4.2 简单幂函数的图象和性质
(教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
[课时目标]
1．通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数．
2．准确把握幂函数的图象在第一象限的特征(与幂指数α的关系)．
3．通过研究幂函数的定义域，利用对称性即可作出幂函数的图象，进而研究性质．
逐点清(一) 幂函数的概念
[多维理解]
幂函数的定义 一般地，形如________(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数
幂函数的特征 (1)xα的系数为1；(2)xα的底数是自变量；(3)xα的指数为常数
[微点练明]
1．下列函数是幂函数的为( )
A．y＝ B．y＝2x2
C．y＝x2＋x D．y＝1
2．已知函数f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，则a＝( )
A．－1或2 B．－2或1
C．－1 D．1
3．已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b等于( )
A．2 B．1
C. D．0
4．若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)＝________.
逐点清(二) 幂函数的图象
[多维理解]
五个常见幂函数的图象
|微|点|助|解|
(1)幂函数图象在第一象限的变化规律
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．如下表
幂函数y=xα(α为常数)
α>0 α<0
图象
(2)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限．
(3)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点．除(1,1)，(0,0)，(－1，1)，(－1，－1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点．
[微点练明]
1．函数y＝x的图象是( )
2.已知幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则( )
A．－1
B．n<－1,0C．－11
D．n<－1，m>1
3．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是( )
A．d>c>b>a B．a>b>c>d
C．d>c>a>b D．a>b>d>c
逐点清(三) 幂函数的性质
[多维理解]
五个常见幂函数的性质
y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1
定义域 R R R __________ __________
值域 R [0,+∞) R __________ __________
奇偶性 奇 偶 ____ ________ ____
单调性 增函数 在[0,+∞)上_________,在(-∞,0]上____________ ____函数 ____函数 在(0,+∞)上_______,在(-∞,0)上单调递减
|微|点|助|解|
一般幂函数的性质
(1)当α＞0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．
(2)当α＜0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．
[微点练明]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)当x∈(0,1)时，x2＞x3.( )
(2)y＝x与y＝x的定义域相同．( )
(3)若y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，则α＞0.( )
2．幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，)，则f(x)( )
A．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增
B．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减
C．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减
D．既不是奇函数，也不是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增
3．下列不等式在aA．a－1>b－1 B．aC．b2b－
4．若a＝2，b＝3，c＝25，则a，b，c的大小关系为( )
A．c＞a＞b B．c＞b＞a
C．a＞b＞c D．b＞a＞c
5．已知幂函数f(x)＝(m2－3m－3)xm－1是偶函数，则m的值为________．
简单幂函数的图象和性质
[逐点清(一)]
[多维理解] y＝xα
[微点练明] 1.A 2.C 3.A 4.16
[逐点清(二)]
1．C 2.B 3.B
[逐点清(三)]
[多维理解] [0，＋∞) {x|x≠0}
[0，＋∞) {y|y≠0} 奇 非奇非偶
奇 单调递增 单调递减 增 增 单调递减
[微点练明] 1.(1)√ (2)× (3)√
2．D 3.D 4.A 5.－1
4 / 4(共50张PPT)
4.2
简单幂函数的图象和性质
(教学方式:基本概念课—逐点理清式教学)
课时目标
1.通过具体实例,结合y=x,y=,y=x2,y=,y=x3的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数.
2.准确把握幂函数的图象在第一象限的特征(与幂指数α的关系).
3.通过研究幂函数的定义域,利用对称性即可作出幂函数的图象,进而研究性质.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 幂函数的概念
逐点清(二) 幂函数的图象
逐点清(三) 幂函数的性质
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 幂函数的概念
01
多维理解
幂函数的定义 一般地,形如_______(α为常数)的函数,即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数
幂函数的特征 (1)xα的系数为1;
(2)xα的底数是自变量;
(3)xα的指数为常数
y=xα
1.下列函数是幂函数的为 ( )
A.y= B.y=2x2
C.y=x2+x D.y=1
微点练明
√
2.已知函数f(x)=(a2-a-1)为幂函数,则a=( )
A.-1或2 B.-2或1
C.-1 D.1
解析:因为f(x)=(a2-a-1)为幂函数,所以a2-a-1=1.所以a=2或a=-1.又a-2≠0,所以a=-1.
√
3.已知f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数,则a+b等于 ( )
A.2 B.1
C. D.0
解析:由题意得故a+b=2.
√
4.若函数f(x)是幂函数,且满足f(4)=16,则f(-4)= .
解析:设f(x)=xα,∵f(4)=16,
∴4α=16,解得α=2.∴f(x)=x2.
∴f(-4)=(-4)2=16.
