(共53张PPT)
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指数幂的运算性质
(教学方式:深化学习课 梯度进阶式教学)
课时目标
1.掌握指数幂的运算性质及应用.
2.能准确熟练的进行根式、指数式的相互转化.
3.能够熟练地利用性质进行代数式的化简与求值.
CONTENTS
目录
1
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课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
对于任意正数a,b和实数α,β,实数指数幂均满足下面的运算性质:
(1)aα·aβ=_______;(2)(aα)β=______;
(3)(ab)α=________.
aα+β
aαβ
aαbα
|微|点|助|解|
(1)除上述运算性质外,还有如下性质:
①ar÷as=ar-s(a>0,r,s∈Q);②=(a>0,b>0,r∈Q).
(2)有理数指数幂的几个常见结论:
①当a>0时,ab>0;
②当a≠0时,a0=1,而当a=0时,a0无意义;
③若ar=as(a>0,且a≠1),则r=s;
④乘法公式仍适用于分数指数幂,如:(+)(-)=()2-()2=
a-b(a>0,b>0).
基础落实训练
1.下列运算结果中,正确的是( )
A.a2·a3=a5 B.(-a2)3=(-a3)2
C.(-1)0=1 D.(-a2)3=a6
解析:a2·a3=a2+3=a5,故A正确;(-a2)3=-a6,(-a3)2=a6,故B、D错误;当a=1时无意义,故C错误.
√
2.计算的结果是( )
A.π B.
C.-π D.
√
3.若10x=3,10y=4,则1= .
解析:∵10x=3,∴102x=9.∴102x-y==.
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 利用指数幂的运算性质求值
[例1] 计算下列各式:
(1)3π×+(+= ;
解析:原式=++1=1π+24+1=18.
18
(2)+22×-×= ;
解析:原式=1+4×-×=1+6-×=7-=.
(3)= .
解析:原式==29×32=4 608.
4 608
|思|维|建|模|
指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的,无括号先进行指数运算.
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.
(3)底数是小数,先要化成分数;底数是带分数,要先化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,以便于运用指数幂的运算性质.
针对训练
1.计算下列各式:
(1)+2-2×-(0.01)0.5;
解:原式=1+×-=1+-=.
(2)+0.1-2+-3π0+;
解:原式=++-3+
=+100+-3+=100.
(3)(0.064-++16-0.75+.
解:原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3+0.1
=-1+++=.
题型(二) 利用指数幂的运算性质化简
[例2] 化简:= (a,b>0).
解析:原式=
====a-1=.
[例3] 化简:2(-3)÷(-6)= (x,y>0).
解析:原式=[2×(-3)÷(-6)]=x2y.
x2y
|思|维|建|模|
指数式的化简、求值问题的解题思路
(1)无论是化简还是求值,一般的运算顺序是先乘方,再乘除,最后加减.
(2)仔细观察式子的结构特征,确定运算层次,避免运用运算性质时出错.
针对训练
2. 化简(a,b为正数)的结果是( )
A. B.ab C. D.a2b
解析:原式==·=. 故选C.
√
3.化简求值:÷ (a>0).
解:原式=[×]÷[×]=a0=1.
题型(三) 指数幂运算中的条件求值
[例4] 已知+=3,求下列各式的值:
(1)a+a-1;
解:将+=3两边平方,
得a+a-1+2=9,即a+a-1=7.
(2)a2+a-2;
解:将a+a-1=7两边平方,
可得a2+a-2+2=49,∴a2+a-2=47.
(3).
解:∵+=()3+()3
=(+)(a-·+a-1)
=3(a+a-1-1)=3(7-1)=18,
而a2+a-2=47,
∴原式===3.
|思|维|建|模|
(1)对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母取值代入求值.但有时字母的取值不知道或不易求出,这时可将所求代数式进行适当变形,构造出能用已知条件表示的结构,从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值.
(2)利用“整体代入法”求值常用的变形公式(其中a>0,b>0):
①a±2+b=(±)2;
②(+)(-)=a-b;
③+=(+)(a-+b);
④-=(-)(a++b).
针对训练
4.已知10m=2,10n=4,则1的值为( )
A.2 B.
C. D.2
解析:1====.
√
5.已知a2x=+1,则=( )
A.2-1 B.2-2
C.2+1 D.+1
解析:令ax=t,则t2=+1,所以===t2+t-2-1=+1+-1=+1+-1-1=2-1.
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课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.若102x=25,则10-x=( )
A.- B.
