3.1 函数的单调性及其应用 (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性．理解单调区间、单调性等概念，会用定义证明函数的单调性．
2．理解函数单调性的作用与实际意义，会求函数的单调区间，并判断单调性．
3．能应用函数的单调性解决一些简单问题．
1．函数的单调性
设函数y＝f(x)的定义域是D，I是定义域D上的一个区间：
(1)如果对于任意的x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有______________．
(3)如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，单调递增区间和单调递减区间统称为__________．
(4)如果对于定义域D上任意的x1，x2，当x1
f(x2)，那么称函数y＝f(x)是________．
2．函数单调性的运算性质
若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质．
(1)f(x)与f(x)＋C(C为常数)具有相同的单调性．
(2)若a为常数，则当a＞0时，f(x)与af(x)具有相同的单调性；当a＜0时，f(x)与af(x)具有相反的单调性．
|微|点|助|解|
(1)注意区分“单调递增(减)”与“增(减)函数”
增(减)函数是指函数在整个定义域内呈现出递增(递减)的现象，即函数的任何自变量增加时，函数值也随之增加(减少)；
而单调递增(减)函数则是指函数在某个区间内是单调递增(减)的，这个区间可以是开区间也可以是闭区间，但不一定是整个定义域；
单调递增(减)函数强调的是函数的局部性质，即在某个区间内函数值随自变量的增加而增加(减少)，而增(减)函数强调的是函数的整体性质，即在整个定义域内函数值随自变量的增加而增加(减少)．
(2)增、减函数与自变量、函数值的互推关系
①若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0或>0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)同号，即x2>x1时，f(x2)>f(x1)，所以f(x)在D上是增函数；
②若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0或<0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，即x2>x1时，f(x2)基础落实训练
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝x2在R上是增函数．( )
(2)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( )
(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意的x1，x2”改为“存在x1，x2”．( )
(4)若函数f(x)在[2，＋∞)上单调递增，则f(x)在[3,4]上也单调递增．( )
2.已知函数y＝f(x)的图象如图所示，其单调递增区间是( )
A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1] D．[－3,4]
3．(多选)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．y＝－ B．y＝x
C．y＝－|x| D．y＝1－x
4．若函数f(x)在[－2,2]上是增函数，则f(－1)________f(2)．(填“>”“＝”或“<”)
题型(一) 定义法判断或证明函数的单调性
[例1] 证明函数f(x)＝在区间(2，＋∞)上单调递减．
听课记录：
|思|维|建|模|
利用定义判断或证明函数单调性的步骤
[针对训练]
1．试用函数单调性的定义证明f(x)＝在(1，＋∞)上单调递减．
题型(二) 图象法求函数的单调区间
[例2] 画出函数f(x)＝的图象，并指出函数f(x)的单调区间．
听课记录：
|思|维|建|模| 图象法求函数单调区间的步骤
作图 作出函数的图象
结论 上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间
[针对训练]
2．画出函数y＝|x|(x－2)的图象，并指出函数的单调区间．
题型(三) 函数单调性的简单应用
题点1 利用函数单调性求参数范围
[例3] 若函数f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为( )
A. B.
C. D.∪
听课记录：
[例4] 若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是________．
听课记录：
[变式拓展]
在例4中，若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________．
|思|维|建|模|
由函数单调性求参数范围的处理方法
(1)由函数解析式求参数
①若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件．
②若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性
③若为分段函数——数形结合，每一段的函数的单调性均要考虑，并注意临界值的大小．探求参数满足的条件．
(2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符合“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域．
题点2 利用函数单调性解不等式
[例5] 已知f(x)是定义在区间[－2,2]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，求x的取值范围．
听课记录：
|思|维|建|模|
在求解与抽象函数有关的不等式时，往往利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
[针对训练]
3．若函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是增函数，则f(m)与f(1)的大小关系是( )
A．f(m)f(1)
C．f(m)≤f(1) D．f(m)≥f(1)
4．已知函数f(x)＝是R上的增函数，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，0)
C．(－3，－2] D．[－3，－2]
5．若f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)函数的单调性及其应用
?课前预知教材
1．(1)f(x1)＜f(x2) 单调递增区间
(2)f(x1)>f(x2) 单调递减区间
(3)单调区间 (4)增函数 减函数
[基础落实训练] 1.(1)× (2)× (3)×
(4)√ 2.C 3.CD 4.<
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 证明：设 x1，x2∈(2，＋∞)，
且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝＝.
