5.2 勾股定理及其逆定理
第1课时
知识点1 勾股定理
1.如图,直角三角形的三边上分别有一个正方形,其中两个正方形的面积分别是25和169,则字母B所代表的正方形的面积是( )
A.144 B.194 C.12 D.13
2.在△ABC中,∠C=90°,如果AB=10,BC∶AC=3∶4,则BC=( )
A.6 B.8
C.10 D.以上都不对
3.Rt△ABC中,∠B=90°,AB=10,BC=6,则AC= .
4.在Rt△ABC中,斜边AB=2,则AB2+BC2+AC2= .
知识点2 勾股定理的应用
5.由于台风的影响,一棵树在离地面6 m处折断,树顶落在离树干底部8 m处,则这棵树在折断前(不包括树根)的长度是( )
A.8 m B.10 m C.16 m D.18 m
6.(2024·巴中中考)“今有方池一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问:水深几何 ”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即AC=5,DC=1,BD=BA,则BC=( )
A.8 B.10 C.12 D.13
7.如图,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”(如图中的实线).其实他们仅仅少走了 m,却踩伤了花草.
8.一直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边的长为( )
A.5 B.
C.7或 D.5或
9.图1是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC.若AB=BC=2,且∠AOB=30°,则OC的长度为( )
A.2 B.2 C.4 D.2
10.如图,将一根长24 cm的筷子,置于底面直径为5 cm,高为12 cm的圆柱形茶杯中,设筷子露在杯子外面的长为a cm(茶杯装满水),则a的取值范围是 .
11.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,线段DE的两个端点D,E分别在边AC,BC上滑动,且DE=6,若点M,N分别是DE,AB的中点,则MN的最小值为 .
12.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,按以下步骤作图:①以点A为圆心,小于AC的长为半径画弧,分别交AB,AC于点E,F;②分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧相交于点G;③作射线AG,交BC边于点D.若AD=10 cm,则BD= cm.
13.如图,一架2.5 m长的梯子AB斜靠在一竖直墙AO上,这时AO为2.4 m.
(1)求OB的长度;
(2)如果梯子底端B沿地面向外移动0.8 m到达点C,那么梯子顶端A下移多少米
14.我们新定义一种三角形:两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫作常态三角形.例如:某三角形三边长分别是5,6和8,因为62+82=4×52=100,所以这个三角形是常态三角形.
(1)若△ABC三边长分别是3,2和4,则此三角形________常态三角形(填“是”或“不是”);
(2)若Rt△ABC是常态三角形,求此三角形的三边长之比(请写出求解过程并将三边比按从小到大排列);
(3)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,AD=DB=DC,若△BCD是常态三角形,求△ABC的面积.5.2 勾股定理及其逆定理
第1课时
知识点1 勾股定理
1.如图,直角三角形的三边上分别有一个正方形,其中两个正方形的面积分别是25和169,则字母B所代表的正方形的面积是(A)
A.144 B.194 C.12 D.13
2.在△ABC中,∠C=90°,如果AB=10,BC∶AC=3∶4,则BC=(A)
A.6 B.8
C.10 D.以上都不对
3.Rt△ABC中,∠B=90°,AB=10,BC=6,则AC= 2 .
4.在Rt△ABC中,斜边AB=2,则AB2+BC2+AC2= 8 .
知识点2 勾股定理的应用
5.由于台风的影响,一棵树在离地面6 m处折断,树顶落在离树干底部8 m处,则这棵树在折断前(不包括树根)的长度是(C)
A.8 m B.10 m C.16 m D.18 m
6.(2024·巴中中考)“今有方池一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问:水深几何 ”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即AC=5,DC=1,BD=BA,则BC=(C)
A.8 B.10 C.12 D.13
7.如图,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”(如图中的实线).其实他们仅仅少走了 4 m,却踩伤了花草.
8.一直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边的长为(D)
A.5 B.
C.7或 D.5或
9.图1是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC.若AB=BC=2,且∠AOB=30°,则OC的长度为(D)
A.2 B.2 C.4 D.2
10.如图,将一根长24 cm的筷子,置于底面直径为5 cm,高为12 cm的圆柱形茶杯中,设筷子露在杯子外面的长为a cm(茶杯装满水),则a的取值范围是 11≤a≤12 .
11.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,线段DE的两个端点D,E分别在边AC,BC上滑动,且DE=6,若点M,N分别是DE,AB的中点,则MN的最小值为 2 .
12.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,按以下步骤作图:①以点A为圆心,小于AC的长为半径画弧,分别交AB,AC于点E,F;②分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧相交于点G;③作射线AG,交BC边于点D.若AD=10 cm,则BD= 10 cm.
13.如图,一架2.5 m长的梯子AB斜靠在一竖直墙AO上,这时AO为2.4 m.
(1)求OB的长度;
(2)如果梯子底端B沿地面向外移动0.8 m到达点C,那么梯子顶端A下移多少米
【解析】(1)在Rt△AOB中,OB===0.7(m);
(2)设梯子的A端下移到D,如图,
因为OC=0.7+0.8=1.5(m),
所以在Rt△OCD中,
OD===2(m),
所以AD=OA-OD=2.4-2=0.4(m),
所以梯子顶端A下移0.4 m.
14.我们新定义一种三角形:两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫作常态三角形.例如:某三角形三边长分别是5,6和8,因为62+82=4×52=100,所以这个三角形是常态三角形.
(1)若△ABC三边长分别是3,2和4,则此三角形________常态三角形(填“是”或“不是”);
(2)若Rt△ABC是常态三角形,求此三角形的三边长之比(请写出求解过程并将三边比按从小到大排列);
(3)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,AD=DB=DC,若△BCD是常态三角形,求△ABC的面积.
【解析】(1)因为(2)2+42=4×32=36,
所以△ABC是常态三角形;
答案:是
(2)因为Rt△ABC是常态三角形,
所以设两直角边长为a,b,斜边长为c,
则a2+b2=c2,a2+c2=4b2,
所以2a2=3b2,所以a∶b=∶,
设a=x,b=x,则c=x,
所以此三角形的三边比为∶∶;
(3)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,AD=BD=CD,
因为△BCD是常态三角形,
当CD2+BD2=4×42时,
解得BD=CD=4,
则AB=8,
所以AC==4,
所以△ABC的面积为×4×4=8,
当CD2+BC2=4×BD2时,
解得BD=CD=,
则AB=,
所以AC=,
所以△ABC的面积为×4×=.
综上所述,△ABC的面积为8或.
