7.3 平行线的证明 教学设计（2课时）2025-2026学年数学北师大版八年级上册

3　平行线的证明
第1课时　平行线的判定
1．会根据“同位角相等，两直线平行”证明“内错角相等，两直线平行”“同旁内角互补，两直线平行”．
2．通过画图、讨论、推理等活动，理解和总结证明的步骤、格式、方法．
▲重点
平行线的三个判定定理．
▲难点
灵活应用平行线的三个判定定理解决问题．
活动1　创设情境　导入新课(课件)
前面我们探索过两直线平行的哪些判别条件？利用“同位角相等，两直线平行”这个基本事实，你能证明它们吗？试一试．
两条直线被第三条直线所截，形成的角中，有同位角、内错角和同旁内角．同位角相等，两直线平行，那么利用内错角、同旁内角的关系，能否判定两直线平行？
活动2　实践探究　交流新知
【探究1】证明：内错角相等，两直线平行．
已知：如图，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的内错角，且∠1＝∠2.
求证：a∥b.
证明：∵∠1＝__∠2__(已知)，
∠1＝∠3(__对顶角相等__)，
∴∠3＝__∠2__(等量代换)．
∴a∥b(__同位角相等，两直线平行__).
【归纳】定理：内错角相等，两直线平行．
【探究2】证明：同旁内角互补，两直线平行．
已知：如图，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补．
求证：a∥b.
证明：∵∠1与∠2互补(已知)，
∴∠1＋∠2＝__180°__(互补的定义)．
∴∠1＝__180°－∠2__(等式的性质)．
∵∠3＋∠2＝__180°__(平角的定义)，
∴∠3＝__180°－∠2__(等式的性质)．
∴__∠1__＝∠3(等量代换)．
∴a∥b(__同位角相等，两直线平行__).
【归纳】定理：同旁内角互补，两直线平行．
活动3　开放训练　应用举例
【例1】教材P191思考·交流．
(1)我们可以用如图的方法画出平行线，你能说说其中的道理吗？
【方法指导】如图，∠1与∠2在等腰直角三角尺中都是45°，位置关系形成内错角，利用内错角相等，得出AB∥CD.
证明：∵∠1＝∠2＝45°，∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)；
(2)在一张不规则的四边形纸片上折出平行线，并予以证明；与同伴交流各自的折线方法与证明过程．
【方法指导】如图，折叠线段CD使其重合，折线为l1，用此方法再次折叠线段CD，折线为l2.∠1与∠2都是直角，位置关系形成同位角，利用同位角相等，得出l1∥l2.
证明：∵∠1＝∠2＝90°，∴∠1∥∠2(同位角相等，两直线平行).
【例2】请运用“同旁内角互补，两直线平行”这个定理完成以下证明：如图，AD是一条直线，∠1＝65°，∠2＝115°.求证：BE∥CF.
【方法指导】可以利用同位角相等，两直线平行证明，也可以利用同旁内角互补，两直线平行证明．
证明：方法一：∵∠1＋∠DBE＝180°，∠1＝ 65°，∴∠DBE＝115°.
又∵∠2＝115°，∴∠2＝∠DBE.∴BE∥CF.
方法二：∵∠1＋∠DBE＝180°，∠2＋∠BCF＝180°，∠1＝65°，∠2＝115°，
∴∠DBE＋∠BCF＝180°.∴BE∥CF.
【例3】如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130° ，找出图中的平行线，并说明理由．
【方法指导】综合利用平行线的判定定理来证明两条直线平行．
解：OA∥BC，OB∥AC.理由如下：
∵∠1＝50°，∠2＝50°，
∴∠1＝∠2.
∴OB∥AC.
∵∠2＝50°，∠3＝130°，
∴∠2＋∠3＝180°，
∴OA∥BC.
活动4　随堂练习
1．如图，若∠1＝∠2，能确定AB∥CD的是 (A)
2．已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD平分外角∠EAC，AD和BC的关系为 (C)
A．有可能AD∥BC B．不可能AD∥BC
C．一定有AD∥BC D．都有可能
　　　
3．如图，如果将两个形状相同的三角尺的最长边靠一起，上下滑动，那么直角边AB∥CD，根据是__内错角相等，两直线平行__．
4．铺设水管主拐角处，要用弯管ABCD，如图，测得拐角∠ABC＝109°，∠BCD＝71°，则AB∥CD，理由是__同旁内角互补，两直线平行__．
活动5　课堂小结与作业
学生活动：1.这节课你的收获是什么？
2．我们会用哪些方法判定两条直线互相平行？
教学说明：回顾平行线的判定定理，并会用判定定理解决问题．
作业：教材P194～195习题7.3中的T1、T2、T3.