因为2所以x2－x1>0，x>4，x>4.
所以f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)．
所以函数f(x)＝在(2，＋∞)上单调递减．
[针对训练]
1．证明：易得f(x)＝2＋，设x1>x2>1，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为x1>x2>1，所以x2－x1<0，x1－1>0，x2－1>0.所以f(x1)所以f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
[题型(二)]
[例2] 解：画出函数f(x)＝的图象如图所示．
由图可知，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2]，
单调递增区间为[2，＋∞)．
[针对训练]
2．解：由题意，得y＝|x|(x－2)＝
函数的图象如图实线部分所示．
由函数的图象知，函数的单调递增区间为(－∞，0)和[1，＋∞)，单调递减区间为[0,1)．
[题型(三)]
[例3] 选A 因为f(x)是定义在R上的减函数，
所以
解得≤a＜.
[例4] 解析：f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.
因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]，
因为f(x)在(－∞，3]上单调递增，
所以3≤－a－1，解得a≤－4，即实数a的取值范围为(－∞，－4]．
答案：(－∞，－4]
[变式拓展]
解析：f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.因此的函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]，由题意得－a－1＝3，所以a＝－4.
答案：－4
[例5] 解：由题意，得
解得0≤x≤3， ①
∵f(x)是[－2,2]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)．
所以x－2＜1－x，解得x＜， ②
由①②得0≤x＜.
所以满足题意的不等式解集为.
[针对训练]
3．选B 由题意，得m－1>0，即m>1.因为f(x)在R上是增函数，所以f(m)>f(1)．
4．选D 因为函数f(x)＝是R上的增函数，
所以解得－3≤a≤－2，即a的取值范围是[－3，－2]．
5．解析：依题意，得不等式组
解得答案：
1 / 5(共57张PPT)
函数的单调性及其应用
(教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学)
3.1
课时目标
1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性.理解单调区间、单调性等概念,会用定义证明函数的单调性.
2.理解函数单调性的作用与实际意义,会求函数的单调区间,并判断单调性.
3.能应用函数的单调性解决一些简单问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.函数的单调性
设函数y=f(x)的定义域是D,I是定义域D上的一个区间:
(1)如果对于任意的x1,x2∈I,当x1(2)如果对于任意的x1,x2∈I,当x1f(x1)单调递增区间
f(x1)>f(x2)
单调递减区间
(3)如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就称函数y=f(x)在区间I上具有单调性,单调递增区间和单调递减区间统称为__________.
(4)如果对于定义域D上任意的x1,x2,当x1f(x2),那么称函数y=f(x)是________.
单调区间
增函数
减函数
2.函数单调性的运算性质
若函数f(x),g(x)在区间I上具有单调性,则在区间I上具有以下性质.
(1)f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.
(2)若a为常数,则当a>0时,f(x)与af(x)具有相同的单调性;当a<0时,f(x)与af(x)具有相反的单调性.
|微|点|助|解|
(1)注意区分“单调递增(减)”与“增(减)函数”
增(减)函数是指函数在整个定义域内呈现出递增(递减)的现象,即函数的任何自变量增加时,函数值也随之增加(减少);
而单调递增(减)函数则是指函数在某个区间内是单调递增(减)的,这个区间可以是开区间也可以是闭区间,但不一定是整个定义域;
单调递增(减)函数强调的是函数的局部性质,即在某个区间内函数值随自变量的增加而增加(减少),而增(减)函数强调的是函数的整体性质,即在整个定义域内函数值随自变量的增加而增加(减少).
