第二章 函数 阶段质量评价(二)　函数（含解析）高中数学北师大版（2019）必修 第一册

阶段质量评价(二)　函数
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)
1．下列函数中，既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝－x2＋1 B．y＝
C．y＝x3 D．y＝
2．下列图象中，以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数是(　　)
3．已知幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不过原点，则实数m的取值为(　　)
A．1 B．2
C．－2 D．1或2
4．函数y＝＋1的值域为(　　)
A．(0，＋∞) B．[1，＋∞)
C．[0，＋∞) D．[4，＋∞)
5．若f(x)满足关系式f(x)＋2f＝3x，则f(2)＝(　　)
A．1 B．－1
C．－ D.
6．已知函数f(x)＝x＋(x>－2)，则(　　)
A．f(x)有最小值－1 B．f(x)有最大值－1
C．f(x)有最小值3 D．f(x)有最大值3
7．已知函数f(x＋1)是偶函数，当10恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aC．b8．若偶函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝0，则不等式 ＜0的解集为(　　)
A．(－2,2) 　 B．(－2,0)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 　 D．(－∞，－2)∪(0,2)
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．)
9．已知f(x)＝ ，则(　　)
A．f(－x)＝f(x) B．f＝f(x)
C．f＝－f(x) D．f＝－f(x)
10．f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中正确的是(　　)
A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)＋f(x)＝2f(x)
C．f(－x)·f(x)≤0 D.＝－1
11．对于函数f(x)＝，以下结论正确的是(　　)
A．f(x)的定义域为R
B．f(x)值域为R
C．f(x)是偶函数
D．f(x)在(－∞，0]上单调递减
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．)
12．函数f(x)＝＋的定义域为__________．
13．已知[x]为不超过x的最大整数，若函数f(x)＝[x]，x∈(a，b)，f(x)的值域为{－1,0,1,2}，则b－a的最大值为__________．
14．已知函数f(x)满足：①定义域为R；②对任意x∈R，有f(x＋2)＝2f(x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝－|x|＋1.则f(2 022)＝________.
四、解答题(本大题共5小题，共77分．)
15．(13分)已知二次函数f(x)的最大值为2，且f(0)＝f(2)＝0.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(x)在区间[2m, m＋3]上不单调，求实数m的取值范围．
16．(15分)已知幂函数f(x)＝x(m∈N*)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数还经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．
17．(15分)已知函数f(x)＝为奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)求证：f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增；
(3)若对任意的x1，x2∈[2,4]，都有f(x1)－f(x2)≤m2－2m－2，求实数m的取值范围．
18．(17分)某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4 200元/米2，在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.
(1)设AD的长为x米，试写出总造价Q(单位：元)关于x的函数解析式；
(2)当x取何值时，总造价最少？求出这个最小值．
19.(17分)设函数g(x)＝＋1，函数h(x)＝，x∈(－3，a]，其中a为常数且a＞0，令函数f(x)＝g(x)h(x)．
(1)求函数f(x)的表达式，并求其定义域．
(2)当a＝时，求函数f(x)的值域．
(3)是否存在自然数a，使得函数f(x)的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合；若不存在，试说明理由.
阶段质量评价(二)
1．选C　对于A，是偶函数，不满足要求；对于B，是奇函数，但在(0，＋∞)上单调递减；对于C，是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增；对于D，是非奇非偶函数．
2．选C　对于A，其对应函数的值域不是N＝{y|0≤y≤1}，错误；对于B，图象中存在一部分与x轴垂直，即此时x对应的y值不唯一，该图象不是函数的图象，错误；对于C，其对应函数的定义域是M＝{x|0≤x≤1}，值域是N＝{y|0≤y≤1}，正确；对于D，图象不满足一个x对应唯一的y，该图象不是函数的图象，错误．故选C.
3．选D　由题意可知，解得m＝1或m＝2，经检验，符合题意．
4．选D　因为x2＋9≥9，所以≥3.所以＋1≥4，即函数y＝＋1的值域为[4，＋∞)．故选D.
5．选B　∵f(x)满足关系式f(x)＋2f＝3x，∴①－②×2得－3f(2)＝3.∴f(2)＝－1.故选B.
6．选C　∵x>－2，∴x＋2>0.∴f(x)＝x＋＝(x＋2)＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＋2＝，即x＝－1时取等号．∴f(x)有最小值3，无最大值. 故选C.
