7.2 认识证明 教学设计（2课时）2025-2026学年数学北师大版八年级上册

2　认识证明
第1课时　定义与命题
1．了解定义、命题的概念．
2．掌握命题的结构、形式及种类．
3．能从具体实例中，了解命题的概念，并会区分真假命题．
▲重点
命题的相关概念．
▲难点
对于条件和结论不明显的命题，改写成“如果……那么……”的形式．
活动1　创设情境　导入新课(课件)
为了进行有理有据的证明，必须对某些名称和术语有共同的认识．为此，就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义．这节课我们来研究定义与命题．
活动2　实践探究　交流新知
【探究1】定义与命题的概念
1．阅读下面语句，并填空．
(1)“具有中华人民共和国国籍的人，叫作中华人民共和国公民”是“__中华人民共和国公民__”的定义；
(2)“两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离”是“__两点之间的距离__”的定义；
(3)“无限不循环小数称为无理数”是“__无理数__”的定义；
(4)“有两边相等的三角形叫作等腰三角形”是“__等腰三角形__”的定义．
【归纳】对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义．
2．阅读教材P183尝试·思考，并讨论交流(课件出示教材P183尝试·思考)．
判断一件事情的句子，叫作命题．
(1)(2)(3)(4)对事情进行了判断，都是命题，(5)(6)没有作出判断，都不是命题．
【归纳】如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题．
【探究2】条件与结论
观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？其他命题是否也有这样的结构特征呢？与同伴进行交流．
(1)如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；
(2)如果a＝b ，那么a2＝b2；
(3)如果两个三角形中有两边和一个角对应相等，那么这两个三角形全等．
共同特征：都是由__两__部分组成，都是“__如果……那么……__”的形式．
【归纳】一般地，每个命题都由__条件__和__结论__两部分组成．__条件__是已知的事项，__结论__是由已知事项推断出的事项．命题通常可以写成“__如果……那么……__”的形式，其中“__如果__”引出的部分是条件，“__那么__”引出的部分是结论．
【探究3】真命题与假命题
指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的？你是如何判断的？
(1)如果两个角相等，那么它们是对顶角；
(2)如果a≠b, b≠c，那么a≠c；
(3)全等三角形的面积相等；
(4)三角形三个内角的和等于180°.
解：(1)中的条件是两个角相等，结论是它们是对顶角；(2)中的条件是a≠b, b≠c，结论是a≠c；(3)中的条件是两个三角形全等，结论是它们的面积相等；(4)中的条件是有一个三角形，结论是它的内角和等于180°.
命题(1)(2)是错误的，举一个反例即可判断．
【归纳】__正确的命题__称为真命题，__不正确的命题__称为假命题．
要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的__条件__，而不具有命题的__结论__，这种例子称为反例．
活动3　开放训练　应用举例
【例1】判断下列语句哪些是命题？哪些不是？
(1)画一个角等于已知角；
(2)两直线平行，内错角相等；
(3)同位角相等，两条直线平行吗？
(4)鸟是动物；
(5)若x－5＝0，求x的值．
【方法指导】根据命题的概念进行判断．
解：(2)(4)是命题，(1)(3)(5)不是命题．
【例2】指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式.
(1)两直线平行，同位角相等；
(2)垂直于同一直线的两条直线平行；
(3)对顶角相等．
解：(1)条件是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．可以改写成“如果两直线平行，那么同位角相等”；
(2)条件是“两条直线垂直于同一直线”，结论是“这两条直线平行”．可以改写成“如果两条直线垂直于同一直线，那么这两条直线平行”；
(3)条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”．可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．
【例3】判断下列命题是真命题还是假命题？
(1)如果a>b，b>c，那么a>c；
(2)如果两个角互补，那么它们是邻补角；
(3)任意两个直角都相等．
【方法指导】根据真命题和假命题的定义来进行判断．
解：(1)(3)是真命题，(2)是假命题．
活动4　随堂练习
1．教材P185随堂练习T2.
答：(1)条件是“在同一年内，5月4日是星期一”，结论是“5月11日也是星期一”；
(2)条件是“一个三角形的三个内角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”；
(3)条件是“＝”，结论是“x＝4”；
(4)条件是“有两个角是锐角”，结论是“这两个角的和一定是钝角”；
(5)条件是“x2＞0”，结论是“x＞0”；
(6)条件是“两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等”，结论是“这两个三角形全等”．
其中，(3)(4)(5)(6)是假命题．
举反例：(3)当x＝4时，≠；
(4)∵10°＋20°＝30°，30°＜90°，
∴两锐角之和不一定是钝角；
(5)∵(－2)2>0且－2<0，
∴x>0不正确；
(6)画一个∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°的三角形并在AB的中点找到一点O，连接OC，△AOC与△ABC符合条件，但它们不全等．
2．已知下列命题：①若a≤0，则＝a；②若|a|＝|b|，则a2＝b2；③若x2＝1，则x＝1；④若ax＝b(a≠0)，则x＝.其中，真命题的个数有 (B)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下面有两句话：(1)真命题的逆命题一定是真命题；(2)假命题的逆命题不一定是假命题．其中，正确的 (B)
A．只有(1) B．只有(2)
C．有(1)和(2) D．一个也没有
活动5　课堂小结与作业
学生活动：本节课要掌握命题的概念、组成和分类．
教学说明：讨论、探究、交流等形式使学生在辩论中获得知识体验．
作业：教材P188～189习题7.2中的T1、T2、T3.