16
逐点清(二) 幂函数的图象
02
多维理解
五个常见幂函数的图象
|微|点|助|解|
(1)幂函数图象在第一象限的变化规律
在第一象限内直线x=1的右侧,图象从上到下,相应的指数由大变小;在直线x=1的左侧,图象从下到上,相应的指数由大变小.
如下表
幂函数y=xα(α为常数) α>0 α<0
图 象
(2)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点,或不相交,任何幂函数的图象都不过第四象限.
(3)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1),(0,0),(-1,1),(-1,-1)外,其他任何一点都不是两个幂函数的公共点.
微点练明
1.函数y=的图象是( )
√
解析:∵函数y=是非奇非偶函数,故排除A、B选项.又>1,故选C.
2.已知幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则 ( )
A.-1C.-11 D.n<-1,m>1
√
解析:在(0,1)内取x0,作直线x=x0,与各图象有交点如图所示.则由“点低指数大”,知03.若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图象如图,则a,b,c,d的大小关系是 ( )
A.d>c>b>a B.a>b>c>d
C.d>c>a>b D.a>b>d>c
√
解析:由题图,知在第一象限内,x=1的右侧部分的图象由下至上,幂指数由小到大,所以a>b>c>d.
逐点清(三) 幂函数的性质
03
五个常见幂函数的性质
多维理解
y=x y=x2 y=x3 y=x-1
定义域 R R R ____________________
____________________
值域 R [0,+∞) R ___________________
__________________
[0,+∞)
{x|x≠0}
[0,+∞)
{y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 ________ _____________________
_______
单调性 增函数 在[0,+∞)上_________,在(-∞,0]上__________ ___函数 ___函数 在(0,+∞)上________,在(-∞,0)上单调递减
单调递增
单调递减
增
奇
非奇非偶
奇
增
单调递减
续表
|微|点|助|解|
一般幂函数的性质
(1)当α>0时,幂函数的图象过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数.
(2)当α<0时,幂函数在区间(0,+∞)上单调递减.在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋向于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.
微点练明
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)当x∈(0,1)时,x2>x3. ( )
(2)y=与y=的定义域相同. ( )
(3)若y=xα在(0,+∞)上为增函数,则α>0. ( )
√
×
√
√
2.幂函数y=f(x)的图象经过点(3,),则f(x)( )
A.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增
B.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减
C.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递减
D.既不是奇函数,也不是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增
解析:由题意设f(x)=xn,因为函数f(x)的图象经过点(3,),所以=3n,解得n=,即f(x)=,所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,故选D.
√
3.下列不等式在aA.a-1>b-1 B.<
C.b2
解析:分别构造函数y=x-1,y=,y=x2,y=,其中函数y=x-1,y=x2在(-∞,0)上为减函数,故A、C成立.而y=,y=为(-∞,0)上的增函数,故B成立,D不成立.
4.若a=,b=,c=2,则a,b,c的大小关系为( )
A.c>a>b B.c>b>a
C.a>b>c D.b>a>c
√
5.已知幂函数f(x)=(m2-3m-3)是偶函数,则m的值为 .
解析:∵f(x)为幂函数,∴m2-3m-3=1,解得m=4或m=-1.当m=4时,f(x)=x3是奇函数,不合题意,舍去;当m=-1时,f(x)=x-2是偶函数,∴m=-1.
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课时跟踪检测
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√
1.在下列函数中,定义域和值域不同的是 ( )
A.y= B.y=
C.y= D.y=
解析:A、C的定义域和值域都是R;B的定义域和值域都是[0,+∞);D的定义域是R,值域是[0,+∞).故选D.
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2.函数y=-1的图象关于x轴对称的图象大致是( )
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解析:因为y=的图象位于第一象限且为增函数,所以函数图象是上升的.函数y=-1的图象可看作是由y=的图象向下平移一个单位长度得到(如选项A中的图所示),则y=-1的图象关于x轴对称的图象即为选项B.
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√
3.函数y=x-2在区间上的最大值是( )
A. B.-1
C.4 D.-4
解析:因为函数y=x-2在区间上单调递减,所以当x=时有最大值4.
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√
4.幂函数y=f(x)经过点(27,3),则f(x)是 ( )
A.偶函数,且在(0,+∞)上单调递增
B.偶函数,且在(0,+∞)上单调递减
C.奇函数,且在(0,+∞)上单调递增
D.奇函数,且在(0,+∞)上单调递减
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2
解析:依题意,设f(x)=xα,将点(27,3)代入上式,则3=27α,解得α=,即f(x)=.所以该函数为奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,故选C.
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√
5.函数f(x)=(a-b)+b-3是幂函数,则下列结论正确的是( )
A.f(a)>f(b) B.f(a)C.f(a)=f(b) D.以上都不对
解析:∵f(x)为幂函数,∴
∴∴f(x)=,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,且a>b>0,∴f(a)>f(b).
