，哪一项更为重要？请你按自己的想法设计一个评分方案．根据你的评分方案，哪一个班的广播操比赛成绩最高？与同伴进行交流．
【方法指导】加权平均数的应用．
解：(1)一班得分：9×10%＋8×20%＋9×30%＋8×40%＝8.4(分).
二班得分：10×10%＋9×20%＋7×30%＋8×40%＝8.1(分).
三班得分：8×10%＋9×20%＋8×30%＋9×40%＝8.6(分).
∵8.1＜8.4＜8.6，
∴三班得分最高；
(2)答案不唯一，略．
总结：权不同，得到的广播操比赛成绩不同，因此权对平均数的影响很大．
【例2】一家公司打算招聘一名英文翻译，对甲、乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们各项的成绩(百分制)如下：
应试者 听 说 读 写
甲 85 83 78 75
乙 73 80 85 82
　　(1)如果这家公司想招一名口语能力比较强的翻译，听、说、读、写成绩按照3：3：2：2的比确定，计算两名应试者的平均成绩，从他们的成绩看，应该录取谁？
(2)如果这家公司想招一名笔译能力比较强的翻译，听、说、读、写成绩按照2：2：3：3的比确定，计算两名应试者的平均成绩，从他们的成绩看，应该录取谁？
【方法指导】加权平均数是解决此题的关键．
解：(1)听、说、读、写的成绩按照3：3：2：2的比确定，则
甲的平均成绩为＝81(分)；
乙的平均成绩为＝79.3(分).
∵81＞79.3，
∴从成绩看，应该录取甲；
(2)听、说、读、写的成绩按照2：2：3：3的比确定，则
甲的平均成绩为＝79.5(分)；
乙的平均成绩为＝80.7(分).
∵79.5＜80.7，
∴从成绩看，应该录取乙.
活动4　随堂练习
1．教材P150随堂练习T1.
解：92×20%＋80×30%＋84×50%＝84.4(分).
2．某校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中研究性学习成绩占40%，期末卷面成绩占60%，小明的两项成绩(百分制)依次是80分，90分，则小明这学期的数学成绩是 (D)
A．80分 B．82分 C．84分 D．86分
3．小明参加了某电视台招聘记者的三项素质测试，成绩如下：采访写作70分，计算机操作60分，创意设计88分．若采访写作、计算机操作和创意设计的成绩按4：1：3计算，则他的素质测试平均成绩为__75.5分__．
4．某校对初中毕业生根据综合素质、考试成绩、体育测试这三项得分按4：4：2的比例评定毕业成绩，达到80分以上(含80分)为“优秀毕业生”，小明、小亮的成绩如下表(单位：分)：
综合素质 考试成绩 体育测试
小明 72 98 60
小亮 90 75 95
　　(1)小明、小亮谁能达到“优秀毕业生”水平？谁的毕业成绩更好些？
(2)升入高中后，请你就他们今后的发展给每人提一条建议．
解：(1)小明的毕业成绩为＝80(分)，
小亮的毕业成绩为＝85(分).
∵85＞80＝80，
∴小明、小亮都能达到“优秀毕业生”水平，小亮的毕业成绩更好些；
(2)建议小明加强体育锻炼并提高综合素质；建议小亮更加努力学习．
活动5　课堂小结与作业
学生活动：1.通过这节课的学习，你有哪些收获？
2．算术平均数与加权平均数有哪些联系与区别？
教学说明：通过解决实际问题，体会数学与生活的密切联系．
作业：教材P156～157习题6.1中的T3、T8.
