2．2 函数的表示法 (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．
三种常用的函数表示方法
|微|点|助|解|
对三种表示法的说明
解析法 利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域
列表法 采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性
图象法 图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点
基础落实训练
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)所有函数都能用三种表示法表示．( )
(2)能用列表法表示的函数一定能用图象法表示．( )
(3)若函数f(x)是反比例函数，则f(1)＝1.( )
(4)函数能用图象法表示的前提是函数的变化规律清晰．( )
2．已知函数y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为( )
A．y＝ B．y＝－ C．y＝ D．y＝－
3．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)＝________.
x 1≤x<2 2 2
f(x) 1 2 3
题型(一) 函数的表示方法
[例1] 中秋节到了，小明想买几块月饼，已知每块月饼的单价是6元，买x(x∈{1,2,3,4,5,6})块月饼需要y元，你能用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)吗？
听课记录：
|思|维|建|模|
应用函数的三种表示方法应注意以下三点
(1)解析法必须注明函数的定义域．
(2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系．
(3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．
[针对训练]
1．已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间适合关系式t＝ax＋，当x＝2时，t＝4；当x＝4时，t＝5，且参加此项任务的人数不能超过5人．
(1)写出函数t的解析式；
(2)用列表法表示函数；
(3)画出函数t的图象．
题型(二) 函数的图象
[例2] 作出下列函数的图象：
(1)y＝，x∈[2，＋∞)；
(2)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]；
(3)f(x)＝|x－1|＋|x＋1|.
听课记录：
|思|维|建|模|
作函数y＝f(x)图象的方法
(1)若y＝f(x)是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．
(2)若y＝f(x)不是所学过的函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y＝f(x)的图象．
[针对训练]
2.已知函数f(x)的图象如图所示，则此函数的定义域是________，值域是________
．
3．画出下列函数的图象：
(1)y＝x＋1(x≤0)；
(2)y＝x2－2x(x>1或x<－1)．
题型(三) 求函数的解析式
[例3] 求下列函数的解析式：
(1)(换元法或配凑法)已知f(＋1)＝x－2，求f(x)；
(2)(待定系数法)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x)；
(3)(解方程组法)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，求f(x)．
听课记录：
|思|维|建|模| 求函数解析式的4种常用方法
换元法 已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围
配凑法 由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，得到f(x)的表达式
待定系数法 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法
方程组法 已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)
[针对训练]
4．根据下列条件，求f(x)的解析式．
(1)已知f(x)满足f(x＋1)＝x2＋4x＋1；
(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；
(3)已知f(x)满足2f＋f(x)＝x(x≠0)．
题型(四) 分段函数求值问题
[例4] 已知函数f(x)＝
(1)求f(－5)，f(1)，f；
(2)若f(a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围．
听课记录：
[变式拓展]
1．本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值．
2．本例条件不变，若f(x)>2x，求x的取值范围．
|思|维|建|模| 分段函数求值问题的解题思路
求函数值 当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值
求自变量的值 先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验
[针对训练]
5．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
6．函数f(x)＝则f(7)＝________.
函数的表示法
?课前预知教材
解析式 表格 图象
[基础落实训练] 1.(1)× (2)√ (3)×
(4)√ 2.C 3.3
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解：因为函数的定义域是数集{1,2,3,4,5,6}，所以用解析法可将函数表示为f(x)＝6x，x∈{1,2,3,4,5,6}．
用列表法可将函数表示为
月饼数x 1 2 3 4 5 6
钱数y 6 12 18 24 30 36
用图象法可将函数表示为
[针对训练]
1．解：(1)由题设条件可知，当x＝2时，t＝4，当x＝4时，t＝5，
列出方程组解得
所以t＝x＋.又因为x≤5，x为正整数，
所以函数的定义域为{x∈N＋|0故函数解析式为t＝x＋，x∈{x∈N＋|0(2)x＝1,2,3,4,5，共取5个值，列表如下：
x 1 2 3 4 5
t 5 4 5
(3)函数t的图象是由5个点组成的一个点列，如图所示．
[题型(二)]
[例2] 解：(1)当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分．如图①所示．
(2)当－2≤x≤2时，图象是抛物线y＝x2＋2x的一部分．如图②所示．
(3)因为函数f(x)＝图象是分段函数．如图③所示．
[针对训练]
2．解析：结合题图，知函数f(x)的定义域为[－3,3]，值域为[－2，2]．
答案：[－3,3] [－2,2]
3．解：(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图①所示．
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余的曲线．如图②实线部分所示．
[题型(三)]
[例3] 解：(1)法一：换元法 令t＝＋1，则t≥1，x＝(t－1)2.代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
法二：配凑法 由已知得f(＋1)＝x＋2＋1－4－4＋3＝(＋1)2－4(＋1)＋3.
