5.3 直角三角形全等的判定
知识点1 用“斜边、直角边”证明两个直角三角形全等
1.(2025·长沙望城区质检)如图,要用“斜边、直角边”判定Rt△ABC和Rt△A'B'C'全等的条件是( )
A.AC=A'C',BC=B'C'
B.∠A=∠A',AB=A'B'
C.AC=A'C',AB=A'B'
D.∠B=∠B',BC=B'C'
2.如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,AC=DE,若要用“斜边直角边(斜边、直角边)”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE,则还需补充条件:.
3.如图,在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=90°,AC=BD,AC与BD相交于点O.
(1)求证:△ABC≌△DCB;
(2)△OBC是何种三角形 证明你的结论.
知识点2 判定两直角三角形全等方法的综合
4.下列说法错误的是( )
A.一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等
B.两直角边对应相等的两个直角三角形全等
C.两锐角对应相等的两个直角三角形全等
D.一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等
5.如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点O.如果AB=AC,那么图中全等的直角三角形的对数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.如图,∠C=∠D=90°,添加一个条件:(写出一个条件即可),使Rt△ABC与Rt△ABD全等.
7.已知:如图,AD∥BC,∠A=90°,E是AB上的一点,且AD=BE,∠1=∠2.
(1)求证:△ADE≌△BEC;
(2)若DE=10,试求△CDE的面积.
8.如图,AC⊥AB,AC⊥CD,要使得△ABC≌△CDA.
(1)若以“边角边”为依据,
需添加条件;
(2)若以“斜边、直角边”为依据,需添加条件.
9.如图,正方形网格中,点A,B,C,D均在格点上,则∠ACD+∠BDC=°.
10.如图,点A和动点P在直线l上,点P关于点A的对称点为Q,以AQ为边作Rt△ABQ,使∠BAQ=90°,AQ∶AB=3∶4.直线l上有一点C在点P右侧,PC=4 cm,过点C作射线CD⊥l,点F为射线CD上的一个动点,连接AF.当△AFC与△ABQ全等时,AQ=cm.
11.(2025·长沙宁乡市期中)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF,证明:
(1)CF=EB.
(2)AB=AF+2EB.
12.CD是经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB.E,F分别是直线CD上两点,且
∠BEC=∠CFA=∠α.
(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题:
①如图1,若∠BCA=90°,∠α=90°,则BE________CF;EF________BE-AF(填“>”“<”或“=”);
②如图2,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件________________________________,使①中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立.
(2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明).5.3 直角三角形全等的判定
知识点1 用“斜边、直角边”证明两个直角三角形全等
1.(2025·长沙望城区质检)如图,要用“斜边、直角边”判定Rt△ABC和Rt△A'B'C'全等的条件是(C)
A.AC=A'C',BC=B'C'
B.∠A=∠A',AB=A'B'
C.AC=A'C',AB=A'B'
D.∠B=∠B',BC=B'C'
2.如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,AC=DE,若要用“斜边直角边(斜边、直角边)”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE,则还需补充条件: BC=EF(答案不唯一) .
3.如图,在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=90°,AC=BD,AC与BD相交于点O.
(1)求证:△ABC≌△DCB;
(2)△OBC是何种三角形 证明你的结论.
【解析】(1)在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=90°.在Rt△ABC和Rt△DCB中,
,
所以Rt△ABC≌Rt△DCB(斜边、直角边);
(2)△OBC是等腰三角形,
证明:由(1)得Rt△ABC≌Rt△DCB,
所以∠ACB=∠DBC,所以OB=OC,
所以△OBC是等腰三角形.
知识点2 判定两直角三角形全等方法的综合
4.下列说法错误的是(C)
A.一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等
B.两直角边对应相等的两个直角三角形全等
C.两锐角对应相等的两个直角三角形全等
D.一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等
5.如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点O.如果AB=AC,那么图中全等的直角三角形的对数是(C)
A.1 B.2 C.3 D.4
6.如图,∠C=∠D=90°,添加一个条件: AC=AD(答案不唯一) (写出一个条件即可),使Rt△ABC与Rt△ABD全等.