教学中以学生自主探索为主，通过学生活动，了解定义的含义．通过学生的自主探索、合作交流、归纳出命题的题设和结论，加深了学生对命题结构的理解与记忆．整个教学过程中以学生讨论为主，极大地调动了学生的学习积极性，激发了学生学习的兴趣．在教学中教师要加强对已经学过的相关知识的梳理，加深对新知识的认识，逐渐形成对知识的迁移与应用．
第2课时　定理与证明
1．了解命题中真命题、假命题的含义以及命题的构成，领会和理解公理、证明和定理的含义．
2．体验、理解证明的重要性．
3．理解证明命题的思路、书写的格式，能对推理证明有初步认识．
▲重点
公理化思想，定理的证明过程．
▲难点
按规定格式表达证明的过程．
活动1　创设情境　导入新课(课件)
我们知道，举一个反例就可以证明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？用以前学过的观察、实验、验证特例等方法来证明可靠吗？能不能根据已经知道的真命题证明呢？那已经知道的真命题又是如何证明的？
活动2　实践探究　交流新知
【探究1】请看下面几位同学之间的讨论：(多媒体出示课件)
【探究2】自主学习教材P185～P187有关内容，完成(1)～(4)题．
(多媒体展示)公理、证明、定理的有关概念：
(1)__公认的真命题__称为公理．除了公理外，其他命题的真假都需要通过__演绎推理__的方法进行判断；
(2)__演绎推理__的过程称为证明，经过证明的__真命题__称为定理．每个定理都只能用__公理__、__定义__和已经证明为__真__的命题来证明；
(3)本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们已经认识了其中的八条：
①__两点确定一条直线__；
②__两点之间线段最短__；
③__同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直__；
④__两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行(简述为：同位角相等，两直线平行)__；
⑤__过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行__；
⑥__两边及其夹角分别相等的两个三角形全等__；
⑦__两角及其夹边分别相等的两个三角形全等__；
⑧__三边分别相等的两个三角形全等__．
另外一条基本事实我们将在后面的学习中认识它；
(4)数与式的运算律和运算__法则__、等式的有关__性质__，以及反映大小关系的有关性质都可以作为__证明__的依据．例如，如果a＝b，b＝c，那么__a＝c__，这一性质也可以作为证明的依据，称为“等量代换”．又如，如果a>b，b>c，那么a>c，这一性质同样可以作为证明的依据．
活动3　开放训练　应用举例
【例1】教材P187例．
【方法指导】从条件出发，用“因为……，所以……”形式．
证明：∵直线AB与直线CD相交于点O，
∴∠AOB和∠COD都是__平角__(__平角的定义__).
∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的__补角__(__补角的定义__).
∴∠AOC＝∠BOD(__同角的补角相等__).
【例2】已知：如图，∠AOB＝∠COD.
求证：∠1＝∠2.
【方法指导】因为∠AOB和∠COD都含有∠BOC，同时减去∠BOC就可以得到∠1＝∠2.
证明：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB－∠COB＝∠COD－∠COB，即∠1＝∠2.
【例3】命题“无论a取任何实数，式子a2－4a＋7的值都是正数”是真命题还是假命题？请说明理由．
【方法指导】先分析，然后通过推理证明．
解：是真命题．理由如下：∵a2－4a＋7＝a2－4a＋4＋3＝(a－2)2＋3，无论a为任何实数，都有(a－2)2≥0，∴(a－2)2＋3>0，即式子a2－4a＋7的值都是正数．
活动4　随堂练习
1．下列说法正确的是 (B)
A．真命题都可以作为定理
B．公理不需要证明
C．定理不一定都要证明
D．证明只能根据定义、公理进行
2．已知∠1＝∠2，∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角．求证：∠3＝∠4.
证明：∵∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角，
∴∠3＋∠1＝180°，∠4＋∠2＝180°.
∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4.
活动5　课堂小结与作业
学生活动：这节课你的收获是什么？
教学说明：经过确认可以通过逻辑推理证明的真命题有可能作为定理，是我们以后学习证明的依据，注意语言要科学严谨．
作业：教材P187随堂练习，P189习题7.2中的T4、T5、T6.
本节课通过师生之间的对话调动了学生学习的积极性和求知欲，并鼓励学生多说多想，通过学生的小组合作使得比较枯燥的概念教学变得活泼有趣．