4．1 函数的奇偶性 (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义．
2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法．
3．会应用奇偶函数的图象的对称性解决简单问题．
1．偶函数、奇函数的定义
奇函数 偶函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有－x∈D，且______________，那么称函数f(x)为奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有－x∈D，且____________，那么称函数f(x)为偶函数
图象特点 关于______对称 关于______对称
奇偶性 当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称f(x)具有__________
定义域特征 关于________对称
2．偶函数、奇函数的图象特征
(1)如果一个函数是偶函数，则它的图象是以______为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于______对称，则这个函数是偶函数．
(2)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以________为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以________为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
|微|点|助|解|
对函数奇偶性的理解
(1)奇、偶函数的对应关系的特点
①奇函数有f(－x)＝－f(x) f(－x)＋f(x)＝0 ＝－1(f(x)≠0)；
②偶函数有f(－x)＝f(x) f(－x)－f(x)＝0 ＝1(f(x)≠0)．
(2)函数奇偶性的三个关注点
①若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0，有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；
②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合；
③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数．
(3)利用性质判断函数的奇偶性
①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；
②奇函数的和、差仍为奇函数；
③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；
④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．
基础落实训练
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数．( )
(2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．( )
(3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( )
(4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．( )
2．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )
3．下列函数是偶函数的是( )
A．y＝x B．y＝3x2
C．y＝x－1 D．y＝|x|(x∈[0,1])
4．已知函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．无法确定
题型(一) 函数奇偶性的判断
[例1] 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
听课记录：
|思|维|建|模|
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：①定义域关于原点对称；
②确定f(－x)与f(x)的关系．
(2)图象法：若函数f(x)的图象关于原点对称，则f(x)是奇函数；若函数f(x)关于y轴对称，则f(x)是偶函数．
[针对训练]
1．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x5；
(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
(3)f(x)＝.
题型(二) 奇、偶函数的图象及应用
[例2] 已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．
(1)画出在区间[－5,0]上的图象；
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．
听课记录：
[变式拓展]
若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，试画出在区间[－5,0]上的图象．
|思|维|建|模| 巧用奇、偶函数的图象求解问题
依据 奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于y轴对称
求解 根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇、偶函数图象的问题
[针对训练]
2．已知函数y＝f(x)是偶函数，且图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是( )
A．4 B．2
C．1 D．0
3．如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小．
题型(三) 函数奇偶性的应用
题点1 利用函数的奇偶性求参数值
[例3] (1)已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．
听课记录：
[例4] 若函数f(x)＝ax2＋(b－1)x＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＋b＝________.
听课记录：
|思|维|建|模|
利用奇偶性求参数的常见类型及策略
定义域含参数 奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数
解析式含参数 根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解
题点2 利用函数的奇偶性求函数解析式
[例5] 已知函数f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，函数f(x)的解析式为________.
听课记录：
[变式拓展]
本例中，若条件改为“f(x)为R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1”，则函数f(x)的解析式为________．
|思|维|建|模|
利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；
(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
[针对训练]
4．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)等于( )
A．－2 B．0
C．1 D．2
5．若函数f(x)＝ax4＋(a－2b)x＋a－1是定义(－a,0)∪(0,2a－2)上的偶函数，则f＝( )
A．1 B. C. D．3
6．已知函数f(x)＝为奇函数，则a＋b＝________.
函数的奇偶性
课前预知教材
1．f(－x)＝－f(x) f(－x)＝f(x) 原点 y轴 奇偶性 原点
2．(1)y轴 y轴 (2)原点 原点
[基础落实训练] 1.(1)× (2)× (3)× (4)×
2．B 3.B 4.C
课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解：(1)因为x∈R，所以－x∈R.
又因为f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
(2)因为函数f(x)的定义域为{－1,1}，
关于原点对称，且f(x)＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)．
所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)因为f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，
即有－1≤x≤1且x≠0，所以－1≤－x≤1，且－x≠0.
又f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
(4)易知f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
[针对训练]
1．解：(1)函数f(x)的定义域为R.
∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(2)函数f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(3)∵函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
[题型(二)]
[例2] 解：(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图实线部分所示．
(2)由图象知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．
[变式拓展]
解：因为函数f(x)是偶函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于y轴对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图实线部分所示．
[针对训练]
2．选D 因为f(x)是偶函数，且图象与x轴有四个交点，所以这四个交点每组两个关于y轴一定是对称的．故所有实根之和为0.
3．解：法一：∵函数f(x)是偶函数，
∴图象关于y轴对称，补全图象如图所示．
由图象可知f(1)＜f(3)．
法二：由题图可知f(－1)＜f(－3)．
∵函数y＝f(x)是偶函数，
∴f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)．
∴f(1)＜f(3)．
[题型(三)]
[例3] 解析：因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－6.所以(－3)2＋a(－3)＝－6.解得a＝5.
答案：5
[例4] 解析：因为定义域[a－1,2a]关于原点对称，所以(a－1)＋2a＝0.
解得a＝.
所以f(x)＝x2＋(b－1)x＋1＋b.
又f(－x)＝f(x)，
所以x2－(b－1)x＋1＋b＝x2＋(b－1)x＋1＋b.
由对应项系数相等得－(b－1)＝b－1.
所以b＝1.所以a＋b＝＋1＝.
答案：
[例5] 解析：当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以当x<0时，f(x)＝2x2＋3x－1.因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0.
综上可得，函数f(x)的解析式为f(x)＝
答案：f(x)＝
[变式拓展]
解析：当x<0时，－x>0，此时f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝－2x2－3x＋1，所以f(x)的解析式为f(x)＝
答案：f(x)＝
[针对训练]
4．选A 因为当x>0时，f(x)＝x2＋，所以f(1)＝1＋1＝2.又f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－2.故选A.
5．选D ∵f(x)＝ax4＋(a－2b)x＋a－1是定义在(－a,0)∪(0,2a－2)上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即a(－x)4－(a－2b)x＋a－1＝ax4＋(a－2b)x＋a－1，∴a－2b＝0，又定义域关于原点对称，∴2a－2＝a，∴a＝2，b＝1，∴f(x)＝2x4＋1，∴f＝f(1)＝3.
6．解析：由题意知
即解得
当a＝－1，b＝1时，经检验知f(x)为奇函数，故a＋b＝0.
答案：0
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4.1
函数的奇偶性
(教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学)
课时目标
1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.
2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.
3.会应用奇偶函数的图象的对称性解决简单问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.偶函数、奇函数的定义
奇函数 偶函数
定义 一般地,设函数f(x)的定义域是D,如果对任意的x∈D,有-x∈D, 且___________,那么称函数f(x)为奇函数 一般地,设函数f(x)的定义域是D,如果对任意的x∈D,有-x∈D,且________,那么称函数f(x)为偶函数
f(-x)=-f(x)
f(-x)=f(x)
图象特点 关于______对称 关于_____对称
奇偶性 当函数f(x)是奇函数或偶函数时,称f(x)具有________ 定义域特征 关于______对称 原点
y轴
奇偶性
原点
续表
2.偶函数、奇函数的图象特征
(1)如果一个函数是偶函数,则它的图象是以_____为对称轴的轴对称图形;反之,如果一个函数的图象关于______对称,则这个函数是偶函数.
(2)如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以_____为对称中心的中心对称图形;反之,如果一个函数的图象是以_____为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.
原点
y轴
y轴
原点
|微|点|助|解|
对函数奇偶性的理解
(1)奇、偶函数的对应关系的特点
①奇函数有f(-x)=-f(x) f(-x)+f(x)=0 =-1(f(x)≠0);
②偶函数有f(-x)=f(x) f(-x)-f(x)=0 =1(f(x)≠0).
(2)函数奇偶性的三个关注点
①若奇函数在原点处有定义,则必有f(0)=0,有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数;
②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,x∈D,其中定义域D是关于原点对称的非空集合;
③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数.
(3)利用性质判断函数的奇偶性
①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;
②奇函数的和、差仍为奇函数;
③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;
④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)函数f(x)=x2,x∈[0,+∞)是偶函数. ( )
(2)对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数. ( )
(3)不存在既是奇函数,又是偶函数的函数. ( )
(4)若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数就是偶函数.( )
×
×
×
×
2.下列图象表示的函数具有奇偶性的是 ( )
解析:B选项的图象关于y轴对称,是偶函数,其余选项都不具有奇偶性.