因为＋1≥1，
所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
因为f(f(x))＝4x＋8，
所以a2x＋ab＋b＝4x＋8，
即解得或
所以f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8.
(3)由题意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代替x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x.
联立
解得f(x)＝x－1.
[针对训练]
4．解：(1)令t＝x＋1，则x＝t－1.
故f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1
＝t2＋2t－2.
所以f(x)＝x2＋2x－2.
(2)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
因为3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，
所以3k(x＋1)＋3b－kx－b＝2x＋9.
即2kx＋3k＋2b＝2x＋9.
所以解得
所以f(x)＝x＋3.
(3)因为2f＋f(x)＝x(x≠0) ①，
所以2f(x)＋f＝ ②.
2×②－①，得3f(x)＝－x，
所以f(x)＝－(x≠0)．
[题型(四)]
[例4] 解：(1)由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2，2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(1)＝3×1＋5＝8，f＝f＝f＝3×＋5＝.
(2)因为a2＋2≥2，
所以f(a2＋2)＝2(a2＋2)－1＝2a2＋3，
所以不等式f(a2＋2)≥a＋4化为2a2－a－1≥0，解得a≥1或a≤－，
即实数a的取值范围是∪[1，＋∞)．
[变式拓展]
1．解：当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3，
即a＝2>－2，不符合题意，舍去；
当－2即a＝－∈(－2,2)，符合题意；
当a≥2时，f(a)＝2a－1＝3，
即a＝2∈[2，＋∞)，符合题意．
综上可得，当f(a)＝3时，实数a的值为－或2.
2．解：当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x，即x<1，所以x≤－2；
当－22x可化为3x＋5>2x，即x>－5，所以－2当x≥2时，f(x)>2x可化为2x－1>2x，
则x∈ .综上可得，x的取值范围是(－∞，2)．
[针对训练]
5．选A 由题易知f(1)＝2×1＝2，据此结合题意分类讨论：
当a>0时，f(a)＝2a，
由f(a)＋f(1)＝0，得2a＋2＝0，解得a＝－1，舍去；
当a≤0时，f(a)＝a＋1，
由f(a)＋f(1)＝0，得a＋1＋2＝0，解得a＝－3，满足题意．
6．解析：∵函数f(x)
＝
∴f(7)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(14))＝f(11)＝8.
答案：8
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2.2
函数的表示法
(教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学)
课时目标
1.掌握函数的三种表示法:解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点.
2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
三种常用的函数表示方法
|微|点|助|解|
对三种表示法的说明
解析法 利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确,且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域
列表法 采用列表法的前提是函数值对应清楚,选取的自变量要有代表性
图象法 图象既可以是连续的曲线,也可以是离散的点
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)所有函数都能用三种表示法表示. ( )
(2)能用列表法表示的函数一定能用图象法表示. ( )
(3)若函数f(x)是反比例函数,则f(1)=1. ( )
(4)函数能用图象法表示的前提是函数的变化规律清晰. ( )
×
√
×
√
2.已知函数y与x成反比,且当x=2时,y=1,则y关于x的函数关系式为 ( )
A.y= B.y=-
C.y= D.y=-
解析:设y=,由题意知1=,即k=2.∴y=.
