2.1.2 函数概念的应用 (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.进一步了解函数的概念，能求简单函数的值及定义域．
2.能求一些简单的抽象函数值及定义域．
题型(一) 求函数值
[例1] 已知f(x)＝(x≠－1)，g(x)＝x2＋2.
(1)求f(2)和g(2)；
(2)求g(f(2))，f(g(x))；
(3)若＝4，求x.
听课记录：
|思|维|建|模|
(1)已知函数解析式求函数值，可分别将自变量的值代入解析式，即可求出相应的函数值．当自变量的值为包含字母的代数式时，将代数式作为一个整体代入求解．
(2)已知函数解析式，求对应函数值的自变量的值(或解析式中的参数值)，只需将函数值代入解析式，建立关于自变量(或参数)的方程即可求解，注意函数定义域对自变量取值的限制．
[针对训练]
1．若f(x)满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q，则f(36)＝( )
A.p＋q B．3p＋2q
C．2p＋2q D．p2＋q2
2．已知函数f(x)＝x＋，则f(2)＝________；当a≠－1时，f(a＋1)＝________.
题型(二) 求抽象(复合)函数的定义域
[例2] 若函数y＝f(x)的定义域是[1,2 023]，则函数g(x)＝的定义域是( )
A．[0,2 022] B．[－1,1)∪(1,2 022]
C．(1,2 024] D．[0,1)∪(1,2 022]
听课记录：
[变式拓展]
若本例条件变为“f(2x)的定义域是[1,2 023]”，则如何求解．
|思|维|建|模|
理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点
(1)函数f(x)的定义域是指x的取值所组成的集合；
(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围，而不是φ(x)的范围；
(3)f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三个函数中的t，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同；
(4)已知f(x)的定义域为A，求f(φ(x))的定义域，其实质是已知φ(x)的范围(值域)为A，求出x的取值范围；
(5)已知f(φ(x))的定义域为B，求f(x)的定义域，其实质是已知f(φ(x))中的x的取值范围为B，求出φ(x)的范围(值域)，此范围就是f(x)的定义域．
[针对训练]
3．若函数f(x)的定义域为[0,4]，则函数g(x)＝f(x＋2)的定义域为( )
A．[－2,2] B．[0,2]
C．[2,6] D．[2,4]
4．若函数f(3－2x)的定义域为[－1,2]，则函数f(x)的定义域为( )
A. B．[－1,2]
C．[－1,5] D.
题型(三) 求简单函数的值域
[例3] 求下列函数的值域：
(1)y＝x＋1；
(2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；
(3)y＝.
听课记录：
|思|维|建|模| 求函数值域的方法
观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到
配方法 此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法
分离常数法 此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域
[针对训练]
5．求下列函数的值域：
(1)y＝－1(x≥4)；
(2)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(3)y＝x2－2x－3(x∈[－1,2])．
函数概念的应用
[题型(一)]
[例1] 解：(1)f(2)＝＝，
g(2)＝22＋2＝6.
(2)g(f(2))＝g＝2＋2＝，
f(g(x))＝＝＝.
(3)＝x2＋3＝4，即x2＝1，
解得x＝±1.
[针对训练]
1．选C 因为36＝22×32，所以f(36)＝f(22×32)＝f(2×2)＋f(3×3)＝f(2)＋f(2)＋f(3)＋f(3)＝2f(2)＋2f(3)＝2p＋2q.
2．解析：由题意，得f(2)＝2＋＝.
当a≠－1时，a＋1≠0，所以f(a＋1)＝a＋1＋.
答案： a＋1＋
[题型(二)]
[例2] 选D 因为y＝f(x)的定义域是[1,2 023]，
则由g(x)＝可得
故g(x)的定义域为[0,1)∪(1,2 022]．故选D.
[变式拓展]
解：由题意，得x∈[1,2 023]，故2x∈[2,4 046]，所以x＋1∈[2,4 046]，解得x∈[1,4 045]．又x－1≠0，解得x≠1.
