2.1.1 函数概念 (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
[课时目标]
1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念．
2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．
3．了解构成函数的要素，会判断两函数是否为同一个函数．
逐点清(一) 函数概念
[多维理解]
函数的定义及相关概念
定义 给定实数集R中的两个____________A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的__________数x，在集合B中都有____________的数y和它对应，那么就把______________称为定义在集合A上的一个函数
记法 __________，x∈A
定义域 ______________称为函数的定义域，x称为________
值域 集合__________称为函数的值域，与x值对应的y值称为____________
|微|点|助|解|
对函数概念的理解
(1)定义域是非空的实数集A，但函数的值域不一定是非空实数集B，而是集合B的子集；
(2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应；
(3)从对应的角度看，函数只有两种：一对一，多对一．一对多不是函数；
(4)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系；
(5)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号表示函数．
[微点练明]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)定义域与对应关系确定后，函数值域也就确定了．( )
(2)函数的定义域是无限集，则值域也是无限集．( )
(3)若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素．( )
(4)对于f(x)＝5，x∈R，f(x)不随着x的变化而变化，所以f(0)＝5也成立．( )
2．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是( )
A．大气层中的臭氧空洞的面积与时间(年份)
B．圆的周长与半径
C．正n边形的内角和与边数
D．月份与年
3．下表表示y是x的函数，则函数的值域是( )
x x<2 2≤x≤3 x>3
y －1 0 1
A.{y|－1≤y≤1} B．R
C．{y|2≤y≤3} D．{－1,0,1}
4．(多选)下列函数的定义域是R的是( )
A．y＝x＋1 B．y＝x2
C．y＝ D．y＝2x
5．下列表示y关于x的函数的是( )
A．y＝＋
B．y2＝4x
C．y＝
x 1 2 3 4
y 0 0 －6 11
逐点清(二) 同一个函数
[多维理解]
同一个函数的概念
前提条件 (1)定义域________；(2)对应关系____________
结论 这两个函数是同一个函数
|微|点|助|解|
判断两个函数为同一个函数应注意的三点
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都分别对应相同，也不一定是同一个函数．
(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．
(3)在化简解析式时，必须是等价变形．
[微点练明]
1．下列各组函数表示相同函数的是( )
A．f(x)＝和g(x)＝()2
B．f(x)＝1和g(x)＝x0
C．f(x)＝|x|和g(x)＝
D．f(x)＝x＋1和g(x)＝
2．下列各组函数是同一个函数的是( )
A．f(x)＝，g(x)＝x－1
B．f(x)＝，g(x)＝
C．f(x)＝·，g(x)＝
D．f(x)＝，g(x)＝x＋3
逐点清(三) 求函数的定义域
[典例] (1)函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，3] B．[0,3]
C．(0,2)∪(2,3) D．[0,2)∪(2,3]
(2)函数f(x)＝ －的定义域是______．
听课记录：
|思|维|建|模| 已知解析式求函数的定义域的步骤
[针对训练]
1．函数f(x)＝－(x－3)0的定义域为( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(2,3)∪(3，＋∞) D．[3，＋∞)
2．函数f(x)＝－的定义域为________．
函数概念
[逐点清(一)]
[多维理解] 非空数集 每一个
唯一确定 对应关系f y＝f(x)
集合A 自变量 {f(x)|x∈A} 函数值
[微点练明] 1.(1)√ (2)× (3)√
(4)√ 2.D 3.D 4.ABD 5.D
[逐点清(二)]
[多维理解] (1)相同 (2)完全一致
[微点练明] 1.C 2.C
[逐点清(三)]
[典例] 解析：(1)由题设，得解得0≤x≤3，且x≠－，x≠2，故x∈[0,2)∪(2,3]．
(2)由题意，得解得x≥－1且x≠0.故x∈[－1,0)∪(0，＋∞)．
答案：(1)D (2)[－1,0)∪(0，＋∞)
[针对训练]
1．选C 由得x>2，且x≠3.
2．解析：由题设，得解得x≥1.所以f(x)的定义域为[1，＋∞)．
答案：[1，＋∞)
3 / 4(共47张PPT)
函数概念
(教学方式:基本概念课—逐点理清式教学)
2.1.1
课时目标
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念.