√
3.已知函数f(x)由下表给出,则f(3)= .
解析:∵当2x 1≤x<2 2 2f(x) 1 2 3
3
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 函数的表示方法
[例1] 中秋节到了,小明想买几块月饼,已知每块月饼的单价是6元,买x(x∈{1,2,3,4,5,6})块月饼需要y元,你能用函数的三种表示法表示函数y=f(x)吗
解:因为函数的定义域是数集{1,2,3,4,5,6},所以用解析法可将函数表示为f(x)=6x,x∈{1,2,3,4,5,6}.
用列表法可将函数表示为
用图象法可将函数表示为
月饼数x 1 2 3 4 5 6
钱数y 6 12 18 24 30 36
|思|维|建|模|
应用函数的三种表示方法应注意以下三点
(1)解析法必须注明函数的定义域.
(2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系.
(3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”.
针对训练
1.已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间适合关系式t=ax+,当x=2时,t=4;当x=4时,t=5,且参加此项任务的人数不能超过5人.
(1)写出函数t的解析式;
解: 由题设条件可知,当x=2时,t=4,当x=4时,t=5,列出方程组
解得
所以t=x+.又因为x≤5,x为正整数,
所以函数的定义域为{x∈N+|0故函数解析式为t=x+,x∈{x∈N+|0(2)用列表法表示函数;
解:x=1,2,3,4,5,共取5个值,列表如下:
x 1 2 3 4 5
t 5 4 5
(3)画出函数t的图象.
解:函数t的图象是由5个点组成的一个点列,如图所示.
题型(二) 函数的图象
[例2] 作出下列函数的图象:
(1)y=,x∈[2,+∞);
解:当x∈[2,+∞)时,图象是反比例函数y=的一部分.如图①所示.
(2)y=x2+2x,x∈[-2,2];
解:当-2≤x≤2时,图象是抛物线y=x2+2x的一部分.如图②所示.
(3)f(x)=|x-1|+|x+1|.
解:因为函数f(x)=图象是分段函数.如图③所示.
|思|维|建|模|
作函数y=f(x)图象的方法
(1)若y=f(x)是已学过的函数,则描出图象上的几个关键点,直接画出图象即可,有些可能需要根据定义域进行取舍.
(2)若y=f(x)不是所学过的函数之一,则要按:①列表;②描点;③连线三个基本步骤作出y=f(x)的图象.
针对训练
2.已知函数f(x)的图象如图所示,则此函数的定义域是 ,值域是 .
解析:结合题图,知函数f(x)的定义域为[-3,3],值域为[-2,2].
[-3,3]
[-2,2]
3.画出下列函数的图象:
(1)y=x+1(x≤0);
解:y=x+1(x≤0)表示一条射线,图象如图①所示.
(2)y=x2-2x(x>1或x<-1).
解:y=x2-2x=(x-1)2-1(x>1或x<-1)是抛物线y=x2-2x去掉-1≤x≤1之间的部分后剩余的曲线.如图②实线部分所示.
题型(三) 求函数的解析式
[例3] 求下列函数的解析式:
(1)(换元法或配凑法)已知f(+1)=x-2,求f(x);
解:法一:换元法 令t=+1,则t≥1,x=(t-1)2.代入原式有f(t)=(t-1)2-2(t-1)=
t2-4t+3,所以f(x)=x2-4x+3(x≥1).
法二:配凑法 由已知得f(+1)=x+2+1-4-4+3=(+1)2-4(+1)+3.
因为+1≥1,所以f(x)=x2-4x+3(x≥1).
(2)(待定系数法)已知函数f(x)是一次函数,若f(f(x))=4x+8,求f(x);
解:设f(x)=ax+b(a≠0),则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b.
因为f(f(x))=4x+8,所以a2x+ab+b=4x+8,
即解得或
所以f(x)=2x+或f(x)=-2x-8.
(3)(方程组法)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)-2f(-x)=1+2x,求f(x).