7.已知:如图,AD∥BC,∠A=90°,E是AB上的一点,且AD=BE,∠1=∠2.
(1)求证:△ADE≌△BEC;
(2)若DE=10,试求△CDE的面积.
【解析】(1)因为AD∥BC,∠A=90°,∠1=∠2,
所以∠A=∠B=90°,DE=CE.
在Rt△ADE和Rt△BEC中,
,
所以Rt△ADE≌Rt△BEC(斜边、直角边).
(2)由△ADE≌△BEC得∠AED=∠BCE,
所以∠AED+∠BEC=∠BCE+∠BEC=90°,
所以∠DEC=90°,
所以△CDE的面积为×10×10=50.
8.如图,AC⊥AB,AC⊥CD,要使得△ABC≌△CDA.
(1)若以“边角边”为依据,
需添加条件 AB=CD ;
(2)若以“斜边、直角边”为依据,需添加条件 AD=BC .
9.如图,正方形网格中,点A,B,C,D均在格点上,则∠ACD+∠BDC= 90 °.
10.如图,点A和动点P在直线l上,点P关于点A的对称点为Q,以AQ为边作Rt△ABQ,使∠BAQ=90°,AQ∶AB=3∶4.直线l上有一点C在点P右侧,PC=4 cm,过点C作射线CD⊥l,点F为射线CD上的一个动点,连接AF.当△AFC与△ABQ全等时,AQ= 12或2或 cm.
11.(2025·长沙宁乡市期中)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF,证明:
(1)CF=EB.
(2)AB=AF+2EB.
【证明】(1)因为DE⊥AB,DC⊥AC,所以∠C=∠DEA=90°,
因为AD是∠BAC的平分线,所以∠DAC=∠DAE.
在△ADC和△ADE中,,
所以△ADC≌△ADE(角角边),
所以DE=DC.
在Rt△CDF和Rt△EDB中,,
所以Rt△CDF≌Rt△EDB(斜边、直角边),
所以CF=EB.
(2)因为△ADC≌△ADE,所以AC=AE,
所以AF+CF=AB-EB.
因为CF=EB,所以AB=AF+2EB.
12.CD是经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB.E,F分别是直线CD上两点,且
∠BEC=∠CFA=∠α.
(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题:
①如图1,若∠BCA=90°,∠α=90°,则BE________CF;EF________BE-AF(填“>”“<”或“=”);
②如图2,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件________________________________,使①中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立.
(2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明).
【解析】(1)①因为∠BCA=90°,∠α=90°,
所以∠BCE+∠CBE=90°,∠BCE+∠ACF=90°,
所以∠CBE=∠ACF,
在△BCE和△CAF中,,
所以△BCE≌△CAF(角角边),
所以BE=CF,EF=CF-CE=BE-AF.
答案:= =
②所添加的条件是∠α+∠BCA=180°.
证明:在△BCE中,∠CBE+∠BCE=180°-∠BEC=180°-∠α.
因为∠BCA=180°-∠α,
所以∠CBE+∠BCE=∠BCA.
又因为∠ACF+∠BCE=∠BCA,
所以∠CBE=∠ACF,
又因为BC=CA,∠BEC=∠CFA,
所以△BCE≌△CAF(角角边),
所以BE=CF,CE=AF,
又因为EF=CF-CE,
所以EF=BE-AF.
(2)猜想:EF=AF+BE.
证明:
因为∠BEC=∠CFA=∠α,∠α=∠BCA,∠BCA+∠BCE+∠ACF=180°,∠CFA+
∠CAF+∠ACF=180°,
所以∠BCE=∠CAF,
又因为BC=CA,
所以△BCE≌△CAF(角角边).
所以BE=CF,EC=FA,
所以EF=EC+CF=AF+BE.