综上，g(x)＝的定义域为(1,4 045]．
[针对训练]
3．选A 因为函数f(x)的定义域为[0,4]，所以0≤x＋2≤4，解得－2≤x≤2.所以函数g(x)＝f(x＋2)的定义域为[－2,2]．
4．选C 因为函数f(3－2x)的定义域为[－1，2]，即x∈[－1,2]，所以2x∈[－2，4]．所以3－2x∈[－1,5]．所以函数f(x)的定义域为[－1,5]．
[题型(三)]
[例3] 解：(1)观察法 ∵x∈R，
∴x＋1∈R，即函数值域是R.
(2)配方法 y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．
(3)分离常数法 y＝＝＝3－.
∵≠0，∴y≠3.
∴y＝的值域为(－∞，3)∪(3，＋∞)．
[针对训练]
5．解：(1)因为x≥4，所以≥2.
所以－1≥1.
所以y∈[1，＋∞)．
(2)因为x∈{1,2,3,4,5}，y＝2x＋1，
所以y＝{3,5,7,9,11}．
(3)因为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，x∈[－1,2]，所以当x＝1时，ymin＝－4，
当x＝－1时，ymax＝0.
所以函数值域为[－4,0]．
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函数概念的应用
(教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学)
2.1.2
课时目标
1.进一步了解函数的概念,能求简单函数的值及定义域.
2.能求一些简单的抽象函数值及定义域.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 求函数值
题型(二) 求抽象(复合)函数的定义域
题型(三) 求简单函数的值域
4
课时跟踪检测
题型(一) 求函数值
01
[例1] 已知f(x)=(x≠-1),g(x)=x2+2.
(1)求f(2)和g(2);
解:f(2)==,g(2)=22+2=6.
(2)求g(f(2)),f(g(x));
解:g(f(2))=g=+2=,
f(g(x))===.
(3)若=4,求x.
解:=x2+3=4,即x2=1,解得x=±1.
|思|维|建|模|
(1)已知函数解析式求函数值,可分别将自变量的值代入解析式,即可求出相应的函数值.当自变量的值为包含字母的代数式时,将代数式作为一个整体代入求解.
(2)已知函数解析式,求对应函数值的自变量的值(或解析式中的参数值),只需将函数值代入解析式,建立关于自变量(或参数)的方程即可求解,注意函数定义域对自变量取值的限制.
1.若f(x)满足f(ab)=f(a)+f(b),且f(2)=p,f(3)=q,则f(36)= ( )
A.p+q B.3p+2q
C.2p+2q D.p2+q2
针对训练
√
解析:因为36=22×32,所以f(36)=f(22×32)=f(2×2)+f(3×3)=f(2)+f(2)+f(3)+
f(3)=2f(2)+2f(3)=2p+2q.
2.已知函数f(x)=x+,则f(2)= ;当a≠-1时,f(a+1)= .
解析:由题意,得f(2)=2+=.
当a≠-1时,a+1≠0,
所以f(a+1)=a+1+.
a+1+
题型(二) 求抽象(复合)函数的定义域
02
[例2] 若函数y=f(x)的定义域是[1,2 023],则函数g(x)=的定义域是( )
A.[0,2 022] B.[-1,1)∪(1,2 022]
C.(1,2 024] D.[0,1)∪(1,2 022]
√
解析:因为y=f(x)的定义域是[1,2 023],
则由g(x)=可得
故g(x)的定义域为[0,1)∪(1,2 022].故选D.
变式拓展
若本例条件变为“f(2x)的定义域是[1,2 023]”,则如何求解.
解:由题意,得x∈[1,2 023],故2x∈[2,4 046],
所以x+1∈[2,4 046],解得x∈[1,4 045].
又x-1≠0,解得x≠1.
综上,g(x)=的定义域为(1,4 045].
|思|维|建|模|
理解抽象函数或复合函数的定义域,要明确以下几点
(1)函数f(x)的定义域是指x的取值所组成的集合;
(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围,而不是φ(x)的范围;
(3)f(t),f(φ(x)),f(h(x))三个函数中的t,φ(x),h(x)在对应关系f下的范围相同;
(4)已知f(x)的定义域为A,求f(φ(x))的定义域,其实质是已知φ(x)的范围(值域)为A,求出x的取值范围;
(5)已知f(φ(x))的定义域为B,求f(x)的定义域,其实质是已知f(φ(x))中的x的取值范围为B,求出φ(x)的范围(值域),此范围就是f(x)的定义域.