(2)增、减函数与自变量、函数值的互推关系
①若(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0或>0,则x2-x1与f(x2)-f(x1)同号,即x2>x1时,f(x2)>f(x1),所以f(x)在D上是增函数;
②若(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]<0或<0,则x2-x1与f(x2)-f(x1)异号,即x2>x1时,f(x2)基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)函数y=x2在R上是增函数. ( )
(2)所有的函数在其定义域上都具有单调性. ( )
(3)在增函数与减函数的定义中,可以把“任意的x1,x2”改为“存在x1,x2”. ( )
(4)若函数f(x)在[2,+∞)上单调递增,则f(x)在[3,4]上也单调递增. ( )
×
×
×
√
2.已知函数y=f(x)的图象如图所示,其单调递增区间是 ( )
A.[-4,4] B.[-4,-3]∪[1,4]
C.[-3,1] D.[-3,4]
解析:由题图可知,函数y=f(x)的单调递增区间为[-3,1].故选C.
√
3.(多选)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递减的是 ( )
A.y=- B.y=x
C.y=-|x| D.y=1-x
解析:选项A、B中的函数在(0,+∞)上都是增函数,选项C、D满足条件.
√
√
4.若函数f(x)在[-2,2]上是增函数,则f(-1) f(2).(填“>”“=”或“<”)
解析:∵函数f(x)在[-2,2]上是增函数,且-1<2,∴f(-1)<
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 定义法判断或证明函数的单调性
[例1] 证明函数f(x)=在区间(2,+∞)上单调递减.
证明:设 x1,x2∈(2,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=-
=
=.
因为2所以x2-x1>0,>4,>4.
所以f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2).
所以函数f(x)=在(2,+∞)上单调递减.
|思|维|建|模|
利用定义判断或证明函数单调性的步骤
针对训练
1.试用函数单调性的定义证明f(x)=在(1,+∞)上单调递减.
证明:易得f(x)=2+,设x1>x2>1,则f(x1)-f(x2)=-=.因为x1>x2>1,所以x2-x1<0,x1-1>0,x2-1>0.所以f(x1)[例2] 画出函数f(x)=的图象,并指出函数f(x)的单调区间.
题型(二) 图象法求函数的单调区间
解:画出函数f(x)=的图象如图所示.
由图可知,函数f(x)的单调递减区间为(-∞,1]和(1,2],单调递增区间为[2,+∞).
|思|维|建|模| 图象法求函数单调区间的步骤
作图 作出函数的图象
结论 上升图象对应单调递增区间,下降图象对应单调递减区间
针对训练
2.画出函数y=|x|(x-2)的图象,并指出函数的单调区间.
解:由题意,
得y=|x|(x-2)=
函数的图象如图实线部分所示.
由函数的图象知,函数的单调递增区间为(-∞,0)和[1,+∞),单调递减区间为[0,1).
题型(三) 函数单调性的简单应用
题点1 利用函数单调性求参数范围
[例3] 若函数f(x)=是定义在R上的减函数,则a的取值范围为( )
A. B.
C. D.∪
√
解析:因为f(x)是定义在R上的减函数,
所以
解得≤a<.
[例4] 若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在区间(-∞,3]上单调递增,则实数a的取值范围是 .
解析:f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3.
因此函数的单调递增区间为(-∞,-a-1],
因为f(x)在(-∞,3]上单调递增,
所以3≤-a-1,
解得a≤-4,即实数a的取值范围为(-∞,-4].
(-∞,-4]
变式拓展
在例4中,若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3的单调递增区间是(-∞,3],则实数a的值为 .
解析:f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3.因此的函数的单调递增区间为(-∞,-a-1],由题意得-a-1=3,所以a=-4.