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.
3.了解构成函数的要素,会判断两函数是否为同一个函数.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 函数概念
逐点清(二) 同一个函数
逐点清(三) 求函数的定义域
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 函数概念
01
多维理解
函数的定义及相关概念
定义 给定实数集R中的两个__________A和B,如果存在一个对应关系 f,使对于集合A中的_______数x,在集合B中都有__________的数y和它对应,那么就把__________称为定义在集合A上的一个函数
记法 ________,x∈A
定义域 _______称为函数的定义域,x称为_______
值域 集合__________称为函数的值域,与x值对应的y值称为________
非空数集
每一个
唯一确定
对应关系f
y=f(x)
集合A
自变量
{f(x)|x∈A}
函数值
|微|点|助|解| 对函数概念的理解
(1)定义域是非空的实数集A,但函数的值域不一定是非空实数集B,而是集合B的子集;
(2)函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,即对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x,在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应;
(3)从对应的角度看,函数只有两种:一对一,多对一.一对多不是函数;
(4)函数符号“y=f(x)”是数学符号之一,不表示y等于f与x的乘积,f(x)也不一定是解析式,还可以是图象或表格,或其他的对应关系;
(5)除f(x)外,有时还用g(x),u(x),F(x),G(x)等符号表示函数.
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)定义域与对应关系确定后,函数值域也就确定了. ( )
(2)函数的定义域是无限集,则值域也是无限集. ( )
(3)若函数的定义域只有一个元素,则值域也只有一个元素. ( )
(4)对于f(x)=5,x∈R,f(x)不随着x的变化而变化,所以f(0)=5也成立. ( )
微点练明
√
×
√
√
2.下列两个变量之间的关系不是函数关系的是 ( )
A.大气层中的臭氧空洞的面积与时间(年份)
B.圆的周长与半径
C.正n边形的内角和与边数
D.月份与年
解析:因为月份对应的年份不确定,不符合函数的关系,故月份与年两个变量之间的关系不是函数关系.
√
3.下表表示y是x的函数,则函数的值域是 ( )
A.{y|-1≤y≤1} B.R
C.{y|2≤y≤3} D.{-1,0,1}
解析:函数值只有-1,0,1,故值域为{-1,0,1}.
x x<2 2≤x≤3 x>3
y -1 0 1
√
4.(多选)下列函数的定义域是R的是 ( )
A.y=x+1 B.y=x2
C.y= D.y=2x
解析:A中为一次函数,B中为二次函数,D中为正比例函数,定义域都为R;C中为反比例函数,定义域是{x|x≠0},不是R.
√
√
√
5.下列表示y关于x的函数的是 ( )
A.y=+
B.y2=4x
C.y=
D.
x 1 2 3 4
y 0 0 -6 11
√
解析:对于A,由解得x∈ ,所以y不是x的函数;对于B,当x>0时,有两个y与x对应,所以y不是x的函数;对于C,当x=1时,有两个y与x对应,所以y不是x的函数;对于D,满足y是x的函数.
逐点清(二) 同一个函数
02
多维理解
同一个函数的概念
前提条件 (1)定义域______;(2)对应关系__________
结论 这两个函数是同一个函数
相同
完全一致
|微|点|助|解|
判断两个函数为同一个函数应注意的三点
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数,即使定义域与值域都分别对应相同,也不一定是同一个函数.
(2)函数是两个数集之间的对应关系,所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.
(3)在化简解析式时,必须是等价变形.
微点练明
1.下列各组函数表示相同函数的是 ( )
A.f(x)=和g(x)=()2
B.f(x)=1和g(x)=x0
C.f(x)=|x|和g(x)=
D.f(x)=x+1和g(x)=
√
解析:对于A,函数f(x)=的定义域为R,函数g(x)=()2的定义域为[0,+∞),两个函数的定义域不同,所以表示不同的函数;对于B,函数f(x)=1的定义域为R,函数g(x)=x0的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),两个函数的定义域不同,所以表示不同的函数;对于C,函数f(x)=|x|=与g(x)=的定义域和对应关系都相同,所以表示相同的函数;对于D,函数f(x)=x+1的定义域为R,函数g(x)=的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),两个函数的定义域不同,所以表示不同的函数.
