5.2 勾股定理及其逆定理
第2课时
知识点1 勾股数
1.在下列四组数中,属于勾股数的是( )
A.1,2,3 B.9,12,15
C.1,, D.4,5,6
2.若一组勾股数的其中两个为5和12,则第三个勾股数是( )
A.13 B.
C.13或 D.不确定
3.若3,4,a和5,b,13是两组勾股数,则a+b的值是.
知识点2 直角三角形的判定及应用
4.下列各组数中,能构成直角三角形的是( )
A.4,5,7 B.1,1,
C.6,8,11 D.5,12,23
5.若三角形的三边长分别为a,b,c,且满足(a-3)2+|b-4|+=0,则这个三角形的形状是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法判断
6.已知三角形的三边长为1,2,,则它的最小角为度.
7.一个三角形的三边长分别为5,12,13,则这个三角形最长边上的中线为.
8.如图,在△ABC中,已知AB=AC,D是AB边上的一点,CD=3,BC=,BD=1.
(1)求证:△BCD是直角三角形;
(2)求△ABC的面积.
9.一艘轮船以16海里/时的速度离开港口(如图),向北偏东40°方向航行,另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西某一角度的方向行驶,已知它们离港口一个半小时后相距30海里(即BA=30),问另一艘轮船的航行的方向是( )
A.北偏西50° B.南偏西50°
C.南偏东40° D.北偏西40°
10.如果正整数a,b,c满足等式a2+b2=c2,那么正整数a,b,c叫做勾股数,某同学将自己探究勾股数的过程列成下表,观察表中每列数的规律,可知x+y的值为( )
A.47 B.62 C.79 D.98
11.如图所示的网格是正方形网格,则∠DAB+∠DBA=°.(点D,A,B是网格线交点,每个小正方形的边长为1)
12.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,则四边形ABCD的面积为.
13.为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策,帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义,培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质,学校给八(1)班、八(2)班各分一块三角形形状的劳动试验基地.
(1)当班主任测量出八(1)班试验基地的三边长分别为5 m,12 m,13 m时,一边的小明很快给出这块试验基地的面积.你求出的面积为________m2;
(2)八(2)班的劳动试验基地的三边长分别为AB=15 m,BC=14 m,AC=13 m(如图),你能帮助他们求出面积吗
14.定义:如图,点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点.
(1)已知M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若AM=2,MN=4,BN=2,则点M,N是线段AB的勾股分割点吗 请说明理由.
(2)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,且AM为直角边,若AB=12,AM=5,求BN的长.5.2 勾股定理及其逆定理
第2课时
知识点1 勾股数
1.在下列四组数中,属于勾股数的是(B)
A.1,2,3 B.9,12,15
C.1,, D.4,5,6
2.若一组勾股数的其中两个为5和12,则第三个勾股数是(A)
A.13 B.
C.13或 D.不确定
3.若3,4,a和5,b,13是两组勾股数,则a+b的值是 17 .
知识点2 直角三角形的判定及应用
4.下列各组数中,能构成直角三角形的是(B)
A.4,5,7 B.1,1,
C.6,8,11 D.5,12,23
5.若三角形的三边长分别为a,b,c,且满足(a-3)2+|b-4|+=0,则这个三角形的形状是(B)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法判断
6.已知三角形的三边长为1,2,,则它的最小角为 30 度.
7.一个三角形的三边长分别为5,12,13,则这个三角形最长边上的中线为 .
8.如图,在△ABC中,已知AB=AC,D是AB边上的一点,CD=3,BC=,BD=1.
(1)求证:△BCD是直角三角形;
(2)求△ABC的面积.
【解析】(1)因为CD=3,BC=,BD=1,
所以CD2+BD2=32+12=10=BC2,
所以△BCD是直角三角形;
(2)由(1)知,△BCD是直角三角形,
所以∠BDC=90°,所以∠ADC=90°,
设AC=x,则AD=x-1,
因为CD2+AD2=AC2,
所以(x-1)2+32=x2,
解得x=5,
所以AB=AC=5,
所以△ABC的面积是==.
9.一艘轮船以16海里/时的速度离开港口(如图),向北偏东40°方向航行,另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西某一角度的方向行驶,已知它们离港口一个半小时后相距30海里(即BA=30),问另一艘轮船的航行的方向是(A)
A.北偏西50° B.南偏西50°
C.南偏东40° D.北偏西40°
10.如果正整数a,b,c满足等式a2+b2=c2,那么正整数a,b,c叫做勾股数,某同学将自己探究勾股数的过程列成下表,观察表中每列数的规律,可知x+y的值为(C)
A.47 B.62 C.79 D.98
11.如图所示的网格是正方形网格,则∠DAB+∠DBA= 45 °.(点D,A,B是网格线交点,每个小正方形的边长为1)
12.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,则四边形ABCD的面积为 36 .
13.为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策,帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义,培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质,学校给八(1)班、八(2)班各分一块三角形形状的劳动试验基地.
(1)当班主任测量出八(1)班试验基地的三边长分别为5 m,12 m,13 m时,一边的小明很快给出这块试验基地的面积.你求出的面积为________m2;
(2)八(2)班的劳动试验基地的三边长分别为AB=15 m,BC=14 m,AC=13 m(如图),你能帮助他们求出面积吗
【解析】(1)因为52+122=132,
所以三边长分别为5 m,12 m,13 m的三角形构成直角三角形,其中的直角边是
5 m,12 m,
所以此三角形的面积为×5×12=30(m2).
答案:30
(2)过点A作AH⊥BC于点H,设BH=x,则CH=14-x,
在Rt△BHA中,AH2=AB2-BH2=152-x2,
在Rt△AHC中,AH2=AC2-CH2=132-(14-x)2,
所以152-x2=132-(14-x)2,
解得x=9,
所以AH==12,
所以△ABC的面积为BC·AH=×14×12=84(m2).
答:八(2)班劳动试验基地的面积是84 m2.
14.定义:如图,点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点.
(1)已知M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若AM=2,MN=4,BN=2,则点M,N是线段AB的勾股分割点吗 请说明理由.
(2)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,且AM为直角边,若AB=12,AM=5,求BN的长.
【解析】(1)是.
理由:因为AM2+BN2=22+(2)2=16,MN2=42=16,所以AM2+NB2=MN2,
所以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形.
故点M,N是线段AB的勾股分割点.
(2)设BN=x,则MN=12-AM-BN=7-x,
①当MN为最长线段时,依题意MN2=AM2+BN2,
即(7-x)2=x2+25,解得x=;
②当BN为最长线段时,依题意BN2=AM2+MN2.
即x2=25+(7-x)2,解得x=.
综上所述,BN的长为或.