针对训练
3.若函数f(x)的定义域为[0,4],则函数g(x)=f(x+2)的定义域为 ( )
A.[-2,2] B.[0,2]
C.[2,6] D.[2,4]
解析:因为函数f(x)的定义域为[0,4],所以0≤x+2≤4,解得-2≤x≤2.所以函数g(x)=f(x+2)的定义域为[-2,2].
√
4.若函数f(3-2x)的定义域为[-1,2],则函数f(x)的定义域为 ( )
A. B.[-1,2]
C.[-1,5] D.
解析:因为函数f(3-2x)的定义域为[-1,2],即x∈[-1,2],所以2x∈[-2,4].所以3-2x∈[-1,5].所以函数f(x)的定义域为[-1,5].
√
题型(三) 求简单函数的值域
03
[例3] 求下列函数的值域:
(1)y=x+1;
解:观察法
∵x∈R,∴x+1∈R,即函数值域是R.
(2)y=x2-2x+3,x∈[0,3);
解:配方法
y=x2-2x+3=(x-1)2+2,由x∈[0,3),再结合函数的图象(如图),
可得函数的值域为[2,6).
(3)y=.
解:分离常数法
y===3-.
∵≠0,∴y≠3.
∴y=的值域为(-∞,3)∪(3,+∞).
|思|维|建|模| 求函数值域的方法
观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到
配方法 此方法是求“二次函数类”值域的基本方法,即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法
分离常数法 此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域
针对训练
5.求下列函数的值域:
(1)y=-1(x≥4);
解:因为x≥4,所以≥2.所以-1≥1.
所以y∈[1,+∞).
(2)y=2x+1,x∈{1,2,3,4,5};
解:因为x∈{1,2,3,4,5},y=2x+1,
所以y={3,5,7,9,11}.
(3)y=x2-2x-3(x∈[-1,2]).
解:因为y=x2-2x-3=(x-1)2-4,x∈[-1,2],所以当x=1时,ymin=-4,
当x=-1时,ymax=0.所以函数值域为[-4,0].
课时跟踪检测
04
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2
√
A级——达标评价
1.已知函数f(x)=,则f=( )
A. B.
C.a D.3a
解析: f==3a.故选D.
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√
2.设函数f(x)=ax3+bx+1,f(1)=1,则f(-1)= ( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
解析:因为f(1)=a+b+1=1,所以a+b=0.所以f(-1)=-(a+b)+1=1.
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√
3.已知函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为 ( )
A.{-1,0,3} B.{0,1,2,3}
C.{y|-1≤y≤3} D.{y|0≤y≤3}
解析:由题意,知当x=0时,y=0;当x=1时,y=1-2=-1;当x=2时,y=4-2×2=0;当x=3时,y=9-2×3=3,所以函数y=x2-2x的值域为{-1,0,3}.
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2
√
4.已知函数f(x)=,则函数f(2-x)+f(x)的定义域为( )
A.[0,+∞) B.[-4,0)
C.[0,2] D.[0,4]
解析由f(x)= 4-x2≥0 -2≤x≤2,于是有
0≤x≤2,故选C.
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2
√
5.已知函数y=f(x)的定义域为[-8,1],则函数g(x)=的定义域是( )
A.(-∞,-2)∪(-2,3]
B.[-8,-2)∪(-2,1]
C.
D.∪(-2,0]
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2
解析:因为函数y=f(x)的定义域为[-8,1],对于函数g(x)=有解得-≤x<-2或-2所以函数g(x)的定义域为∪(-2,0].
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6.已知函数f(x)=x2+|x-2|,则f(1)= .
解析:因为f(x)=x2+|x-2|,所以f(1)=12+|1-2|=2.
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7.已知函数y=f(-2x+1)的定义域是[-1,2],则y=f(x)的定义域是 .