2.下列各组函数是同一个函数的是 ( )
A.f(x)=,g(x)=x-1
B.f(x)=,g(x)=
C.f(x)=·,g(x)=
D.f(x)=,g(x)=x+3
√
解析:对于A,定义域不同,f(x)的定义域为{x|x≠0},g(x)的定义域为R,不是同一个函数;对于B,对应关系不同,f(x)=,g(x)=,不是同一个函数;对于C,定义域、对应关系都相同,是同一个函数;对于D,对应关系不同,
f(x)=|x+3|,g(x)=x+3,不是同一个函数.
逐点清(三) 求函数的定义域
03
[典例] (1)函数y=的定义域为( )
A.(-∞,3] B.[0,3]
C.(0,2)∪(2,3) D.[0,2)∪(2,3]
解析:由题设,得
解得0≤x≤3,且x≠-,x≠2,
故x∈[0,2)∪(2,3].
√
(2)函数f(x)= -的定义域是 .
解析:由题意,得
解得x≥-1且x≠0.
故x∈[-1,0)∪(0,+∞).
[-1,0)∪(0,+∞)
|思|维|建|模| 已知解析式求函数的定义域的步骤
1.函数f(x)=-(x-3)0的定义域为( )
A.[2,+∞) B.(2,+∞)
C.(2,3)∪(3,+∞) D.[3,+∞)
解析:由得x>2,且x≠3.
针对训练
√
2.函数f(x)=-的定义域为 .
解析:由题设,得解得x≥1.所以f(x)的定义域为[1,+∞).
[1,+∞)
课时跟踪检测
04
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2
√
1.下列说法正确的是 ( )
A.函数的定义域可以是空集
B.函数的定义域和值域确定后,对应关系也就确定了
C.函数的定义域、值域都是非空的数集
D.函数值域中的每一个值在定义域中都有唯一确定的数与之对应
1
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2
解析:由函数定义知,定义域和值域都是非空的数集,故A错误,C正确;函数的定义域和值域确定后,可以有不同的对应关系,如y=|x|,y=x2,故B错误;函数值域中的每一个值在定义域中有一个或多个确定的数与之对应,故D错误.
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√
2.(多选)下列图形是函数图象的是 ( )
√
√
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2
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4
解析:A中至少存在一处如x=0,一个横坐标对应两个纵坐标,这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一,故A不是函数图象,B、C、D均符合函数定义.
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√
3.(多选)已知集合A={x|0≤x≤8},集合B={y|0≤y≤4},则下列对应关系中,可看作是从A到B的函数关系的是 ( )
A.f:x→y=x B.f:x→y=x
C.f:x→y=x D.f:x→y=x
解析:根据函数的定义,对于D,在集合A中的部分元素,在集合B中没有元素与它对应,故不正确.
√
√
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2
√
4.函数f(x)=的定义域为( )
A. B.
C. D.
解析:要使f(x)有意义,只需满足即x≤且x≠0.
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√
5.若A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤2},下列图形能表示以A为定义域,B为值域的函数的是 ( )
解析:A中值域为{y|0≤{1,2},故错误,故选B.
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√
6.任给u∈[-2,0],对应关系f使方程u2+v=0的解v与u对应,则v=f(u)是函数的一个充分条件是 ( )
A.v∈[-4,4] B.v∈(-4,2]
C.v∈[-2,2] D.v∈[-4,-2]
解析:根据函数的定义,对任意u∈[-2,0],按v=-u2,在v的范围中必有唯一的值与之对应.因为u2∈[0,4],则-u2∈[-4,0],所以v的范围要包含[-4,0].
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√
7.下列各组函数是同一个函数的是 ( )
A.y=x+1与y=
B.y=x2+1与s=t2+1
C.y=2x与y=2x(x≥0)
D.y=(x+1)2与y=x2
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解析:对于A,前者定义域为R,后者定义域为{x|x≠1},不是同一个函数;对于B,虽然变量不同,但定义域和对应关系均相同,是同一个函数;对于C,虽然对应关系相同,但定义域不同,不是同一个函数;对于D,虽然定义域相同,但对应关系不同,不是同一个函数.