-4
|思|维|建|模|
由函数单调性求参数范围的处理方法
(1)由函数解析式求参数
①若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件.
②若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性
③若为分段函数——数形结合,每一段的函数的单调性均要考虑,并注意临界值的大小.探求参数满足的条件.
(2)当函数f(x)的解析式未知时,欲求解不等式,可以依据函数单调性的定义和性质,将符合“f”去掉,列出关于自变量的不等式(组),然后求解,此时注意函数的定义域.
题点2 利用函数单调性解不等式
[例5] 已知f(x)是定义在区间[-2,2]上的增函数,且f(x-2)解:由题意,得解得0≤x≤3, ①
∵f(x)是[-2,2]上的增函数,且f(x-2)所以x-2<1-x,解得x<, ②
由①②得0≤x<.
所以满足题意的不等式解集为.
|思|维|建|模|
在求解与抽象函数有关的不等式时,往往利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.
3.若函数f(x)=(m-1)x+b在R上是增函数,则f(m)与f(1)的大小关系是 ( )
A.f(m)f(1)
C.f(m)≤f(1) D.f(m)≥f(1)
解析:由题意,得m-1>0,即m>1.因为f(x)在R上是增函数,所以f(m)>f(1).
针对训练
√
4.已知函数f(x)=是R上的增函数,则a的取值范围是( )
A.(-∞,-2) B.(-∞,0)
C.(-3,-2] D.[-3,-2]
√
解析:因为函数f(x)=是R上的增函数,
所以解得-3≤a≤-2,即a的取值范围是[-3,-2].
5.若f(x)是定义在[0,+∞)上的减函数,则不等式f(x)解析:依题意,得不等式组
解得课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则f(x)的单调递减区间是( )
A.(0,1) B.(-∞,1)
C. D.(-∞,3)
√
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2.若f(x)在R上是减函数,则f(-1)与f(a2+1)之间有 ( )
A.f(-1)≥f(a2+1) B.f(-1)>f(a2+1)
C.f(-1)≤f(a2+1) D.f(-1)解析:∵f(x)在R上是减函数,∴对任意x1,x2,若x1f(x2).
又∵-1f(a2+1).
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3.(多选)下列函数中,在区间(-∞,0)上单调递增的是 ( )
A.f(x)=- B.f(x)=x
C.f(x)=-x2 D.f(x)=1-x
解析:由函数的图象知f(x)=-,f(x)=x,f(x)=-x2 在(-∞,0)上单调递增.
√
√
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4.已知函数f(x)=在(0,+∞)上单调递减,则b的取值范围为( )
A.(0,+∞) B.(1,+∞)
C.(-∞,0) D.R
解析: f(x)=a+,因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以b>0,故选A.
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5.已知函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,且f(2)=-1,则满足f(2x-4)>-1的实数x的取值范围是 ( )
A.(3,+∞) B.(-∞,3)
C.[2,3) D.[0,3)
解析:∵函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,且f(2)=-1,对于f(2x-4)>-1,则0≤2x-4<2,解得2≤x<3,∴实数x的取值范围是[2,3).
√
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6.函数y=|x2-2x-3|的单调递增区间是 .
解析:易知y=|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|,作出该函数的图象,如图所示.
由图象可知,其单调递增区间为[-1,1]和[3,+∞).
[-1,1]和[3,+∞)
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7.已知函数f(x)为定义在区间[-1,1]上的增函数,则满足f(x)解析:因为f(x)在区间[-1,1]上为增函数,且f(x)1
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8.已知函数f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1,2]上均单调递减,那么a的取值范围是 .
解析:根据二次函数的表达式可知,f(x)=-x2+2ax的对称轴为x=a,开口向下,若f(x)在区间[1,2]上单调递减,则a≤1,g(x)=是反比例型函数,若g(x)在区间[1,2]上单调递减,则a>0,所以0(0,1]
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9.(8分)画出函数f(x)=|x+1|的图象,并根据图象写出f(x)的单调区间.