7．选D　∵函数f(x＋1)是偶函数，∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，则f＝f.∵当10，∴函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．则f(2)8．选B　∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．又f(－2)＝f(2)＝0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f(x)在(－∞，0)上单调递增．∴＝＜0，∴xf(x)＜0，即或解得x＞2或－2＜x＜0.∴不等式＜0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)．
9．选ACD　f(－x)＝＝＝f(x)，A正确；f＝ ＝＝－f(x)，B错误，C正确；f＝ ＝＝－f(x)，D正确．
10．选AC　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0，则f(－x)＋f(x)＝0，所以A正确，B错误；又f(－x)·f(x)＝－[f(x)]2≤0，所以正确；因为当x＝0时，f(0)＝0，此时式子无意义，所以D错误．故选AC.
11．选ACD　∵f(x)＝，∴对于x∈R，f(x)＝都有意义，∴f(x)的定义域为R.又∵f(－x)＝＝＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
当x≥0时，f(x)＝＝x，当x<0时，图象与x≥0时的图象关于y轴对称，作出函数图象，如图所示，易知f(x)在(－∞，0]上单调递减，且值域为[0，＋∞)．故选A、C、D.
12．解析：要使原函数有意义，则解得x≥1且x≠2.∴函数f(x)＝＋的定义域为[1,2)∪(2，＋∞)．
答案：[1,2)∪(2，＋∞)
13．解析：由题意，知b最大取到3，a最小取到－1.所以b－a的最大值为3－(－1)＝4.
答案：4
14．解析：∵f(x＋2)＝2f(x)，∴f(2 022)＝f(2 020＋2)＝2f(2 020)＝2f(2 018＋2)＝22f(2 018)＝…，即有f(0＋2×1 011)＝21 011f(0)＝21 011.
答案：21 011
15．解：(1)∵二次函数f(x)的最大值为2，且f(0)＝f(2)＝0，∴函数f(x)的对称轴方程为x＝1.设f(x)＝a(x－1)2＋2，
∵f(0)＝0，∴a＝－2.∴f(x)＝－2(x－1)2＋2＝－2x2＋4x.
(2)要使f(x)在区间[2m, m＋3]上不单调，则2m＜1＜m＋3，解得－2＜m＜.
故实数m的取值范围为.
16．解：(1)因为m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，所以m与m＋1中必定有一个偶数．
所以m2＋m为偶数．
所以函数f(x)＝x(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，且该函数在其定义域上为增函数．
(2)因为函数f(x)经过点(2，)，
所以＝2，即2＝2，所以m2＋m＝2，即m2＋m－2＝0，解得m＝1或m＝－2.
又因为m∈N*，所以m＝1.
因为f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
所以由f(2－a)＞f(a－1)，
得解得1≤a＜.
故实数a的取值范围是.
17．解：(1)由f(x)为奇函数，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，可得f(－1)＝－f(1)，
即－(1－a＋4)＝－(1＋a＋4)，解得a＝0，
此时f(x)＝x＋，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝－x－＝－f(x)，满足f(x)为奇函数．
(2)证明：对任意x1，x2∈[2，＋∞)，x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝.
由2≤x1＜x2，可得x1x2＞4，x1－x2＜0，则f(x1)－f(x2)＜0，则f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增．
(3)由f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，
可得对任意x1，x2∈[2,4]，f(x1)－f(x2)≤f(4)－f(2)＝1，
则m2－2m－2≥1，解得m≤－1或m≥3，即实数m的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
18．解：(1)设AM＝y，又AD＝x，
则x2＋4xy＝200，∴y＝.
故Q＝4 200x2＋210×4xy＋80×2y2＝38 000＋4 000x2＋(0(2)令t＝x2，则Q＝38 000＋4 000，且0故当x＝时，Qmin＝118 000(元)．
19．解：(1)f(x)＝，其定义域为[0，a]．
(2)当a＝时，令t＝＋1，
则t∈，且x＝(t－1)2，
所以y＝f(t)＝＝，
所以y＝.
因为y1＝t－2＋在上单调递减，所以f(t)＝在上单调递增，即此时f(x)的值域为.
(3)令t＝＋1，则t∈[1,1＋ ]且x＝(t－1)2，所以y＝.因为y1＝t－2＋在[1,2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以y＝在[1,2]上单调递增，在[2,1＋ ]上单调递减．
当t＝2时，的最大值为，
所以a≥1，又1＜t≤2时，＜，
又f(x)的值域恰为，
所以由＝，解得t＝1或t＝4，
即f(x)的值域恰为时，1＋≤4 0＜a≤9，故自然数a的取值集合为{1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
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