C. D.
解析:102x=(10x)2=25,∵10x>0,∴10x=5,10-x==.
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2.设a>0,则下列运算正确的是 ( )
A.=a B.=0
C.a÷= D.=a
解析:易知A正确;对于选项B,=a0=1,B错误;对于选项C,a÷=,C错误;对于选项D,==,D错误.
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3.设2a=5b=m,且+=2,则m=( )
A. B.10
C.20 D.100
解析:∵2a=m,5b=m,∴2=,5=,∴2×5=·=.又+=2,∴m2=10,∴m=或m=-(舍去).
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4.(多选)下列式子中,正确的是 ( )
A.(27a3÷0.3a-1=10a2 B.(-)÷(+)=-
C.[(2+3)2(2-3)2=-1 D.=
√
√
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解析:对于A,原式=3a÷0.3a-1==10a2,A正确;对于B,原式=
=-,B正确;对于C,原式=[(3+2)2(3-2)2=(3+2)(3-2)=1.这里注意3>2,(a≥0)是正数,C错误;对于D,原式= = ==,
D正确.
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5.若0
0,且ab+a-b=2,则ab-a-b等于( )
A. B.2或-2
C.-2 D.2
解析:由ab+a-b=2,得(ab+a-b)2=a2b+a-2b+2=8.因此a2b+a-2b=6,所以(ab-a-b)2=
a2b+a-2b-2=4.由题意得01,故ab-a-b<0,所以ab-a-b=-2.故选C.
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6.设α,β是方程5x2+10x+1=0的两个根,则2α·2β= ,(2α)β= .
解析:利用一元二次方程根与系数的关系,得α+β=-2,αβ=.则2α·2β==2-2=,(2α)β=2αβ=.
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7.计算:(0.008 1-×-10×= .
解析:原式=-3×-3=-.
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8.碳14是一种著名的放射性物质,像铀235、锶90、碘131、铯137、镭226等也都是放射性物质.放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量,发出射线的物质.在一个给定的单位时间内,放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况,这个时间被称做半衰期.则在连续两个半衰期里,放射性物质将衰减为原有物质的 .
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解析:根据题意可知,一个半衰期里放射性物质衰减为原来的,则连续两个半衰期里,放射性物质将衰减为原来的=.
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9.(8分)计算下列各式的值:
(1)(a>0);
解:原式==a0=1.
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(2);
解:原式===π.
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(3)(-3)(4)÷(-2);
解:原式=[-3×4÷(-2)]×·=6a0b0=6.
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(4)(+)(-)(+).
解:原式=[()2-()2](+)=(-)(+)=(-)(+)=()2-()2=x-y.
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10.(10分)(1)化简:--π0;
解:原式=(0.064-0.5--1=--1=0.
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(2)已知x-=1,且x>0,求--的值.
解:由x-=1,且x>0,可得x2=x+1,则--=--=(x+)--=x-==1.
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B级——重点培优
11.,,这三个数的大小关系为 ( )
A.<< B.<<
C.<< D.<<
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解析:===,===,=.因为<<,所以<<.
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12.已知正数a,b满足×=3,则3a+2b的最小值为( )
A.10 B.12 C.18 D.24
解析:因为×=×==3,所以+=1.因为a,b为正数,所以3a+2b=(3a+2b)·=12++≥12+2=24,当且仅当=时,即a=4,b=6时,等号成立.所以3a+2b的最小值为24.
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13.已知a2m+n=2-2,am-n=28(a>0,且a≠1),则a4m+n的值为 .
解析:因为 所以①×②得a3m=26.所以am=22.将am=22代入②得22·a-n=28,所以an=2-6.所以a4m+n=·an=(am)4·an=(22)4·2-6=
22=4.
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14.(14分)对于正整数a,b,c(a≤b≤c)和非零实数x,y,z,ω,有ax=by=cz=70ω,=++,求a,b,c的值.
解:∵ax=70ω,且x,ω为非零实数,∴=7.
同理可得=,=.
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∴··=7··7,即=7.