√
3.下列函数是偶函数的是 ( )
A.y=x B.y=3x2
C.y=x-1 D.y=|x|(x∈[0,1])
解析:选项A、C中的函数是奇函数,选项B中的函数是偶函数,选项D中的函数既不是奇函数,也不是偶函数.
√
4.已知函数y=f(x),x∈[-1,a](a>-1)是奇函数,则a等于 ( )
A.-1 B.0
C.1 D.无法确定
解析:∵奇函数的定义域关于原点对称,
∴a-1=0,即a=1.
√
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 函数奇偶性的判断
[例1] 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=|x+1|-|x-1|;
解:因为x∈R,所以-x∈R.
又因为f(-x)=|-x+1|-|-x-1|
=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
(2)f(x)=+;
解:因为函数f(x)的定义域为{-1,1},
关于原点对称,且f(x)=0,
所以f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x).
所以f(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)f(x)=;
解:因为f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],
即有-1≤x≤1且x≠0,
所以-1≤-x≤1,且-x≠0.
又f(-x)==-=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
(4)f(x)=
解:易知f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
当x>0时,-x<0,f(-x)=1-(-x)=1+x=f(x);
当x<0时,-x>0,f(-x)=1+(-x)=1-x=f(x).
综上可知,对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.
|思|维|建|模|
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法:①定义域关于原点对称;
②确定f(-x)与f(x)的关系.
(2)图象法:若函数f(x)的图象关于原点对称,则f(x)是奇函数;若函数f(x)关于y轴对称,则f(x)是偶函数.
针对训练
1.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x3+x5;
解:函数f(x)的定义域为R.
∵f(-x)=(-x)3+(-x)5=-(x3+x5)=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
(2)f(x)=|x+1|+|x-1|;
解:函数f(x)的定义域是R.
∵f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f(x),∴f(x)是偶函数.
(3)f(x)=.
解:∵函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),
不关于原点对称,∴f(x)是非奇非偶函数.
题型(二) 奇、偶函数的图象及应用
[例2] 已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示.
(1)画出在区间[-5,0]上的图象;
解:因为函数f(x)是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于原点对称.由y=f(x)在[0,5]上的图象,可知它在[-5,0]上的图象,如图实线部分所示.
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.
解:由图象知,使f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5).
变式拓展
若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”,试画出在区间[-5,0]上的图象.
解:因为函数f(x)是偶函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于y轴对称.由y=f(x)在[0,5]上的图象,可知它在[-5,0]上的图象,如图实线部分所示.
|思|维|建|模| 巧用奇、偶函数的图象求解问题
依据 奇函数 图象关于原点对称,偶函数 图象关于y轴对称
求解 根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇、偶函数图象的问题
2.已知函数y=f(x)是偶函数,且图象与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是 ( )
A.4 B.2
C.1 D.0
解析:因为f(x)是偶函数,且图象与x轴有四个交点,所以这四个交点每组两个关于y轴一定是对称的.故所有实根之和为0.
针对训练
√
3.如图,给出了偶函数y=f(x)的局部图象,试比较f(1)与f(3)的大小.
解:法一:∵函数f(x)是偶函数,
∴图象关于y轴对称,补全图象如图所示.
由图象可知f(1)法二:由题图可知f(-1)∵函数y=f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1),f(-3)=f(3).∴f(1)题型(三) 函数奇偶性的应用
题点1 利用函数的奇偶性求参数值
[例3] 已知y=f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x2+ax,且f(3)=6,则a的值为 .
解析:因为f(x)是奇函数,所以f(-3)=-f(3)=-6.所以(-3)2+a(-3)=-6.解得a=5.
5
[例4] 若函数f(x)=ax2+(b-1)x+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a+b=
.
解析:因为定义域[a-1,2a]关于原点对称,
所以(a-1)+2a=0.解得a=.
所以f(x)=x2+(b-1)x+1+b.
又f(-x)=f(x),所以x2-(b-1)x+1+b=x2+(b-1)x+1+b.