本节课的教学在复习平行线判定的基本事实的同时，学习命题的证明过程和方法，在教学中的重点是规范推理证明过程，尤其是文字命题的证明过程．要求学生具有根据命题画出图形的能力，用数学符号规范地表达证明过程的能力．让学生很好地体会到证明的严谨性．
第2课时　平行线的性质
1．结合图形用符号语言来表示平行线的三条性质的条件和结论．
2．总结归纳出证明的一般步骤．
▲重点
平行线的性质的探索及应用．
▲难点
运用平行线的性质和判定来解决问题．
活动1　创设情境　导入新课(课件)
现在同学们已经掌握了利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补判定两条直线平行的三种方法．在这一节课里，大家把思维的指向反过来：如果两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角的数量关系又该如何表达？这是本节课我们将要学习的内容．
活动2　实践探究　交流新知
【探究1】证明：两直线平行，同位角相等．
已知：如图，直线AB∥CD，∠1和∠2是直线AB，CD被直线EF截出的同位角．
求证：∠1＝∠2.
【思考】能否直接用基本事实证明出来？
证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH＝∠2，如图所示．
根据“同位角相等，两直线平行”，可知__GH∥CD__．
又因为AB∥CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线__CD__平行.
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾．
这说明__∠1≠∠2__的假设不成立，所以∠1＝∠2.
【探究2】证明：两直线平行，内错角相等．
已知：如图，直线l1∥l2，∠1和∠2是直线l1，l2被直线l截出的内错角．
求证：∠1＝∠2.
证明：∵l1∥l2(已知)，
∴∠1＝∠3(两直线平行，同位角相等).
又∵∠2＝∠3(对顶角相等)，
∴∠1＝∠2(等量代换).
【探究3】证明：两直线平行，同旁内角互补．
已知：如图，直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角．
求证：∠1＋∠2＝180°.
证明：∵a∥b(已知)，
∴∠3＝∠2(两直线平行，内错角相等).
∵∠1＋∠3＝180°(平角的定义)，
∴∠1＋∠2＝180°(等量代换).
【归纳】证明文字叙述类命题的一般步骤：第一步：先根据命题的条件即已知事项画出图形，再把命题的结论即求证的内容在图上标出符号，还要根据证明的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达．
第二步：根据条件、结论、结合图形，写出已知、求证．
第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．
活动3　开放训练　应用举例
【例1】(教材P193例)已知：如图，b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3是直线a，b，c被直线d截出的同位角．
求证：b∥c.
【方法指导】平行线的性质．
证明：∵b∥a(已知)，
∴∠2＝__∠1__(两直线平行，__同位角__相等)．
∵c∥a(已知)，
∴∠3＝__∠1__(两直线平行，__同位角__相等)．
∴∠2＝∠3(等量代换)．
∴b∥c(__同位角__相等，两直线__平行__).
【例2】如图，已知∠ABC＋∠C＝180°，BD平分∠ABC.∠CBD与∠D相等吗？请说明理由．
【方法指导】由∠ABC＋∠C＝180°得到AB∥CD，再根据AB∥CD得到∠D＝∠ABD.最后由角平分线得到结果．
解：相等．理由如下：∵∠ABC＋∠C＝180°，
∴AB∥CD.∴∠D＝∠ABD.
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD.∴∠CBD＝∠D.
活动4　随堂练习
1．如图，已知直线DE经过点A，∠1＝∠B，∠2＝52°，则∠3的度数为 (A)
A．52° B．38° C．130° D．80°
　　　　
2．如图，已知直线a⊥c，b⊥c，∠1＝140°，那么∠2的度数是 (A)
A．40° B．50° C．60° D．140°
3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝120°，∠DCA＝20°，求∠BCA和∠DAC的度数．
解：∠BCA＝40°，∠DAC＝40°.
活动5　课堂小结与作业
学生活动：这节课学习了两条直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.
教学说明：对这节课所学内容，学以致用．
作业：教材P195习题7.3中的T5、T6、T7.
通过生活中的事例，让学生感受到数学来源于生活，通过问题的设置，训练学生语言表达的准确性和简洁性，为学生提供充分参与数学活动和探索的机会，让学生在轻松愉快的学习中掌握证明的步骤和格式．