5.1 直角三角形的性质定理
第2课时
知识点1 含30°角的直角三角形的性质
1.(2025·长沙期中)如图是某公园的一滑梯侧面图,已知∠ACB=30°,滑梯架的高AB为2 m,则滑梯AC长为(A)
A.4 m B.5 m C.6 m D.7 m
2.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,最小边BC=4 cm,最长边AB的长是(D)
A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm
3.(2025·长沙望城区质检)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°,BD=2,则AB的长为(C)
A.4 B.6 C.8 D.10
4.等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则顶角的度数是(C)
A.30° B.60°
C.30°或150° D.不能确定
知识点2 直角三角形性质的应用
5.如图,一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下,倒下部分与地面成30°角,这棵树在折断前的高度为(B)
A.6米 B.9米 C.12米 D.15米
6.如图,衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形,记为等腰三角形ABC,若AB=AC=26 cm,D是BC的中点,∠ABC=30°,则AD的长为(C)
A.11 cm B.12 cm C.13 cm D.14 cm
7.如图是某学校人行入口的智能闸机及其示意图,当它关闭时,双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为10 cm,挡板边缘AC=BD=70 cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°.当挡板收起后,可以通过闸机的物体的最大宽度为(B)
A.(70+10) cm B.80 cm
C.(70+10) cm D.90 cm
8.(教材再开发·P160例2变式)如图所示,为了躲避海盗,一轮船由西向东航行,早上8点,在A处测得小岛P在北偏东75°的方向上,以每小时20海里的速度继续向东航行,10点到达B处,并测得小岛P在北偏东60°的方向上,已知小岛周围22海里内有暗礁,若轮船仍向前航行,有无触礁的危险
【解析】过点P作PC⊥AB于点C.
因为∠PAB=90°-75°=15°,∠PBC=90°-60°=30°,
又因为∠PBC=∠PAB+∠APB,
所以∠PAB=∠APB=15°,
所以BP=AB=20×2=40(海里),
在Rt△PBC中,PC=PB=40×=20<22.
若轮船仍向前航行有触礁的危险.
9.在△ABC中,AB=AC=10,∠A=30°,则△ABC的面积为 25 .
10.如图,树AB垂直于地面,为测树高,小华在C处测得∠ACB=15°,然后他沿CB方向走了30米,到达D处,测得∠ADB=30°,则树的高度AB= 15米 .
11.如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,若PD=4,则PC的长为 8 .
12.已知:如图,△ABC中,∠BAC与∠ACB的平分线交于点D,过点D的AC的平行线分别交AB于E,交BC于F.
(1)求证:EF=AE+CF;
(2)若∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=3,求△BEF的周长.
【解析】(1)因为AD平分∠BAC,
所以∠EAD=∠DAC,
因为ED∥AC,所以∠DAC=∠EDA,
所以∠EAD=∠EDA,所以EA=ED,
同理,FD=FC,
所以ED+DF=EA+FC,
即EF=AE+CF;
(2)因为∠ACB=90°,∠BAC=30°,
所以BA=2BC=6,
所以△BEF的周长为BE+ED+DF+BF=BE+EA+BF+FC=BA+BC=9.
13.如图,已知:在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,P为BC边的中点,PD⊥AC.求证:CD=3AD.
【证明】如图,连接AP,
因为AB=AC,P为BC边的中点,
所以AP⊥BC,
因为∠BAC=120°,
所以∠C=(180°-∠BAC)=×(180°-120°)=30°,
因为PD⊥AC,所以∠CPD+∠C=90°,
又因为∠APD+∠CPD=90°,
所以∠APD=∠C=30°,
所以AP=2AD,AC=2AP,
所以AC=4AD,
所以CD=AC-AD=4AD-AD=3AD,
即CD=3AD.5.1 直角三角形的性质定理
第2课时
知识点1 含30°角的直角三角形的性质
1.(2025·长沙期中)如图是某公园的一滑梯侧面图,已知∠ACB=30°,滑梯架的高AB为2 m,则滑梯AC长为( )
A.4 m B.5 m C.6 m D.7 m
2.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,最小边BC=4 cm,最长边AB的长是( )
A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm
3.(2025·长沙望城区质检)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°,BD=2,则AB的长为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
4.等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则顶角的度数是( )
A.30° B.60°
C.30°或150° D.不能确定
知识点2 直角三角形性质的应用
5.如图,一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下,倒下部分与地面成30°角,这棵树在折断前的高度为( )
A.6米 B.9米 C.12米 D.15米
6.如图,衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形,记为等腰三角形ABC,若AB=AC=26 cm,D是BC的中点,∠ABC=30°,则AD的长为( )
A.11 cm B.12 cm C.13 cm D.14 cm
7.如图是某学校人行入口的智能闸机及其示意图,当它关闭时,双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为10 cm,挡板边缘AC=BD=70 cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°.当挡板收起后,可以通过闸机的物体的最大宽度为( )
A.(70+10) cm B.80 cm
C.(70+10) cm D.90 cm
8.(教材再开发·P160例2变式)如图所示,为了躲避海盗,一轮船由西向东航行,早上8点,在A处测得小岛P在北偏东75°的方向上,以每小时20海里的速度继续向东航行,10点到达B处,并测得小岛P在北偏东60°的方向上,已知小岛周围22海里内有暗礁,若轮船仍向前航行,有无触礁的危险
9.在△ABC中,AB=AC=10,∠A=30°,则△ABC的面积为 .
10.如图,树AB垂直于地面,为测树高,小华在C处测得∠ACB=15°,然后他沿CB方向走了30米,到达D处,测得∠ADB=30°,则树的高度AB= .
11.如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,若PD=4,则PC的长为 .
12.已知:如图,△ABC中,∠BAC与∠ACB的平分线交于点D,过点D的AC的平行线分别交AB于E,交BC于F.
(1)求证:EF=AE+CF;
(2)若∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=3,求△BEF的周长.
13.如图,已知:在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,P为BC边的中点,PD⊥AC.求证:CD=3AD.