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8.已知集合A={1,2,k},B={4,7,10},x∈A,y∈B,使B中元素y和A中元素x一一对应,对应关系为y=3x+1,则k的值为 ( )
A.5 B.4
C.3 D.2
解析:根据对应关系为y=3x+1,知3×1+1=4,3×2+1=7,可得3×k+1=10.所以k=3.
√
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9.函数y=f(x)的图象与直线x=2 023的交点 ( )
A.至少有1个 B.至多有1个
C.仅有1个 D.可能有无数多个
解析:当x在定义域内时,因为在定义域内任意取一个值,都有唯一的一个函数值f(x)与之对应,所以函数y=f(x)的图象与直线x=2 023有唯一交点;当x不在定义域内时,函数值f(x)不存在,函数y=f(x)的图象与直线x=2 023没有交点.故函数 y=f(x)的图象与直线x=2 023至多有一个交点.
√
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10.(多选)下列函数中,定义域为{x|x>1}的是 ( )
A.y= B.y=
C.y=+(3x-3)0 D.y=(2x-2)0
解析:A选项,依题可知x-1≠0,且2x-2≥0,所以x>1,故A正确;B选项,依题可知x-1≥0,所以x≥1,故B错误;C选项,依题可知x-1≥0,且3x-3≠0,所以x>1,故C正确;D选项,依题可知2x-2≠0,所以x≠1,故D错误.
√
√
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11.已知函数f(x)=的定义域是R,则实数a的取值范围是( )
A.(-12,0) B.(-12,0]
C. D.
解析:∵f(x)=的定义域为R,∴只需分母不为0即可,即ax2+ax-3≠0恒成立,①当a=0时,-3≠0恒成立,满足题意;②当a≠0时,Δ=a2-4a×(-3)<0,解得-12
√
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12.函数f(x)=的定义域是 .
[0,+∞)
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13.(10分)求下列函数的定义域:
(1)y=3-x;
解:函数y=3-x的定义域为R.
(2)y=;
解:由于0的零次幂无意义,故x+1≠0,即x≠-1.
又x+2>0,即x>-2,所以函数y=的定义域为{x|x>-2且x≠-1}.
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(3)y=;
解:要使函数有意义,自变量x的取值必须满足
解得x≤5,且x≠±3,所以函数y=的定义域为{x|x≤5且x≠±3}.
1
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2
(4)y=.
解:要使函数有意义,
则即
解得-1≤x<1.所以函数y=的定义域为{x|-1≤x<1}.
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14.(10分)对于三角形,你可能想到哪些量 如果一个三角形的周长不变,那么它的内切圆半径与面积之间是不是函数关系 如果是函数关系,请写出函数关系式.你还能举出其他的函数例子吗
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3
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解:能想到三角形的边长和三个角的度数.内切圆半径与面积之间是函数关系,设三角形三边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,三角形面积为S,则S=(a+b+c)r.设三角形周长为l,则l=a+b+c,故S=lr.另外对于一个三角形,若它的面积为定值,则该三角形内切圆半径与三角形周长之间为反比例关系,关系式如下:l=或r=.课时跟踪检测(十七) 函数概念
(满分80分，选填小题每题5分)
1．下列说法正确的是( )
A．函数的定义域可以是空集
B．函数的定义域和值域确定后，对应关系也就确定了
C．函数的定义域、值域都是非空的数集
D．函数值域中的每一个值在定义域中都有唯一确定的数与之对应
2．(多选)下列图形是函数图象的是( )
3．(多选)已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{y|0≤y≤4}，则下列对应关系中，可看作是从A到B的函数关系的是( )
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x D．f：x→y＝x
4．函数f(x)＝的定义域为( )