由对应项系数相等得-(b-1)=b-1.所以b=1.所以a+b=+1=.
|思|维|建|模| 利用奇偶性求参数的常见类型及策略
定义域含参数 奇、偶函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数
解析式含参数 根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数即可求解
题点2 利用函数的奇偶性求函数解析式
[例5] 已知函数f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1,函数f(x)的
解析式为 .
f(x)=
解析:当x<0时,-x>0,则f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是奇函数,故f(x)=-f(-x),所以当x<0时,f(x)=2x2+3x-1.因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0.
综上可得,函数f(x)的解析式为f(x)=
变式拓展
本例中,若条件改为“f(x)为R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=-2x2+3x+1”,则
函数f(x)的解析式为 .
解析:当x<0时,-x>0,此时f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,所以f(x)的解析式为f(x)=
f(x)=
|思|维|建|模|
利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤
(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设;
(2)转化到已知区间上,代入已知的解析式;
(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x).
4.已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+,则f(-1)等于( )
A.-2 B.0
C.1 D.2
解析:因为当x>0时,f(x)=x2+,
所以f(1)=1+1=2.又f(x)为奇函数,
所以f(-1)=-f(1)=-2.故选A.
针对训练
√
5.若函数f(x)=ax4+(a-2b)x+a-1是定义(-a,0)∪(0,2a-2)上的偶函数,则f=( )
A.1 B.
C. D.3
解析:∵f(x)=ax4+(a-2b)x+a-1是定义在(-a,0)∪(0,2a-2)上的偶函数,∴f(-x)=f(x),即a(-x)4-(a-2b)x+a-1=ax4+(a-2b)x+a-1,∴a-2b=0,又定义域关于原点对称,∴2a-2=a,∴a=2,b=1,∴f(x)=2x4+1,∴f=f(1)=3.
√
6.已知函数f(x)=为奇函数,则a+b= .
解析:由题意知
即解得
当a=-1,b=1时,经检验知f(x)为奇函数,
故a+b=0.
0
课时跟踪检测
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
A级——达标评价
1.若函数f(x)(x∈R)是奇函数,则下列坐标表示的点一定在函数y=f(x)的图象上的是( )
A.(a,-f(a)) B.(-a,f(a))
C.(-a,-f(a)) D.(a,f(-a))
解析:因为y=f(x)为奇函数,f(-a)=-f(a),故点(-a,-f(a))在y=f(x)的图象上.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
2.下列函数为偶函数的是 ( )
A.f(x)=x3 B.f(x)=+x
C.f(x)=x2 D.f(x)=-2x
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析:对于A,f(x)=x3的定义域为R,且f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),故f(x)=x3为奇函数,故A错误;对于B,f(x)=x+定义域为{x|x≠0},且f(-x)=-x-=-=-f(x),故f(x)=x+为奇函数,故B错误;对于C,f(x)=x2的定义域为R,f(-x)=(-x)2=x2
=f(x),故f(x)=x2为偶函数,故C正确;对于D,f(x)=-2x的定义域为R,且f(-x)=2x
=-f(x),故f(x)=-2x为奇函数,故D错误.
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3.(多选)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=3,f(1)+g(-1)=5,则 ( )
A.f(1)=1 B.f(-1)=1
C.g(1)=4 D.g(-1)=-4
解析:因f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则f(-1)+g(1)=3 -f(1)+g(1)=3,f(1)+
g(-1)=5 f(1)+g(1)=5,解得f(1)=1,g(1)=4.即A、C都正确;而f(-1)=-1,g(-1)=4,即B、D都不正确.
√
√
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4.已知函数f(x)是定义在[-3,0)∪(0,3]上的奇函数,当x>0时,f(x)的图象如图所示,那么f(x)的值域是 ( )
A.[-3,0) B.(1,3]
C.(-3,-1)∪(1,3] D.(-3,-1]∪[1,3)
解析: 因为当0√
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5.(多选)已知函数f(x)=mx2+nx+3m+n是偶函数,且其定义域为[m-1,2m],则 ( )
A.m=3
B.n=0
C.函数f(x)的定义域为
D.函数f(x)的最大值为
√
√
√
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解析:因为函数f(x)=mx2+nx+3m+n是偶函数,所以函数的定义域关于原点对称.又因为函数f(x)的定义域为[m-1,2m],所以m-1+2m=0,解得m=.故A错误;又因为函数f(x)是偶函数,所以f(-x)=mx2-nx+3m+n=f(x)=
mx2+nx+3m+n,解得n=0.所以函数的解析式为f(x)=x2+1.定义域为,其图象是开口向上,且以y轴为对称轴的抛物线,所以当x=±时,f(x)取得最大值.故BCD正确.