解:由题意,在f(x)-2f(-x)=1+2x中,以-x代替x可得f(-x)-2f(x)=1-2x.
联立解得f(x)=x-1.
|思|维|建|模| 求函数解析式的4种常用方法
换元法 已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围
配凑法 由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),得到f(x)的表达式
待定系数法 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法
方程组法
针对训练
4.根据下列条件,求f(x)的解析式.
(1)已知f(x)满足f(x+1)=x2+4x+1;
解:令t=x+1,则x=t-1.故f(t)=(t-1)2+4(t-1)+1=t2+2t-2.
所以f(x)=x2+2x-2.
(2)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9;
解:设f(x)=kx+b(k≠0),
因为3f(x+1)-f(x)=2x+9,
所以3k(x+1)+3b-kx-b=2x+9.
即2kx+3k+2b=2x+9.
所以解得所以f(x)=x+3.
(3)已知f(x)满足2f+f(x)=x(x≠0).
解:因为2f+f(x)=x(x≠0) ①,
所以2f(x)+f= ②.
2×②-①,得3f(x)=-x,
所以f(x)=-(x≠0).
[例4] 已知函数f(x)=
(1)求f(-5),f(1),f;
解:由-5∈(-∞,-2],1∈(-2,2),-∈(-∞,-2],知f(-5)=-5+1=-4,
f(1)=3×1+5=8,f=f=f=3×+5=.
题型(四) 分段函数求值问题
(2)若f(a2+2)≥a+4,求实数a的取值范围.
解:因为a2+2≥2,
所以f(a2+2)=2(a2+2)-1=2a2+3,
所以不等式f(a2+2)≥a+4化为2a2-a-1≥0,
解得a≥1或a≤-,
即实数a的取值范围是∪[1,+∞).
1.本例条件不变,若f(a)=3,求实数a的值.
解:当a≤-2时,f(a)=a+1=3,
即a=2>-2,不符合题意,舍去;
当-2即a=-∈(-2,2),符合题意;
变式拓展
当a≥2时,f(a)=2a-1=3,
即a=2∈[2,+∞),符合题意.
综上可得,当f(a)=3时,实数a的值为-或2.
2.本例条件不变,若f(x)>2x,求x的取值范围.
解:当x≤-2时,f(x)>2x可化为x+1>2x,
即x<1,所以x≤-2;
当-22x可化为3x+5>2x,
即x>-5,所以-2当x≥2时,f(x)>2x可化为2x-1>2x,
则x∈ .综上可得,x的取值范围是(-∞,2).
|思|维|建|模| 分段函数求值问题的解题思路
求函数值 当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值
求自变量的值 先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验
5.已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于( )
A.-3 B.-1
C.1 D.3
针对训练
√
解析:由题易知f(1)=2×1=2,据此结合题意分类讨论:当a>0时,f(a)=2a,由f(a)+f(1)=0,得2a+2=0,解得a=-1,舍去;当a≤0时,f(a)=a+1,由f(a)+f(1)=0,得a+1+2=0,解得a=-3,满足题意.
6.函数f(x)=则f(7)= .
解析:∵函数f(x)=
∴f(7)=f(f(12))=f(9)=f(f(14))=f(11)=8.
8
课时跟踪检测
1
3
4
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6
7
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2
A级——达标评价
1.已知购买某种饮料x听,所需钱数为y元.若每听2元,用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为( )
A.y=2x
B.y=2x(x∈R)
C.y=2x(x∈{1,2,3,…})
D.y=2x(x∈{1,2,3,4})
√
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2.已知函数y=f(x)的对应关系如下表所示,函数y=g(x)的图象是如图所示的曲线ABC,则f(g(2))的值为 ( )
x 1 2 3
f(x) 2 3 0
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A.3 B.0
C.1 D.2
解析:由题图可知g(2)=1,由题表可知f(1)=2,故f(g(2))=2.
√
1
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3.函数f(x)=的图象是( )
√
解析:函数f(x)==故选C.