又++=,a,b,c为正整数,
∴abc=70=2×5×7.∵a≤b≤c,∴a=2,b=5,c=7.§2 指数幂的运算性质 (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．掌握指数幂的运算性质及应用．
2.能准确熟练的进行根式、指数式的相互转化．
3．能够熟练地利用性质进行代数式的化简与求值．
对于任意正数a，b和实数α，β，实数指数幂均满足下面的运算性质：
(1)aα·aβ＝________；
(2)(aα)β＝________；
(3)(ab)α＝________.
|微|点|助|解|
(1)除上述运算性质外，还有如下性质：
①ar÷as＝ar－s(a＞0，r，s∈Q)；②r＝(a＞0，b＞0，r∈Q)．
(2)有理数指数幂的几个常见结论：
①当a＞0时，ab＞0；
②当a≠0时，a0＝1，而当a＝0时，a0无意义；③若ar＝as(a＞0，且a≠1)，则r＝s；
④乘法公式仍适用于分数指数幂,如:(+)(-)=()2-()2=a-b(a>0,b>0).
基础落实训练
1.下列运算结果中，正确的是( )
A．a2·a3＝a5 B．(－a2)3＝(－a3)2
C．(－1)0＝1 D．(－a2)3＝a6
2．计算的结果是( )
A．π B.
C．－π D.
3．若10x＝3,10y＝4，则102x－y＝________.
题型(一) 利用指数幂的运算性质求值
[例1] 计算下列各式：
(1)3π×+(+= ;
(2)+22×-×= ;
(3)= .
听课记录：
|思|维|建|模|
指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，以便于运用指数幂的运算性质．
[针对训练]
1．计算下列各式：
(1)+2-2×-(0.01)0.5;
(2)+0.1-2+-3π0+;
(3)(0.064-++16-0.75+.
题型(二) 利用指数幂的运算性质化简
[例2] 化简：:＝________(a，b＞0)．
听课记录：
[例3] 化简:2(-3)÷(-6)= (x,y>0).
听课记录：
|思|维|建|模|
指数式的化简、求值问题的解题思路
(1)无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减．
(2)仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算性质时出错．
[针对训练]
2. 化简 (a，b为正数)的结果是( )
A. B．ab
C. D．a2b
3．化简求值：÷ (a>0)．
题型(三) 指数幂运算中的条件求值
[例4] 已知a＋a－＝3，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；
(2)a2＋a－2；
(3)
听课记录：
|思|维|建|模|
(1)对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式进行适当变形，构造出能用已知条件表示的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．
(2)利用“整体代入法”求值常用的变形公式(其中a＞0，b＞0)：
①a±2+b=(±)2;
②(+)(-)=a-b;
③+=(+)(a-+b);
④-=(-)(a++b).
[针对训练]
4．已知10m＝2,10n＝4，则1的值为( )
A．2 B.
C. D．2
5．已知a2x＝＋1，则= ( )
A．2－1 B．2－2
C．2＋1 D.＋1
指数幂的运算性质
课前预知教材
(1)aα＋β (2)aα β (3)aαbα
[基础落实训练] 1.A 2.D 3.
课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解析:(1)原式=++1=1π+24+1=18.
(2)原式=1+4×-×=1+6-×=7-=.
(3)原式==29×32=4 608.
答案:(1)18 (2) (3)4 608
[针对训练]
1．解:(1)原式=1+×-=1+-=.
(2)原式=++-3+=+100+-3+=100.
(3)原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3+0.1=-1+++=.
[题型(二)]
[例2] 解析:原式=
====a-1=.
答案:
[例3] 解析：原式=[2×(-3)÷(-6)]=x2y.
答案:x2y
[针对训练]
2．选C 原式==·=. 故选C.
3．解：原式=[×]÷[×]=a0=1.
[题型(三)]
[例4] 解:(1)将+=3两边平方,
得a+a-1+2=9,即a+a-1=7.
(2)将a+a-1=7两边平方,
可得a2+a-2+2=49,∴a2+a-2=47.
(3)∵+=()3+()3
=(+)(a-·+a-1)
=3(a+a-1-1)=3(7-1)=18,
而a2+a-2=47,
∴原式===3.
[针对训练]
4．选B 1====.
5．选A 令ax=t,则t2=+1,所以===t2+t-2-1=+1+-1=+1+-1-1=2-1.
1 / 5课时跟踪检测(二十六) 指数幂的运算性质
(满分90分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．若102x＝25，则10－x＝( )
A．－ B.
C. D.
2．设a>0，则下列运算正确的是( )
A.4＝a B．aa－＝0
C．a÷a＝a D．aa＝a
3．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝( )
A. B．10
C．20 D．100
4．(多选)下列式子中，正确的是( )
A．(27a3)÷0.3a－1＝10a2
B．(a－b)÷(a＋b)＝a－b
C．[(2＋3)2(2－3)2]＝－1
D.＝
5．若0＜a＜1，b＞0，且ab＋a－b＝2，则ab－a－b等于( )
A. B．2或－2
C．－2 D．2
6．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝______，(2α)β＝______.