A. B.
C. D.
5．若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是( )
6．任给u∈[－2,0]，对应关系f使方程u2＋v＝0的解v与u对应，则v＝f(u)是函数的一个充分条件是( )
A．v∈[－4,4] B．v∈(－4,2]
C．v∈[－2,2] D．v∈[－4，－2]
7．下列各组函数是同一个函数的是( )
A．y＝x＋1与y＝
B．y＝x2＋1与s＝t2＋1
C．y＝2x与y＝2x(x≥0)
D．y＝(x＋1)2与y＝x2
8．已知集合A＝{1,2，k}，B＝{4,7,10}，x∈A，y∈B，使B中元素y和A中元素x一一对应，对应关系为y＝3x＋1，则k的值为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
9．函数y＝f(x)的图象与直线x＝2 023的交点( )
A．至少有1个 B．至多有1个
C．仅有1个 D．可能有无数多个
10．(多选)下列函数中，定义域为{x|x>1}的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝＋(3x－3)0 D．y＝(2x－2)0
11．已知函数f(x)＝的定义域是R，则实数a的取值范围是( )
A．(－12,0) B．(－12,0]
C. D.
12．函数f(x)＝的定义域是________．
13．(10分)求下列函数的定义域：
(1)y＝3－x；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝.
14．(10分)对于三角形，你可能想到哪些量？如果一个三角形的周长不变，那么它的内切圆半径与面积之间是不是函数关系？如果是函数关系，请写出函数关系式．你还能举出其他的函数例子吗？
课时跟踪检测(十七)
1．选C 由函数定义知，定义域和值域都是非空的数集，故A错误，C正确；函数的定义域和值域确定后，可以有不同的对应关系，如y＝|x|，y＝x2，故B错误；函数值域中的每一个值在定义域中有一个或多个确定的数与之对应，故D错误．
2．选BCD A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故A不是函数图象，B、C、D均符合函数定义．
3．选ABC 根据函数的定义，对于D，在集合A中的部分元素，在集合B中没有元素与它对应，故不正确．
4．选D 要使f(x)有意义，只需满足即x≤且x≠0.
5．选B A中值域为{y|0≤y≤2}，故错误；C、D中值域为{1,2}，故错误，故选B.
6．选A 根据函数的定义，对任意u∈[－2,0]，按v＝－u2，在v的范围中必有唯一的值与之对应．因为u2∈[0,4]，则－u2∈[－4，0]，所以v的范围要包含[－4,0]．
7．选B 对于A，前者定义域为R，后者定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数；对于B，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是同一个函数；对于C，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是同一个函数；对于D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是同一个函数．
8．选C 根据对应关系为y＝3x＋1，知3×1＋1＝4,3×2＋1＝7，可得3×k＋1＝10.所以k＝3.
9．选B 当x在定义域内时，因为在定义域内任意取一个值，都有唯一的一个函数值f(x)与之对应，所以函数y＝f(x)的图象与直线x＝2 023有唯一交点；当x不在定义域内时，函数值f(x)不存在，函数y＝f(x)的图象与直线x＝2 023没有交点．故函数 y＝f(x)的图象与直线x＝2 023至多有一个交点．
10．选AC A选项，依题可知x－1≠0，且2x－2≥0，所以x>1，故A正确；B选项，依题可知x－1≥0，所以x≥1，故B错误；C选项，依题可知x－1≥0，且3x－3≠0，所以x>1，故C正确；D选项，依题可知2x－2≠0，所以x≠1，故D错误．
11．选B ∵f(x)＝的定义域为R，∴只需分母不为0即可，即ax2＋ax－3≠0恒成立，①当a＝0时，－3≠0恒成立，满足题意；②当a≠0时，Δ＝a2－4a×(－3)<0，解得－1212．[0，＋∞)
13．解：(1)函数y＝3－x的定义域为R.
(2)由于0的零次幂无意义，故x＋1≠0，即x≠－1.
又x＋2>0，即x>－2，所以函数y＝的定义域为{x|x>－2且x≠－1}．
(3)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤5，且x≠±3，所以函数y＝的定义域为{x|x≤5且x≠±3}．
(4)要使函数有意义，
则即
解得－1≤x<1.
所以函数y＝的定义域为{x|－1≤x<1}．
14．解：能想到三角形的边长和三个角的度数．内切圆半径与面积之间是函数关系，设三角形三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，三角形面积为S，则S＝(a＋b＋c)r.设三角形周长为l，则l＝a＋b＋c，故S＝lr.另外对于一个三角形，若它的面积为定值，则该三角形内切圆半径与三角形周长之间为反比例关系，关系式如下：l＝或r＝.
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