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√
6.已知幂函数f(x)=x4-m(m∈N*)为奇函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,则m等于 ( )
A.1 B.2
C.1或3 D.3
解析:因为f(x)=x4-m在(0,+∞)上单调递增,所以4-m>0,即m<4.又因为m∈N*,所以m=1,2,3.又因为f(x)=x4-m是奇函数,所以4-m是奇数,所以m=1或m=3.
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√
7.(多选)下列关于幂函数y=xα的性质,描述正确的有 ( )
A.当α=-1时,函数在其定义域上是减函数
B.当α=0时,函数图象是一条直线
C.当α=2时,函数是偶函数
D.当α=3时,函数有一个零点0
√
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解析:对于A选项,y=在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,不能说在定义域上单调递减,故错误.对于B选项,y=x0,x≠0,图象是直线y=1并且除掉点(0,1),故错误.对于C选项,y=x2,定义域为R,是偶函数,故正确.对于D选项,y=x3,只有一个零点0,故正确.故选C、D.
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8.已知函数f(x)=,若0A.f(a)C.f(a)解析:因为函数f(x)=在(0,+∞)上单调递增,又0√
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√
9.(多选)已知函数f(x)=xα的图象经过点(4,2),则下列命题正确的有 ( )
A.函数为增函数
B.函数为偶函数
C.若x>1,则f(x)>1
D.若0√
√
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解析:将点(4,2)代入函数f(x)=xα,得2=4α,即α=.所以f(x)=.显然f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数,所以A正确;因为f(x)的定义域为[0,+∞),所以f(x)不具有奇偶性,所以B不正确;当x>1时,>1,即f(x)>1,所以C正确;当01
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10.已知2.4α>2.5α,则α的取值范围是 .
解析:因为0<2.4<2.5,而2.4α>2.5α,所以y=xα在(0,+∞)上单调递减.故α<0.
(-∞,0)
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11.已知点(,2)在幂函数f(x)的图象上,点在幂函数g(x)的图象上,则当x∈ 时,有f(x)>g(x).
解析:设f(x)=xα,g(x)=xβ,由题意,得2=()α,即α=2,-=(-2)β,
即β=-1.所以f(x)=x2,g(x)=x-1.画出f(x)与g(x)的图象如图
所示.
从图中可看出当x<0或x>1时,f(x)>g(x).
(-∞,0)∪(1,+∞)
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12.为了保证信息的安全传输须使用加密方式,有一种方式其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=xα(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是 .
解析:由题目可知加密密钥y=xα(α是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意得2=4α,解得α=,则y=.由=3,得x=9.
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13.(10分)已知幂函数f(x)=(m2+3m-9)xm-1在(0,+∞)上单调递减,m∈R.
(1)求f(x)的解析式;
解:由函数f(x)=(m2+3m-9)xm-1为幂函数得m2+3m-9=1,解得m=2或m=-5,
又函数在(0,+∞)上单调递减,
则m-1<0,即m<1,
所以m=-5,f(x)=x-6=.
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(2)若(2-a>(2a-1,求实数a的取值范围.
解:由(1)得m=-5,所以不等式为(2-a>(2a-1,
设函数g(x)=,则函数g(x)的定义域为(0,+∞),
且函数g(x)在(0,+∞)上单调递减,
所以解得11
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14.(10分)已知幂函数f(x)=(m2-m-1)xm(m∈R),且f(x)图象不过原点.
(1)求出f(x)的表达式,并写出它的单调区间;
解:由m2-m-1=1,解得m=-1或m=2,
又f(x)图象不过原点,故f(x)=,单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞),无单调递增区间.
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(2)记g(x)=f(x)-2ax(a∈R),判断函数g(x)的奇偶性,并证明.