本节课选择从生动有趣的实际问题引入，通过图片、数据等资源来引导学生探索和交流，体会权的差异对平均数的影响，认识算术平均数和加权平均数的联系与区别，在改变学生的学习方式的同时增强学生应用数学的意识，让学生了解数学的价值，提高学生的思维能力，增强学好数学的信心．
第3课时　数据的离散程度
1．了解刻画数据离散程度的三个统计量——离差平方和、标准差和方差．
2．能借助计算器求出方差、标准差．
▲重点
理解方差和标准差的概念．
▲难点
应用方差和标准差分析数据，并作出决策．
活动1　创设情境　导入新课(课件)
我们知道接受检阅的仪仗队必须精挑细选，整齐划一，特别注重队员的身高，下面有两支仪仗队，准备抽取其中一支参与检阅．已知这两支仪仗队队员的身高(单位：cm)如下：
甲队 178 177 179 178 178 177 178 178 178 179
乙队 178 177 179 176 178 180 180 178 176 178
　　你认为哪支仪仗队队员的身高更为整齐？你是怎么判断的？用以前学习的众数或平均数能判断出来吗？这节课我们来学习其他知识来反映数据的区别．
活动2　实践探究　交流新知
【探究】离差平方和、方差、标准差
多媒体出示教材P150图6－4.
观察图形，解答问题：
(1)甲射击成绩的众数是__8环__，丁射击成绩的众数是__6环和10环__；
(2)甲射击的平均成绩是__8环__，丁射击的平均成绩是__8环__；
(3)你觉得谁发挥的成绩更稳定？小组讨论．
(4)能否用众数、平均数来判断谁的成绩更稳定？
【归纳】1.在统计学里，数据的离散程度可以用离差平方和、方差或标准差等统计量来刻画．
2．离差平方和是各个数据与它们平均数之差的平方和，即S＝(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2.
3．方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，即s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2].其中，是x1，x2，…，xn的平均数．而标准差则是方差的算术平方根．
4．一般而言，一组数据的方差或标准差越小，这组数据就越稳定．
活动3　开放训练　应用举例
【例1】教材P151例2.
【方法指导】先计算出甲射击成绩的平均成绩，再算方差，最后计算标准差．
解：甲＝(6＋7×3＋8×5＋9×3＋10)＝8(环)，
s＝[(6－8)2＋(7－8)2×3＋(8－8)2×5＋(9－8)2×3＋(10－8)2]＝，
＝≈1.04(环).
所以，甲射击成绩的标准差约为1.04环．
【例2】教材P151思考·交流．
【方法指导】利用计算方差的公式计算丙射击成绩的方差，再对甲、丙成绩进行比较.
解：(1)丙＝(6＋7＋8×2＋9×6＋10×3)≈8.69(环).
s＝[(6－8.69)2＋(7－8.69)2＋(8－8.69)2×2＋(9－8.69)2×6＋(10－8.69)2×3]≈1.29.易得s＝.
∵＜1.29，∴s＜s，∴甲的射击成绩比较稳定；
(2)丁后面几次的射击成绩在8环左右，比较稳定．
活动4　随堂练习
1．甲、乙两个样本，甲样本的方差是0.105，乙样本的方差是0.055，那么样本 (A)
A．甲的波动比乙大 B．乙的波动比甲大
C．甲、乙的波动一样大 D．甲、乙的波动无法确定
2．数据－2，－1，0，1，2的方差是__2__，标准差是____．
3．五个数1，3，a，5，8的平均数是4，则a＝__3__，这五个数的方差是__5.6__．
4．为从甲、乙两名射击运动员中选出一人参加市锦标赛，特统计了他们最近10次射击训练的成绩，其中，他们射击的平均成绩都为8.9环，方差分别是s＝0.8，s＝1.3.从稳定性的角度来看，__甲__(选填“甲”或“乙”)的成绩更稳定.
活动5　课堂小结与作业
学生活动：这节课的收获是什么？什么是离差平方和、方差、标准差？
教学说明：离差平方和、方差和标准差可以刻画数据的离散程度，根据它们的大小应用于实际问题．
作业：教材P156习题6.1中的T4、T5.