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2
4.已知f(-1)=-x,则函数f(x)的表达式为( )
A.f(x)=x2+2x+1(x≥0) B.f(x)=x2+2x+1(x≥-1)
C.f(x)=-x2-2x-1(x≥0) D.f(x)=-x2-2x-1(x≥-1)
解析:令t=-1(t≥-1),则x=(t+1)2.所以f(t)=-(t+1)2=-t2-2t-1(t≥-1).所以f(x)=-x2-2x-1(x≥-1).故选D.
√
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5.(多选)已知函数f(x)的图象由如图所示的两条曲线组成,则 ( )
A.f(f(-3))=1
B.f(-1)=3.5
C.函数的定义域是(-∞,0]∪[2,3]
D.函数的值域是[1,5]
√
√
1
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解析:选项A,由图象可得f(-3)=2,所以f(f(-3))=f(2)=1,A正确;选项B,图象法只能近似地求出函数值,且有时误差较大,故由图象不能得出f(-1)的确定值,B错误;选项C,由图象可得函数的定义域为[-3,0]∪[2,3],C错误;选项D,由图象可得函数的值域为[1,5],D正确.
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6.已知函数y=f(x)的图象如图所示.
1
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2
则(1)f(-2)= ;
解析:由题图,知f(x)过点(-2,3),故可得f(-2)=3.
(2)若f(x)=0,则x= .
解析:由题图可知,f(x)过点(-3,0),故可得x=-3.
3
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7.已知函数f(x)=若f=-6,则f(4)= .
解析:由题意,得f=3.所以f=f(3)=9+3a=-6,解得a=-5.故f(4)=42-5×4=-4.
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8.已知f=,那么f(x)的解析式为 .
解析:由f=可知,函数f(x)的定义域为{x|x≠-1且x≠0}.令t=,则x=(t≠-1且t≠0),所以f(t)==.故f(x)=(x≠-1且x≠0).
f(x)=(x≠-1且x≠0)
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9.(8分)已知f(x)=
(1)画出f(x)的图象;
解:利用描点法,可得
x -2 -1 0 1 2
y 1 1 0 1 1
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作出函数f(x)的图象,如图所示:
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(2)求f(x)的值域.
解:根据题意可知,函数f(x)的定义域为R,
由图象知,当-1≤x≤1时,f(x)=x2的值域为[0,1],
当x>1或x<-1时,f(x)=1,
所以f(x)的值域为[0,1].
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10.(10分)(1)已知f(x)是一次函数,且满足2f(x+3)-f(x-2)=2x+21,求f(x)的解析式;
解:设f(x)=ax+b(a≠0),则
2f(x+3)-f(x-2)=2[a(x+3)+b]-[a(x-2)+b]=2ax+6a+2b-ax+2a-b=ax+8a+b=2x+21.
所以a=2,b=5.所以f(x)=2x+5.
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(2)已知f(x)为二次函数,且满足f(0)=1,f(x-1)-f(x)=4x,求f(x)的解析式.
解:由题意设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由f(0)=1,得c=1.
因为f(x-1)-f(x)=4x,所以a(x-1)2+b(x-1)+c-(ax2+bx+c)=4x,
整理得-2ax+a-b=4x,
即a=-2,b=-2.所以f(x)=-2x2-2x+1.
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B级——重点培优
11.(多选)若函数f(1-2x)=(x≠0),则( )
A.f=15 B.f(2)=-
C.f(x)=-1(x≠0) D.f=-1(x≠0且x≠1)
√
√
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解析:令1-2x=t(t≠1),则x=.所以f(t)==-1.则f(x)=-1(x≠1),故C错误;f=15,故A正确;f(2)=3,故B错误;f=-1=-1(x≠0且x≠1),故D正确.
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12.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+1,若f(8)=7,则f(2)= ( )
A.7 B.3
C.2 D.1
解析:因为f(x+y)=f(x)+f(y)+1,且f(8)=7,所以令x=y=4,可得f(8)=2f(4)+1=7,解得f(4)=3.再令x=y=2,可得f(4)=2f(2)+1=3,解得f(2)=1.