解:易得f(x)=|x+1|=作出函数
图象如图所示.
结合图象可知,函数f(x)=|x+1|的单调递减区间为(-∞,-1),单调递增区间为(-1,+∞).
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10.(10分)已知函数f(x)=mx++(m,n是常数),且f(1)=2,f(2)=.
(1)求m,n的值;
解:因为f(1)=m++=2,
f(2)=2m++=,所以m=1,n=2.
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2
(2)当x∈[1,+∞)时,判断f(x)的单调性并用定义证明.
解:由(1)知f(x)=x++,f(x)在x∈[1,+∞)上单调递增,证明如下:
设1≤x1=x1++-
=(x1-x2)=.
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因为1≤x11,
所以2x1x2>2>1.
所以<0,即f(x1)所以f(x)在[1,+∞)上单调递增.
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B级——重点培优
11.已知函数f(x)=是R上的减函数,则实数a的取值范围是( )
A.(-1,1) B.(1,3]
C.(0,3) D.(0,2]
√
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解析:∵函数f(x)=是R上的减函数.
当x≤1时,函数f(x)要递减,则有a-3<0;
当x>1时,函数f(x)要递减,则有2a>0;
且(a-3)×1+5≥2a, ∴解得0综上所述,实数a的取值范围是(0,2].
1
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12.已知函数f(x)=-x|x|,则不等式f(2+5m)A.
B.
C.∪(3,+∞)
D.(-∞,-3)∪
√
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解析:由函数f(x)=-x|x|=根据二次函数的性质,可得函数f(x)在R上为减函数.又由不等式f(2+5m)2m2-1,即(2m+1)(m-3)<0,解得-1
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13.(多选)函数f(x)的定义域为R,对任意的实数x1,x2(x1≠x2),满足x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),下列结论正确的是 ( )
A.函数f(x)在R上是减函数 B.f(-5)C.f(0)=0 D.f(2x-1)√
√
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解析:由x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),得(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,因此f(x)在R上单调递增,A错误;由-5<0<1,得f(-5)1
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14.(12分)已知函数f(x)=2x2-4kx-5在区间[-1,2]上不具有单调性,求k的取值范围.
解:∵函数f(x)=2x2-4kx-5的图象的对称轴为直线x=k,若函数f(x)=2x2-4kx-5在区间[-1,2]上不具有单调性,则k的取值范围是(-1,2).
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15.(12分)设函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,并且满足f(xy)=f(x)+f(y),f=1.
(1)求f(1)的值.
解:令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0.
(2)若存在实数m,使得f(m)=2,求m的值.
解:因为f=1,所以f(m)=2=f+f=f=f,所以m=.
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(3)若f(x-2)>2,求x的取值范围.
解:因为f(x-2)>2=f,又y=f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,
所以解得2故x的取值范围为.课时跟踪检测(二十) 函数的单调性及其应用
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(0,1) B．(－∞，1)
C. D．(－∞，3)
2．若f(x)在R上是减函数，则f(－1)与f(a2＋1)之间有( )
A．f(－1)≥f(a2＋1) B．f(－1)>f(a2＋1)
C．f(－1)≤f(a2＋1) D．f(－1)3．(多选)下列函数中，在区间(－∞，0)上单调递增的是( )
A．f(x)＝－ B．f(x)＝x
C．f(x)＝－x2 D．f(x)＝1－x
4．已知函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，则b的取值范围为( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，0) D．R
5．已知函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝－1，则满足f(2x－4)>－1的实数x的取值范围是( )
A．(3，＋∞) B．(－∞，3)
C．[2,3) D．[0,3)
6．函数y＝|x2－2x－3|的单调递增区间是________．
7．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)8．已知函数f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上均单调递减，那么a的取值范围是________．
9．(8分)画出函数f(x)＝|x＋1|的图象，并根据图象写出f(x)的单调区间．
10．(10分)已知函数f(x)＝mx＋＋(m，n是常数)，且f(1)＝2，f(2)＝.