7．计算：(0.008 1)－－×－－10×＝________.
8．碳14是一种著名的放射性物质，像铀235、锶90、碘131、铯137、镭226等也都是放射性物质．放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量，发出射线的物质．在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减．一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期．则在连续两个半衰期里，放射性物质将衰减为原有物质的________．
9．(8分)计算下列各式的值：
(1)aaa－(a>0)；
(2)；
(3)(－3ab－)(4a－b)÷(－2a－b)；
(4)(x＋y)(x－y)(＋)．
10．(10分)(1)化简：－－π0；
(2)已知x－＝1，且x>0，求－x－的值．
B级——重点培优
11．2，3，6这三个数的大小关系为 ( )
A．6<3<2 B．6<2<3
C．2<3<6 D．3<2<6
12．已知正数a，b满足×＝3，则3a＋2b的最小值为( )
A．10 B．12
C．18 D．24
13．已知a2m＋n＝2－2，am－n＝28(a＞0，且a≠1)，则a4m＋n的值为________．
14．(14分)对于正整数a，b，c(a≤b≤c)和非零实数x，y，z，ω，有ax＝by＝cz＝70ω，＝＋＋，求a，b，c的值．
课时跟踪检测(二十六)
1．选B 102x＝(10x)2＝25，∵10x>0，∴10x＝5,10－x＝＝.
2．选A 易知A正确；对于选项B，aa－＝a0＝1，B错误；对于选项C，a÷a＝a，C错误；对于选项D，aa＝a＋＝a，D错误．
3．选A ∵2a＝m,5b＝m，∴2＝m，5＝m，∴2×5＝m·m＝m＋.
又＋＝2，∴m2＝10，
∴m＝或m＝－(舍去)．
4．选ABD 对于A，原式＝3a÷0.3a－1＝＝10a2，A正确；对于B，原式＝＝a－b，B正确；对于C，原式＝[(3＋2)2(3－2)2]＝(3＋2)(3－2)＝1.这里注意3＞2，a(a≥0)是正数，C错误；对于D，原式＝ ＝ ＝a＝，D正确．
5．选C 由ab＋a－b＝2，得(ab＋a－b)2＝a2b＋a－2b＋2＝8.因此a2b＋a－2b＝6，所以(ab－a－b)2＝a2b＋a－2b－2＝4.由题意得0＜ab＜1，a－b＞1，故ab－a－b＜0，所以ab－a－b＝－2.故选C.
6．解析：利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2αβ＝2.
答案： 2
7．解析：原式＝－3×－－3＝－.
答案：－
8．解析：根据题意可知，一个半衰期里放射性物质衰减为原来的，则连续两个半衰期里，放射性物质将衰减为原来的2＝.
答案：
9．解：(1)原式＝a＋－＝a0＝1.
(2)原式＝＝＝π.
(3)原式＝[－3×4÷(－2)]×a－＋·b－＋－＝6a0b0＝6.
(4)原式＝[(x)2－(y)2](＋)
＝(x－y)(＋)
＝(－)(＋)
＝()2－()2＝x－y.
10．解：(1)原式＝(0.064－0.5)－－1＝－－1＝0.
(2)由x－＝1，且x>0，可得x2＝x＋1，
则－x－＝－x－＝(x＋x)－x－＝x－＝＝1.
11．选B 2＝2＝＝，3＝3＝＝，6＝.因为<<，所以6<2<3.
12．选D 因为×＝3×3＝3＋＝3，所以＋＝1.因为a，b为正数，所以3a＋2b＝(3a＋2b)·＝12＋＋≥12＋2＝24，当且仅当＝时，即a＝4，b＝6时，等号成立．所以3a＋2b的最小值为24.
13．解析：因为所以①×②得a3m＝26.所以am＝22.将am＝22代入②得22·a－n＝28，所以an＝2－6.所以a4m＋n＝a4m·an＝(am)4·an＝(22)4·2－6＝22＝4.
答案：4
14．解：∵ax＝70ω，且x，ω为非零实数，∴a＝70.
同理可得b＝70，c＝70.
∴a·b·c＝70·70·70，
即(abc)＝70＋＋.
又＋＋＝，a，b，c为正整数，
∴abc＝70＝2×5×7.
∵a≤b≤c，∴a＝2，b＝5，c＝7.
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