离差平方和、方差与标准差都是用来衡量一个样本波动大小的统计量，对一组数据的变化情况起着至关重要的作用．因此，在教学中，对于如何引入这三个基本概念可采用灵活多变的方法，切忌将这些概念与公式直接教给学生．要让学生在体会仅有平均水平还难以准确地刻画一组数据时，使学生的现有知识与现实矛盾产生碰撞而产生一种急于解决问题的心情，从而探索出这三个概念，使学生在解决实际问题的过程中认识到“波动状况”的意义和影响，形成一定的统计意识和解决问题的能力，进一步体会数学的应用价值．
第4课时　平均数与方差的综合应用
1．进一步理解离差平方和、方差、标准差的求法．
2．会用离差平方和、方差、标准差对实际问题作出判断．
3．发展学生初步的统计意识和数据处理能力，用数学的眼光分析问题．
▲重点
进一步了解离差平方和、方差、标准差的应用．
▲难点
根据离差平方和、方差、标准差对实际问题作出解释．
活动1　创设情境　导入新课(课件)
　
观察图片，并解答问题．
(1)不进行计算，说说A，B两地这一天气温的特点；
(2)分别计算这一天A，B两地气温的平均数和方差，与你刚才的看法一致吗？
解：(1)A地气温波动比较大，B地气温较稳定；
(2)A＝(18＋17.5＋…＋18.5＋18)×≈20.42(℃)，
B＝(20＋19.5＋…＋20.5＋20)×≈21.35(℃)，
s＝[(18－20.42)2＋(17.5－20.42)2＋…＋(18.5－20.42)2＋(18－20.42)2]≈7.76，
s＝[(20－21.35)2＋(19.5－21.35)2＋…＋(20.5－21.35)2＋(20－21.35)2]≈2.78.
A，B两地平均气温相近，但A地日温差较大，B地日温差较小，因此与刚才的看法一致．
活动2　实践探究　交流新知
【探究1】方差的应用
某校要从甲、乙两个跳远运动员中挑选一人参加一项比赛．在最近的10次选拔赛中，他们的成绩(单位：cm)如下：
甲：585，596，610，598，612，597，604，600，613，601；
乙：613，618，580，574，618，593，585，590，598，624.
(1)甲、乙的平均成绩分别是多少？
(2)甲、乙这10次比赛成绩的方差分别是多少？
(3)这两名运动员的运动成绩各有什么特点？
(4)历届比赛成绩表明，成绩达到5.96 m就很可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？如果历届比赛成绩表明，成绩达到6.10 m就能打破纪录，那么你认为为了打破纪录应选谁参加这项比赛？
【方法指导】平均数、方差的应用．
解：(1)甲＝__601.6__ cm，乙＝__599.3__ cm；
(2)甲这10次比赛成绩的方差是__65.84__，乙这10次比赛成绩的方差是__284.21__；
(3)__甲__的平均成绩高，__甲__的成绩稳定，__乙__的最好成绩更好；
(4)历届比赛成绩表明，成绩达到5.96 m就很可能夺冠，我认为为了夺冠应选__甲__参加这项比赛；如果历届比赛成绩表明，成绩达到6.10 m就能打破记录，那么我认为为了打破记录应选__乙__参加这项比赛．
【归纳】看数据的稳定性，根据方差作决策．方差越大，数据波动越大，方差越小，数据波动越小．
【探究2】认识“组内离差平方和达到最小”的方法
阅读教材P153思考·交流．
【归纳】1.在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“__组内离差平方和达到最小__”．
2．多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和．
活动3　开放训练　应用举例
【例1】教材P153例3.
【方法指导】在解决实际问题时，组内离差平方和可以利用计算机软件求得．
解：将10个数据由小到大排序：65，69，70，75，76，76，78，80，80，81.
把10个数据分成两组，共有9种情况：第一组1个数据{65}，第二组9个数据{69，…，81}；第一组2个数据{65，69}，第二组8个数据{70，…，81}；……；第一组9个数据{65，…，80}，第二组1个数据{81}．
以第2种分组情况为例，计算组内离差平方和．其中，第一组有2个数据{65，69}，这2个数据的平均数是67，故第一组数据的组内离差平方和S1＝(65－67)2＋(69－67)2＝8；第二组有8个数据{70，75，76，76，78，80，80，81}，这8个数据的平均数是77，故第二组数据的组内离差平方和S2＝(70－77)2＋(75－77)2＋…＋(81－77)2＝90.