(1)求m，n的值；
(2)当x∈[1，＋∞)时，判断f(x)的单调性并用定义证明．
B级——重点培优
11．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(1,3]
C．(0,3) D．(0,2]
12．已知函数f(x)＝－x|x|，则不等式f(2＋5m)A.
B.
C.∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪
13．(多选)函数f(x)的定义域为R，对任意的实数x1，x2(x1≠x2)，满足x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，下列结论正确的是( )
A．函数f(x)在R上是减函数
B．f(－5)C．f(0)＝0
D．f(2x－1)14．(12分)已知函数f(x)＝2x2－4kx－5在区间[－1,2]上不具有单调性，求k的取值范围．
15．(12分)设函数y＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，并且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f＝1.
(1)求f(1)的值．
(2)若存在实数m，使得f(m)＝2，求m的值．
(3)若f(x－2)>2，求x的取值范围．
课时跟踪检测(二十)
1．A
2．选B ∵f(x)在R上是减函数，∴对任意x1，x2，若x1f(x2)．
又∵－1f(a2＋1)．
3．选ABC 由函数的图象知f(x)＝－，f(x)＝x，f(x)＝－x2 在(－∞，0)上单调递增．
4．选A f(x)＝a＋，因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以b>0，故选A.
5．选C ∵函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝－1，对于f(2x－4)>－1，则0≤2x－4<2，解得2≤x<3，∴实数x的取值范围是[2,3)．
6．解析：易知
y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|，作出该函数的图象，如图所示．
由图象可知，其单调递增区间为[－1,1]和[3，＋∞)．
答案：[－1,1]和[3，＋∞)
7．解析：因为f(x)在区间[－1,1]上为增函数，且f(x)解得－1≤x<.
答案：
8．解析：根据二次函数的表达式可知，f(x)＝－x2＋2ax的对称轴为x＝a，开口向下，若f(x)在区间[1,2]上单调递减，则a≤1，g(x)＝是反比例型函数，若g(x)在区间[1,2]上单调递减，则a>0，所以0答案：(0,1]
9．解：
易得f(x)＝|x＋1|＝作出函数图象如图所示．
结合图象可知，函数f(x)＝|x＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．
10．解：(1)因为f(1)＝m＋＋＝2，
f(2)＝2m＋＋＝，所以m＝1，n＝2.
(2)由(1)知f(x)＝x＋＋，f(x)在x∈[1，＋∞)上单调递增，证明如下：
设1≤x1＝x1＋＋－
＝(x1－x2)
＝.
因为1≤x1所以x1－x2<0，x1x2>1，
所以2x1x2>2>1.
所以＜0，
即f(x1)所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增．
11．选D ∵函数f(x)＝是R上的减函数．
当x≤1时，函数f(x)要递减，则有a－3<0；
当x>1时，函数f(x)要递减，则有2a>0；
且(a－3)×1＋5≥2a，
∴解得0综上所述，实数a的取值范围是(0,2]．
12．选A 由函数f(x)＝－x|x|＝根据二次函数的性质，可得函数f(x)在R上为减函数．又由不等式f(2＋5m)2m2－1，即(2m＋1)(m－3)<0，解得－13．选BD 由x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，得(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，因此f(x)在R上单调递增，A错误；由－5<0<1，得f(－5)14．解：∵函数f(x)＝2x2－4kx－5的图象的对称轴为直线x＝k，若函数f(x)＝2x2－4kx－5在区间[－1,2]上不具有单调性，则k的取值范围是(－1，2)．
15．解：(1)令x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0.
(2)因为f＝1，所以f(m)＝2＝f＋f＝f＝f，所以m＝.
(3)因为f(x－2)>2＝f，又y＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，
所以解得2故x的取值范围为.
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