解析:由题意知-1≤x≤2,所以-3≤-2x+1≤3.所以y=f(x)的定义域为[-3,3].
[-3,3]
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8.函数f(x)=(x∈R)的值域是 .
解析:因为x2+1≥1,所以0<≤1,故函数f(x)=(x∈R)值域为(0,1].
(0,1]
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9.(10分)已知f(x)=3x2-1,g(x)=.
(1)求f(1),g(1)的值;
解:∵f(x)=3x2-1,∴f(1)=3×12-1=2.
∵g(x)=,∴g(1)==.
(2)求f(g(1)),g(f(1))的值;
解:由(1)知f(g(1))=f=3×-1=-,g(f(1))=g(2)==.
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(3)求f(x),g(x)的值域.
解:∵x2≥0,∴3x2-1≥-1,
∴f(x)的值域是[-1,+∞).
∵≠0,
∴g(x)的值域是(-∞,0)∪(0,+∞).
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10.(10分)已知函数y=f(2x-1)的定义域为(-1,2),求函数g(x)=的定义域.
答案:(-3,1)∪(2,3)
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解:∵y=f(2x-1)的定义域为(-1,2),
∴-1则解得-3(-3,1)∪(2,3).
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B级——重点培优
11.函数f(x)=的值域是( )
A.(-∞,-1) B.(1,+∞)
C.(-∞,1)∪(1,+∞) D.(-∞,+∞)
解析:∵f(x)==1-,又x+1≠0,即≠0,∴f(x)≠1.
√
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12.已知函数f(2x-1)的定义域为(0,1),则函数f(1-3x)的定义域是 ( )
A. B.
C.(-1,1) D.
解析:因为函数f(2x-1)的定义域为(0,1),即x∈(0,1),所以-1<2x-1<1.所以函数f(x)的定义域为(-1,1).由-1<1-3x<1,得01
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13.[x]表示不超过x的最大整数,例如[-1.1]=-2,[2.1]=2.则函数y=的值域为 .
解析:因为=1+,
又x2+1∈[1,+∞),所以y=1+∈(1,4],
故∈{1,2,3,4}.
{1,2,3,4}
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14.(10分)已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立.
(1)求f(0)和f(1)的值;
解:令x=y=0,则f(0)=2f(0),∴f(0)=0,
令x=y=1则f(1)=2f(1),∴f(1)=0.
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(2)若f(2)=a,f(3)=b(a,b均为常数),求f(36)的值.
解:令x=2,y=3,则f(6)=f(2)+f(3)=a+b,
令x=y=6,则f(36)=2f(6)=2(a+b),
∴f(36)=2a+2b.
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15.(12分)已知函数f(x)=x2-x+,是否存在实数m,使得函数的定义域和值域都是[1,m](m>1) 若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
解:存在.理由如下:
f(x)=x2-x+=(x-1)2+1的对称轴为x=1,顶点(1,1)且开口向上.
∵m>1,∴当x∈[1,m]时,y随x的增大而增大,
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∴要使f(x)的定义域和值域都是[1,m],
则有
∴m2-m+=m,即m2-4m+3=0,
∴m=3或m=1(舍去),∴存在实数m=3满足条件.课时跟踪检测(十八) 函数概念的应用
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．已知函数f(x)＝，则f＝( )
A. B.
C．a D．3a
2．设函数f(x)＝ax3＋bx＋1，f(1)＝1，则f(－1)＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
3．已知函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( )
A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3}
C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}
4．已知函数f(x)＝，则函数f(2－x)＋f(x)的定义域为( )
A．[0，＋∞) B．[－4,0)
C．[0,2] D．[0,4]
5．已知函数y＝f(x)的定义域为[－8,1]，则函数g(x)＝的定义域是( )
A．(－∞，－2)∪(－2,3]
B．[－8，－2)∪(－2,1]
C.
D.∪(－2,0]
6．已知函数f(x)＝x2＋|x－2|，则f(1)＝________.