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6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)= .
解析:由已知得,f(-2)=2×(-2)3+(-2)2=-12,因为函数f(x)是奇函数,所以f(2)=-f(-2)=12.
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7.设函数f(x)是偶函数,且值域为(-∞,1],则f(x)= .(写出一个正确答案即可)
解析:因为函数f(x)是偶函数,且值域为(-∞,1],不妨取f(x)=-x2+1,二次函数f(x)=-x2+1的对称轴为y轴,该函数为偶函数,且f(x)=-x2+1≤1,即函数f(x)=-x2+1的值域为(-∞,1],符合题意.
-x2+1
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8.设函数f(x)=为奇函数,则a= .
解析:因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即=-.显然x≠0,整理得x2-(a+1)x+a=x2+(a+1)x+a.故a+1=0,得a=-1.
-1
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9.(8分)已知函数f(x)=x-的图象经过点(2,1).
(1)求a的值;
解:因为函数f(x)=x-的图象经过点(2,1),
所以f(2)=1,即2-=1.解得a=2.
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(2)判断f(x)的奇偶性.
解:由(1)知f(x)=x-,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
因为f(-x)=-x-=-x+=-=-f(x),
所以函数f(x)是奇函数.
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10.(10分)已知函数f(x)满足下列3个条件:
①函数f(x)的图象关于原点对称;②函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;③函数f(x)过定点(1,-2).
(1)请猜测出一个满足题意的函数f(x),并写出其解析式;
解:由f(x)的图象关于原点对称知f(x)为奇函数.又函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,∴可猜想f(x)=kx(k<0),∴f(1)=k=-2.∴猜测一个满足题意的函数为f(x)=-2x.
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(2)求(1)中所猜函数在[-3,-2]上的最大值.
解:易知函数f(x)=-2x在[-3,-2]上单调递减,
∴f(x)max=f(-3)=6.
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B级——重点培优
11.已知f(x)=ax+bx3+2 024,其中a,b为常数,若f(-2)=2,则f(2)=( )
A.4 046 B.2 028
C.-4 046 D.-2 028
解析:令g(x)=ax+bx3,则g(-x)=-ax-bx3=-g(x),所以g(x)为奇函数.又g(x)=f(x)
-2 024,所以g(-2)=f(-2)-2 024=-2 022.因为g(2)=-g(-2)=2 022,所以f(2)=g(2)
+2 024=4 046.
√
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12.(多选)对于函数f(x)=(x∈R),下面几个结论中正确的是( )
A.函数f(x)是奇函数
B.函数f(x)是偶函数
C.函数f(x)的值域为(-1,1)
D.函数f(x)在R上是增函数
√
√
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解析:因为f(x)=的定义域是R,又f(-x)==-=-f(x),所以f(x)是奇函数,故A正确,B错误;因为|f(x)|=<1,所以-11
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13.已知函数f(x)=,若f(a)=,则f(-a)= .
解析:f(x)==1+,则f(x)-1=是奇函数,∴f(a)-1+[f(-a)-1]=0.又f(a)=,∴f(-a)=2-f(a)=2-=.
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14.(12分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且x≤0时,f(x)=-x+1.
(1)求f(0),f(2);
解:∵当x≤0时,f(x)=-x+1,∴f(0)=1.
又函数f(x)是定义在R上的偶函数,
∴f(2)=f(-2)=-(-2)+1=3,即f(2)=3.
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(2)求函数f(x)的解析式.
解:令x>0,则-x<0,从而f(-x)=x+1.
∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,
∴f(x)=f(-x)=x+1.
∴当x>0时,f(x)=x+1.
∴函数f(x)的解析式为f(x)=
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15.(12分)定义在(-1,1)上的函数f(x)满足对任意的x,y∈(-1,1),都有f(x)+f(y)
=f,且当x∈(0,1)时,f(x)<0.