因此，第2种分组情况的组内离差平方和S＝S1＋S2＝8＋90＝98.
同理，计算其他8种分组情况的组内离差平方和，结果如下：
分组情况 组内离差平方和
第一组1个，第二组9个 146.889
第一组2个，第二组8个 98
第一组3个，第二组7个 48
第一组4个，第二组6个 74.25
第一组5个，第二组5个 98
第一组6个，第二组4个 107.583
第一组7个，第二组3个 136.095
第一组8个，第二组2个 182.375
第一组9个，第二组1个 218
　　计算结果表明，第3种情况的组内离差平方和最小．因此，把10个苹果按直径大小分成的两组是{65，69，70}，{75，76，76，78，80，80，81}．
【例2】甲和乙两人参加体育项目训练，近期的5次测试成绩如下表所示，谁的成绩比较稳定？为什么？
测试成绩 1 2 3 4 5
甲 13 14 13 12 13
乙 10 13 16 14 12
【方法指导】用方差来确定谁的成绩稳定，方差越小，成绩越稳定．
解：甲＝(13＋14＋13＋12＋13)÷5＝13，乙＝(10＋13＋16＋14＋12)÷5＝13，
s＝×(0＋12＋0＋12＋0)＝0.4，s＝×(32＋0＋32＋12＋12)＝4.
∵s活动4　随堂练习
1．一组数据14，15，19，20，24.若分成{14，15}，{19，20，24}两组，则组内离差平方和是 (B)
A．14 B．14.5 C．15 D．15.5
2．在一次期中考试中，某校八年级(1)(2)两班学生的数学成绩(成绩均为整十数)统计如下：
成绩/分 50 60 70 80 90 100
人数 八(1)班 3 5 16 3 11 12
八(2)班 2 5 11 12 13 7
请你根据所学的统计知识，分别从平均数、众数、方差等不同角度判断这两个班的考试成绩谁优．
解：八(1)班总人数为3＋5＋16＋3＋11＋12＝50，
八(2)班总人数为2＋5＋11＋12＋13＋7＝50，
八(1)班＝(50×3＋60×5＋70×16＋80×3＋90×11＋100×12)＝80(分)，
八(2)班＝(50×2＋60×5＋70×11＋80×12＋90×13＋100×7)＝80(分)，
八(1)班众数为70分，八(2)班众数为90分，
s＝[(50－80)2×3＋(60－80)2×5＋…＋(100－80)2×12]＝244，
s＝[(50－80)2×2＋(60－80)2×5＋…＋(100－80)2×7]＝180，
∴从平均数看，两个班成绩相同；从众数看，八(2)班成绩较好；从方差看，八(2)班成绩较稳定．
活动5　课堂小结与作业
学生活动：你这节课的最大收获是什么？
教学说明：梳理求方差(标准差)的方法，并区别于求平均数的方法，形成用数据说话的习惯．
作业：教材P157习题6.1中的T10、T11.
从传统的观念看来，方差(标准差)是越小越好，但在现实生活中往往会出现不一定是方差(标准差)越小越好的情况，在某一时段的测试中，有的会出现尽管方差很大，但数据会出现稳步上升(如某学生的考试成绩)或逐步下降(如某运动员的百米赛跑的成绩)的情况，此时，我们不能简单地将方差小的数据就认为数据好，只能认为它是稳定的．对于学生在评判某一组数据时，会有不同的看法，教师要以鼓励为主，注重定性的评价方法，及时记录学生的独特想法，然后再分析其中存在的误区，不要简单地进行肯定或否定．让学生亲自经历统计过程，通过独立思考、合作探究从而达到新认识是很重要的．