7.1 为什么要证明 教学设计 2025-2026学年数学北师大版八年级上册

第七章　证明
1　为什么要证明
教师备课　素材示例
●情景导入　故事《知人不易》(课件展示)
颜回是孔子最得意的门生．
有一次孔子周游列国，困于陈国与蔡国之间七天没饭吃．颜回好不容易找到一点粮米，便赶紧埋锅造饭．米饭将熟之际，孔子闻香抬头，恰好看到颜回用手抓出一把米饭送入口中．
等到颜回请孔子吃饭，孔子假装说：“我刚刚梦到我父亲，想用这干净的白饭来祭拜他．”颜回赶快说：“不行，不行，这饭不干净，刚刚烧饭时有些烟尘掉入锅中，弃之可惜，我便抓出来吃掉了．”
孔子这才知道颜回并非偷吃饭，心中相当感慨，便对弟子们说：“所信者目也，而目犹不可信；所恃者心也，而心犹不足恃．弟子记之，知人固不易！”
【教学与建议】教学：通过小故事吸引学生的注意力，感知生活中不一定是“眼见为实”，诱发学生对新知识的需求．建议：可以让学生寻找身边欺骗我们眼睛的实例，为本节课的学习做好铺垫．
●悬念激趣　(1)图①中三角形的三边是直的还是曲的？
(2)图②的两幅图中中间的圆哪个更大？
　　
【教学与建议】教学：通过图片，激发学生的学习热情．同时让学生明白眼见未必为实，只有实践才能出真知的道理．建议：在学生操作时，教师要引导学生进行思考、分析．
我们认识事物，可能会出现偏差，没有经过严格的证明都是不能令人信服的．
【例1】(1)在可以不同年的条件下，下列结论叙述正确的是 (A)
A．400个人中至少有两人生日相同
B．300个人中至少有两人生日相同
C．300个人中一定没有两人生日相同
D．300个人中一定有两人生日相同
(2)甲、乙、丙三位同学踢球时，不小心将教室的玻璃打破．当班主任追问时，甲说：是丙打破的．乙说：不是我打破的．丙说：甲说谎．三个人只有一人说了真话，请你判断，玻璃是__乙__打破的．
命题角度2　检验数学结论
通常利用七年级所学的知识证明数字、线段、角之间的大小关系或位置关系．
【例2】(1)下列结论正确的是 (A)
A．全等三角形的对应角相等
B．对应角相等的两个三角形全等
C．有两条边和一角对应相等的两个三角形全等
D．两个角相等，则这两个角一定是对顶角
(2)当n＝1，2，3，4，5时，代数式n2－3n＋7的值是质数，对于所有的自然数n，n2－3n＋7__不一定__(选填“一定”或“不一定”)是质数．
高效课堂　教学设计
1．初步体会观察、实验、归纳得到的结论不一定正确．
2．通过探索，初步了解数学中证明的重要性．
3．初步了解判定一个数学结论正确与否，必须进行有理有据的证明．
▲重点
判断一个结论正确与否必须进行有理有据的证明．
▲难点
体会数学中证明的重要性和必要性．
活动1　创设情境　导入新课(课件)
在以前的学习过程中，我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论，那么通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗？今天我们一起来研究这个问题．
活动2　实践探究　交流新知
【探究1】通过观察得到的结论一定正确吗？
(多媒体出示教材P180尝试·思考上面部分)
1．阅读并猜想结果．
2．用直尺和量角器检验你观察到的结果．
(1)图①中两条线段a，b的长度相等吗？图②中的四边形是正方形吗？请你先观察，再设法检验你观察到的结论．
　　　　　　　　
(2)如图③，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1 m的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？能放进一个拳头吗？先凭感觉想象一下，再具体算一算，看看与你的感觉是否一致，并与同伴进行交流．
解：画出示意图如图．
设铁丝圈的半径OB为R，地球的半径OA为r，赤道周长为C.
由题意，得R－r＝－＝≈0.16(m).
∴可以放进一个拳头．
【探究2】通过归纳得到的结论正确吗？
(多媒体出示教材P180尝试·思考)
1．读题并小组交流．
2．展示成果．
(1)当n＝0时，n2－n＋11＝11；当n＝1时，n2－n＋11＝11；
当n＝2时，n2－n＋11＝13；当n＝3时，n2－n＋11＝17；
当n＝4时，n2－n＋11＝23；当n＝5时，n2－n＋11＝31.
由此可知：当n＝0，1，2，3，4，5时，代数式n2－n＋11的值都是质数．但当我们继续往后计算，计算到n＝11时，n2－n＋11＝121，此时为合数．所以“对于所有自然数n，代数式n2－n＋11的值都是质数”这种说法是错误的；
(2)通过测量猜想DE∥BC, DE＝BC.通过改变三角形的形状(如图)，在不同的三角形中再次得到验证，因而较为相信这个结论的正确性；但毕竟是测量结果，测量难免有误差，因此难以令人信服，还需要寻找更为可信的证明．
【归纳】观察、实验、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠观察、实验、归纳是不够的，必须进行有理有据的证明．
活动3　开放训练　应用举例
【例1】我们知道2×2＝4，2＋2＝4，试问对于任意数a与b，是否一定有结论a×b＝a＋b成立？
【方法指导】若不成立，可以举反例证明．
解：∵3×2＝6，而3＋2＝5，6≠5，
∴不是对于任意数a与b都一定有结论a×b＝a＋b成立．
【例2】当a＝1，b＝2时，12＋22>2×1×2；当a＝－1，b＝3时，(－1)2＋32>2×(－1)×3；当a＝－，b＝－3时，＋(－3)2>2××(－3).于是猜想：对于任意实数a，b，总有a2＋b2>2ab成立．这个结论正确吗？请说明理由．
【方法指导】判断一个数学结论是否正确，必须进行有理有据的证明．
解：不正确．理由如下：因为对于任意的实数a，b都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0成立，所以a2＋b2≥2ab成立，而不是a2＋b2>2ab.所以，这个结论不正确．
活动4　随堂练习
1．下列说法正确的是 (D)
A．经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否
B．证明是科学家的事，与我们没有多大的关系
C．对于自然数n，n2＋n＋37一定是质数
D．有10个苹果，将它们放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个
2．在手工制作课上，小明和小华各自用铁丝制作楼梯模型，如图所示，他们制作模型所用的铁丝一样长吗？请说明理由．
解：一样长．通过平移可知两个楼梯模型铁丝一样长．
3．在学习中，小明发现：当n＝1，2，3时，n2－4n的值都是负数．于是小明猜想：当n为任意正整数时，n2－4n的值都是负数．小明的猜想对吗？请简要说明你的理由．
解：小明的猜想不对．理由如下：当n＝4时，n2－4n＝42－4×4＝0.当n＝5时，n2－4n＝52－4×5＝5>0.因此，当n为任意正整数时，n2－4n的值不一定都是负数．
活动5　课堂小结与作业
学生活动：你这节课的主要收获是什么？
教学说明：让学生理解数学的严谨性，养成深入思考的能力，并培养学生的质疑精神．
作业：教材P181随堂练习，P181～182习题7.1中的T1、T2、T3.
本节课的教学设计是建立在“以学生的发展为本，为学生的终身学习奠定基础”的教育理念上，融入了新课标的思想内涵，尊重学生的直观感觉，并从学生的直观感觉出发逐步将学生的思维引向严密性、逻辑证明等方面．不是一味地强调证明的必要性，而是通过几个事实的说明来让学生意识到证明的必要性，设计中突出体现了学生的主体地位．