(1)求证:函数f(x)是奇函数;
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解:证明:令x=y=0,得f(0)+f(0)=f(0),即f(0)=0,
任取x∈(-1,1),则-x∈(-1,1),
f(x)+f(-x)=f=f(0)=0,
即f(-x)=-f(x),所以f(x)在(-1,1)上为奇函数.
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(2)判断f(x)在(-1,1)上的单调性;
解:判断函数f(x)在(-1,1)上单调递减.
任取x1,x2∈(-1,1),且x1则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f,
因为-10,x2-x1>0,
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所以1-x1x2-x2+x1=(1-x2)(1+x1)>0,即1-x1x2>x2-x1,
所以0<<1,所以f<0,
即f(x2)-f(x1)<0,得f(x2)所以函数f(x)在区间(-1,1)内单调递减.
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(3)解不等式f(x-1)+f(x)<0.
解:f(x-1)+f(x)<0,即f(x-1)<-f(x)=f(-x),
因为函数单调递减,所以需满足解得所以不等式的解集为.课时跟踪检测(二十二) 函数的奇偶性
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．若函数f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)的图象上的是( )
A．(a，－f(a)) B．(－a，f(a))
C．(－a，－f(a)) D．(a，f(－a))
2．下列函数为偶函数的是( )
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝＋x
C．f(x)＝x2 D．f(x)＝－2x
3．(多选)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝3，f(1)＋g(－1)＝5，则( )
A．f(1)＝1 B．f(－1)＝1
C．g(1)＝4 D．g(－1)＝－4
4.已知函数f(x)是定义在[－3,0)∪(0,3]上的奇函数，当x>0时，f(x)的图象如图所示，那么f(x)的值域是( )
A．[－3,0) B．(1,3]
C．(－3，－1)∪(1,3] D．(－3，－1]∪[1,3)
5．(多选)已知函数f(x)＝mx2＋nx＋3m＋n是偶函数，且其定义域为[m－1,2m]，则( )
A．m＝3
B．n＝0
C．函数f(x)的定义域为
D．函数f(x)的最大值为
6．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.
7．设函数f(x)是偶函数，且值域为(－∞，1]，则f(x)＝__________.(写出一个正确答案即可)
8．设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
9．(8分)已知函数f(x)＝x－的图象经过点(2,1)．
(1)求a的值；
(2)判断f(x)的奇偶性．
10．(10分)已知函数f(x)满足下列3个条件：
①函数f(x)的图象关于原点对称；②函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；③函数f(x)过定点(1，－2)．
(1)请猜测出一个满足题意的函数f(x)，并写出其解析式；
(2)求(1)中所猜函数在[－3，－2]上的最大值．
B级——重点培优
11．已知f(x)＝ax＋bx3＋2 024，其中a，b为常数，若f(－2)＝2，则f(2)＝( )
A．4 046 B．2 028
C．－4 046 D．－2 028
12．(多选)对于函数f(x)＝(x∈R)，下面几个结论中正确的是( )
A．函数f(x)是奇函数
B．函数f(x)是偶函数
C．函数f(x)的值域为(－1,1)
D．函数f(x)在R上是增函数
13．已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝________.
14．(12分)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f(x)＝－x＋1.
(1)求f(0)，f(2)；
(2)求函数f(x)的解析式．
15．(12分)定义在(－1,1)上的函数f(x)满足对任意的x，y∈(－1,1)，都有f(x)＋f(y)＝f，且当x∈(0,1)时，f(x)<0.
(1)求证：函数f(x)是奇函数；
(2)判断f(x)在(－1,1)上的单调性；
(3)解不等式f(x－1)＋f(x)<0.