√
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13.(多选)已知函数f(x)=关于函数f(x)的结论正确的是( )
A.f(x)的定义域为R
B.f(x)的值域为(-∞,4)
C.若f(x)=3,则x的值是
D.f(x)<1的解集为(-1,1)
√
√
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2
解析:由题意知函数f(x)的定义域为(-∞,2),故A错误;
当x≤-1时,f(x)的取值范围是(-∞,1],
当-1因此f(x)的值域为(-∞,4),故B正确;
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2
当x≤-1时,x+2=3,解得x=1(舍去),
当-1当x≤-1时,x+2<1,解得x<-1,当-11
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2
14.(12分)画出下列函数的大致图象:
(1)y=;
解:因为y==2-,所以可先作出函数y=-的大致图象,
把所得图象向左平移1个单位长度,得到y=-的图象,再
把所得图象向上平移2个单位长度,就得到了函数y=
的图象,如图①所示.
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(2)y=|x2-1|.
解:先作出函数y=x2-1的大致图象,保留它在x轴上及其上方的部分,再把它在x轴下方的部分翻折到x轴上方,所得到的图象就是函数y=|x2-1|的图象,如图②所示.
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15.(12分)设集合A=,B=,函数f(x)=若x0∈A,且f(f(x0))∈A,求x0的取值范围.
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解:因为x0∈A,所以0≤x0<,且f(x0)=x0+,又≤x0+<1,所以x0+∈B,
所以f(f(x0))=2=2,
又f(f(x0))∈A,所以0≤2<,解得故x0的取值范围为.课时跟踪检测(十九) 函数的表示法
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．已知购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为( )
A．y＝2x
B．y＝2x(x∈R)
C．y＝2x(x∈{1,2,3，…})
D．y＝2x(x∈{1,2,3,4})
2.已知函数y＝f(x)的对应关系如下表所示，函数y＝g(x)的图象是如图所示的曲线ABC，则f(g(2))的值为( )
x 1 2 3
f(x) 2 3 0
A．3 B．0
C．1 D．2
3．函数f(x)＝的图象是( )
4．已知f(－1)＝－x，则函数f(x)的表达式为( )
A．f(x)＝x2＋2x＋1(x≥0)
B．f(x)＝x2＋2x＋1(x≥－1)
C．f(x)＝－x2－2x－1(x≥0)
D．f(x)＝－x2－2x－1(x≥－1)
5．(多选)已知函数f(x)的图象由如图所示的两条曲线组成，则( )
A．f(f(－3))＝1
B．f(－1)＝3.5
C．函数的定义域是(－∞，0]∪[2,3]
D．函数的值域是[1,5]
6．已知函数y＝f(x)的图象如图所示．
则(1)f(－2)＝________；(2)若f(x)＝0，则x＝________.
7．已知函数f(x)＝若f＝－6，则f(4)＝________.
8．已知f＝，那么f(x)的解析式为________．
9．(8分)已知f(x)＝
(1)画出f(x)的图象；
(2)求f(x)的值域．
10．(10分)(1)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x)的解析式；
(2)已知f(x)为二次函数，且满足f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的解析式．
B级——重点培优
11．(多选)若函数f(1－2x)＝(x≠0)，则( )
A．f＝15
B．f(2)＝－
C．f(x)＝－1(x≠0)
D．f＝－1(x≠0且x≠1)
12．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，若f(8)＝7，则f(2)＝( )
A．7 B．3
C．2 D．1
13．(多选)已知函数f(x)＝关于函数f(x)的结论正确的是( )
A．f(x)的定义域为R
B．f(x)的值域为(－∞，4)
C．若f(x)＝3，则x的值是
D．f(x)<1的解集为(－1,1)
14．(12分)画出下列函数的大致图象：
(1)y＝；
(2)y＝|x2－1|.