7．已知函数y＝f(－2x＋1)的定义域是[－1,2]，则y＝f(x)的定义域是__________．
8．函数f(x)＝(x∈R)的值域是________．
9．(10分)已知f(x)＝3x2－1，g(x)＝.
(1)求f(1)，g(1)的值；
(2)求f(g(1))，g(f(1))的值；
(3)求f(x)，g(x)的值域．
10．(10分)已知函数y＝f(2x－1)的定义域为(－1,2)，求函数g(x)＝的定义域．
B级——重点培优
11．函数f(x)＝的值域是( )
A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
12．已知函数f(2x－1)的定义域为(0,1)，则函数f(1－3x)的定义域是( )
A. B.
C．(－1,1) D.
13．[x]表示不超过x的最大整数，例如[－1.1]＝－2，[2.1]＝2.则函数y＝的值域为________．
14．(10分)已知函数f(x)对任意实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)成立．
(1)求f(0)和f(1)的值；
(2)若f(2)＝a，f(3)＝b(a，b均为常数)，求f(36)的值．
15．(12分)已知函数f(x)＝x2－x＋，是否存在实数m，使得函数的定义域和值域都是[1，m](m>1)？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
课时跟踪检测(十八)
1．选D f＝＝3a.故选D.
2．选C 因为f(1)＝a＋b＋1＝1，所以a＋b＝0.所以f(－1)＝－(a＋b)＋1＝1.
3．选A 由题意，知当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝1－2＝－1；当x＝2时，y＝4－2×2＝0；当x＝3时，y＝9－2×3＝3，所以函数y＝x2－2x的值域为{－1,0,3}．
4．选C 由f(x)＝ 4－x2≥0 －2≤x≤2，于是有 0≤x≤2，故选C.
5．选D 因为函数y＝f(x)的定义域为[－8，1]，对于函数g(x)＝有解得－≤x<－2或－26．解析：因为f(x)＝x2＋|x－2|，所以f(1)＝12＋|1－2|＝2.
答案：2
7．解析：由题意知－1≤x≤2，所以－3≤－2x＋1≤3.所以y＝f(x)的定义域为[－3,3]．
答案：[－3,3]
8．解析：因为x2＋1≥1，所以0<≤1，故函数f(x)＝(x∈R)值域为(0,1]．
答案：(0,1]
9．解：(1)∵f(x)＝3x2－1，∴f(1)＝3×12－1＝2.
∵g(x)＝，∴g(1)＝＝.
(2)由(1)知f(g(1))＝f＝3×2－1＝－，g(f(1))＝g(2)＝＝.
(3)∵x2≥0，∴3x2－1≥－1，
∴f(x)的值域是[－1，＋∞)．
∵≠0，∴g(x)的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
10．解：∵y＝f(2x－1)的定义域为(－1,2)，
∴－1答案：(－3,1)∪(2,3)
11．选C ∵f(x)＝＝1－，又x＋1≠0，即≠0，∴f(x)≠1.
12．选D 因为函数f(2x－1)的定义域为(0,1)，即x∈(0,1)，所以－1<2x－1<1.所以函数f(x)的定义域为(－1,1)．由－1<1－3x<1，得013．解析：因为＝1＋，
又x2＋1∈[1，＋∞)，所以y＝1＋∈(1,4]，故∈{1,2,3,4}．
答案：{1,2,3,4}
14．解：(1)令x＝y＝0，则f(0)＝2f(0)，
∴f(0)＝0，
令x＝y＝1则f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.
(2)令x＝2，y＝3，则f(6)＝f(2)＋f(3)＝a＋b，
令x＝y＝6，则f(36)＝2f(6)＝2(a＋b)，
∴f(36)＝2a＋2b.
15．解：存在．理由如下：
f(x)＝x2－x＋＝(x－1)2＋1的对称轴为x＝1，顶点(1,1)且开口向上．
∵m>1，∴当x∈[1，m]时，y随x的增大而增大，∴要使f(x)的定义域和值域都是[1，m]，则有
∴m2－m＋＝m，即m2－4m＋3＝0，
∴m＝3或m＝1(舍去)，∴存在实数m＝3满足条件．
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