解:函数g(x)是定义域上的奇函数,
证明:g(x)=-2ax,定义域为D={x|x≠0},
任取x∈D,都有-x∈D,即定义域关于原点对称,
又由g(-x)=-+2ax=-g(x),
所以函数g(x)是定义域上的奇函数.课时跟踪检测(二十四) 简单幂函数的图象和性质
(满分80分，选填小题每题5分)
1．在下列函数中，定义域和值域不同的是( )
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x D．y＝x
2．函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是( )
3．函数y＝x－2在区间上的最大值是( )
A. B．－1
C．4 D．－4
4．幂函数y＝f(x)经过点(27,3)，则f(x)是( )
A．偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增
B．偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减
C．奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增
D．奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减
5．函数f(x)＝(a－b)x＋b－3是幂函数，则下列结论正确的是( )
A．f(a)>f(b) B．f(a)C．f(a)＝f(b) D．以上都不对
6．已知幂函数f(x)＝x4－m(m∈N*)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，则m等于( )
A．1 B．2
C．1或3 D．3
7．(多选)下列关于幂函数y＝xα的性质，描述正确的有( )
A．当α＝－1时，函数在其定义域上是减函数
B．当α＝0时，函数图象是一条直线
C．当α＝2时，函数是偶函数
D．当α＝3时，函数有一个零点0
8．已知函数f(x)＝x，若0A．f(a)B．fC．f(a)D．f9．(多选)已知函数f(x)＝xα的图象经过点(4,2)，则下列命题正确的有( )
A．函数为增函数
B．函数为偶函数
C．若x＞1，则f(x)＞1
D．若0＜x1＜x2，则＜f
10．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．
11．已知点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，则当x∈______时，有f(x)>g(x)．
12．为了保证信息的安全传输须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________．
13．(10分)已知幂函数f(x)＝(m2＋3m－9)xm－1在(0，＋∞)上单调递减，m∈R.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若(2－a)>(2a－1)，求实数a的取值范围．
14．(10分)已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm(m∈R)，且f(x)图象不过原点．
(1)求出f(x)的表达式，并写出它的单调区间；
(2)记g(x)＝f(x)－2ax(a∈R)，判断函数g(x)的奇偶性，并证明．
课时跟踪检测(二十四)
1．选D A、C的定义域和值域都是R；B的定义域和值域都是[0，＋∞)；D的定义域是R，值域是[0，＋∞)．故选D.
2．选B 因为y＝x的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的．函数y＝x－1的图象可看作是由y＝x的图象向下平移一个单位长度得到(如选项A中的图所示)，则y＝x－1的图象关于x轴对称的图象即为选项B.
3．选C 因为函数y＝x－2在区间上单调递减，所以当x＝时有最大值4.
4．选C 依题意，设f(x)＝xα，将点(27,3)代入上式，则3＝27α，解得α＝，即f(x)＝x.所以该函数为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故选C.
5．选A ∵f(x)为幂函数，∴
∴∴f(x)＝x，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且a>b>0，∴f(a)>f(b)．
6．选C 因为f(x)＝x4－m在(0，＋∞)上单调递增，所以4－m>0，即m<4.又因为m∈N*，所以m＝1,2,3.又因为f(x)＝x4－m是奇函数，所以4－m是奇数，所以m＝1或m＝3.
7．选CD 对于A选项，y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，不能说在定义域上单调递减，故错误．对于B选项，y＝x0，x≠0，图象是直线y＝1并且除掉点(0,1)，故错误．对于C选项，y＝x2，定义域为R，是偶函数，故正确．对于D选项，y＝x3，只有一个零点0，故正确．故选C、D.
8．选C 因为函数f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递增，又09．选ACD 将点(4,2)代入函数f(x)＝xα，得2＝4α，即α＝.所以f(x)＝x.显然f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数，所以A正确；因为f(x)的定义域为[0，＋∞)，所以f(x)不具有奇偶性，所以B不正确；当x＞1时，＞1，即f(x)＞1，所以C正确；当0＜x1＜x2时，2－2＝2－2＝－＝＝－<0，即10．解析：因为0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，所以y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．故α<0.
答案：(－∞，0)
11．解析：设f(x)＝xα，g(x)＝xβ，由题意，得2＝()α，即α＝2，－＝(－2)β，即β＝－1.所以f(x)＝x2，g(x)＝x－1.画出f(x)与g(x)的图象如图所示．从图中可看出当x<0或x>1时，f(x)>g(x)．
答案：(－∞，0)∪(1，＋∞)
12．解析：由题目可知加密密钥y＝xα(α是常数)是一个幂函数模型，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值．由题意得2＝4α，解得α＝，则y＝x.由x＝3，得x＝9.
答案：9
13．解：(1)由函数f(x)＝(m2＋3m－9)xm－1为幂函数得m2＋3m－9＝1，解得m＝2或m＝－5，又函数在(0，＋∞)上单调递减，则m－1<0，即m<1，
所以m＝－5，f(x)＝x－6＝.
(2)由(1)得m＝－5，
所以不等式为(2－a)－>(2a－1)－，
设函数g(x)＝x－，则函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以解得114．解：(1)由m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2，又f(x)图象不过原点，故f(x)＝，单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，无单调递增区间．
(2)函数g(x)是定义域上的奇函数，
证明：g(x)＝－2ax，定义域为D＝{x|x≠0}，任取x∈D，都有－x∈D，即定义域关于原点对称，又由g(－x)＝－＋2ax＝－g(x)，所以函数g(x)是定义域上的奇函数．
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