15．(12分)设集合A＝，B＝，函数f(x)＝若x0∈A，且f(f(x0))∈A，求x0的取值范围．
课时跟踪检测(十九)
1．D
2．选D 由题图可知g(2)＝1，由题表可知f(1)＝2，故f(g(2))＝2.
3．选C 函数f(x)＝＝故选C.
4．选D 令t＝－1(t≥－1)，则x＝(t＋1)2.所以f(t)＝－(t＋1)2＝－t2－2t－1(t≥－1)．所以f(x)＝－x2－2x－1(x≥－1)．故选D.
5．选AD 选项A，由图象可得f(－3)＝2，所以f(f(－3))＝f(2)＝1，A正确；选项B，图象法只能近似地求出函数值，且有时误差较大，故由图象不能得出f(－1)的确定值，B错误；选项C，由图象可得函数的定义域为[－3,0]∪[2,3]，C错误；选项D，由图象可得函数的值域为[1,5]，D正确．
6．解析：(1)由题图，知f(x)过点(－2，3)，故可得f(－2)＝3.
(2)由题图可知，f(x)过点(－3,0)，故可得x＝－3.
答案：(1)3 (2)－3
7．解析：由题意，得f＝3.所以f＝f(3)＝9＋3a＝－6，解得a＝－5.故f(4)＝42－5×4＝－4.
答案：－4
8．解析：由f＝可知，函数f(x)的定义域为{x|x≠－1且x≠0}．令t＝，则x＝(t≠－1且t≠0)，所以f(t)＝＝.故f(x)＝(x≠－1且x≠0)．
答案：f(x)＝(x≠－1且x≠0)
9．解：(1)利用描点法，可得
x －2 －1 0 1 2
y 1 1 0 1 1
作出函数f(x)的图象，如图所示：
(2)根据题意可知，函数f(x)的定义域为R，由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1，
所以f(x)的值域为[0,1]．
10．解：(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则
2f(x＋3)－f(x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b]＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b＝ax＋8a＋b＝2x＋21.
所以a＝2，b＝5.所以f(x)＝2x＋5.
(2)由题意设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由f(0)＝1，得c＝1.
因为f(x－1)－f(x)＝4x，
所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x，整理得－2ax＋a－b＝4x，
即a＝－2，b＝－2.所以f(x)＝－2x2－2x＋1.
11．选AD 令1－2x＝t(t≠1)，则x＝.所以f(t)＝＝－1.则f(x)＝－1(x≠1)，故C错误；f＝15，故A正确；f(2)＝3，故B错误；f＝－1＝－1(x≠0且x≠1)，故D正确．
12．选D 因为f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，且f(8)＝7，所以令x＝y＝4，可得f(8)＝2f(4)＋1＝7，解得f(4)＝3.再令x＝y＝2，可得f(4)＝2f(2)＋1＝3，解得f(2)＝1.
13．选BC 由题意知函数f(x)的定义域为(－∞，2)，故A错误；
当x≤－1时，f(x)的取值范围是(－∞，1]，
当－1因此f(x)的值域为(－∞，4)，故B正确；
当x≤－1时，x＋2＝3，解得x＝1(舍去)，
当－1当x≤－1时，x＋2<1，解得x<－1，
当－114．解：(1)因为y＝＝2－，所以可先作出函数y＝－的大致图象，把所得图象向左平移1个单位长度，得到y＝－的图象，再把所得图象向上平移2个单位长度，就得到了函数y＝的图象，如图①所示．
(2)先作出函数y＝x2－1的大致图象，保留它在x轴上及其上方的部分，再把它在x轴下方的部分翻折到x轴上方，所得到的图象就是函数y＝|x2－1|的图象，如图②所示．
15．解：因为x0∈A，所以0≤x0<，
且f(x0)＝x0＋，又≤x0＋<1，
所以x0＋∈B，所以f(f(x0))＝2＝2，
又f(f(x0))∈A，所以0≤2<，解得＜x0≤，又0≤x0＜，所以故x0的取值范围为.
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