课时跟踪检测(二十二)
1．选C 因为y＝f(x)为奇函数，f(－a)＝－f(a)，故点(－a，－f(a))在y＝f(x)的图象上．
2．选C 对于A，f(x)＝x3的定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，故f(x)＝x3为奇函数，故A错误；对于B，f(x)＝x＋定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝－x－＝－＝－f(x)，故f(x)＝x＋为奇函数，故B错误；对于C，f(x)＝x2的定义域为R，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，故f(x)＝x2为偶函数，故C正确；对于D，f(x)＝－2x的定义域为R，且f(－x)＝2x＝－f(x)，故f(x)＝－2x为奇函数，故D错误．
3．选AC 因f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则f(－1)＋g(1)＝3 －f(1)＋g(1)＝3，f(1)＋g(－1)＝5 f(1)＋g(1)＝5，解得f(1)＝1，g(1)＝4.即A、C都正确；而f(－1)＝－1，g(－1)＝4，即B、D都不正确．
4．选C 因为当05．选BCD 因为函数f(x)＝mx2＋nx＋3m＋n是偶函数，所以函数的定义域关于原点对称．又因为函数f(x)的定义域为[m－1,2m]，所以m－1＋2m＝0，解得m＝.故A错误；又因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝mx2－nx＋3m＋n＝f(x)＝mx2＋nx＋3m＋n，解得n＝0.所以函数的解析式为f(x)＝x2＋1.定义域为，其图象是开口向上，且以y轴为对称轴的抛物线，所以当x＝±时，f(x)取得最大值.故BCD正确．
6．解析：由已知得，f(－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12，因为函数f(x)是奇函数，所以f(2)＝－f(－2)＝12.
答案：12
7．解析：因为函数f(x)是偶函数，且值域为(－∞，1]，不妨取f(x)＝－x2＋1，二次函数f(x)＝－x2＋1的对称轴为y轴，该函数为偶函数，且f(x)＝－x2＋1≤1，即函数f(x)＝－x2＋1的值域为(－∞，1]，符合题意．
答案：－x2＋1
8．解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即＝－.显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a.故a＋1＝0，得a＝－1.
答案：－1
9．解：(1)因为函数f(x)＝x－的图象经过点(2,1)，
所以f(2)＝1，即2－＝1.解得a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝x－，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
因为f(－x)＝－x－＝－x＋＝－＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数．
10．解：(1)由f(x)的图象关于原点对称知f(x)为奇函数．又函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴可猜想f(x)＝kx(k<0)，∴f(1)＝k＝－2.∴猜测一个满足题意的函数为f(x)＝－2x.
(2)易知函数f(x)＝－2x在[－3，－2]上单调递减，∴f(x)max＝f(－3)＝6.
11．选A 令g(x)＝ax＋bx3，则g(－x)＝－ax－bx3＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．又g(x)＝f(x)－2 024，所以g(－2)＝f(－2)－2 024＝－2 022.因为g(2)＝－g(－2)＝2 022，所以f(2)＝g(2)＋2 024＝4 046.
12．选ACD 因为f(x)＝的定义域是R，又f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，故A正确，B错误；因为|f(x)|＝＜1，所以－1＜f(x)＜1，故C正确；因为函数f(x)在(0，＋∞)上可化为f(x)＝＝1－，所以奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且在x＝0处f(x)连续，则f(x)在其定义域内是增函数，故D正确．
13．解析：f(x)＝＝1＋，则f(x)－1＝是奇函数，∴f(a)－1＋[f(－a)－1]＝0.又f(a)＝，∴f(－a)＝2－f(a)＝2－＝.
答案：
14．解：(1)∵当x≤0时，f(x)＝－x＋1，
∴f(0)＝1.
又函数f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(2)＝f(－2)＝－(－2)＋1＝3，
即f(2)＝3.
(2)令x>0，则－x<0，
从而f(－x)＝x＋1.
∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(x)＝f(－x)＝x＋1.
∴当x>0时，f(x)＝x＋1.
∴函数f(x)的解析式为
f(x)＝
15．解：(1)证明：令x＝y＝0，得f(0)＋f(0)＝f(0)，即f(0)＝0，
任取x∈(－1,1)，则－x∈(－1,1)，
f(x)＋f(－x)＝f＝f(0)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)在(－1,1)上为奇函数．
(2)判断函数f(x)在(－1,1)上单调递减．
任取x1，x2∈(－1,1)，且x1则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f，
因为－10，x2－x1>0，所以1－x1x2－x2＋x1＝(1－x2)·(1＋x1)>0，即1－x1x2>x2－x1，
所以0<<1，所以f<0，
即f(x2)－f(x1)<0，得f(x2)所以函数f(x)在区间(－1,1)内单调递减．
(3)f(x－1)＋f(x)<0，即f(x－1)<－f(x)＝f(－x)，
因为函数单调递减，
所以需满足
解得所以不等式的解集为.
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