3．1 指数函数的概念 (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
[课时目标]
1．通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．会从形式上判断一个函数是否是指数函数．
2．会从实际问题中抽象出指数函数模型并能解决相应问题．
逐点清(一) 指数函数的概念
[多维理解]
1．指数函数的定义
根据指数幂的定义，当给定正数a，且a≠1时，对于任意的实数x，都有唯一确定的正数y＝ax与之对应．因此________是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数．
2．指数函数y＝ax的基本性质
(1)定义域是________，函数值________；
(2)图象过定点________．
|微|点|助|解|
指数函数有4个特点
(1)定义域必须是R；
(2)自变量是x，x位于指数位置上，且指数位置上只有x这一项；
(3)指数式只有一项，并且指数式的系数为1，例如y＝5·ax(a>0且a≠1)不是指数函数；
(4)底数a的范围必须是a>0且a≠1.
[微点练明]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)y＝x2是指数函数．( )
(2)指数函数y＝ax中，a可以为负数．( )
(3)y＝2x－1是指数函数．( )
2．函数y＝(a－2)ax是指数函数，则( )
A．a＝1或a＝3 B．a＝1
C．a＝3 D．a＞0且a≠1
3．给出下列函数：①y＝4x；②y＝x4；③y＝－4x；④y＝(－4)x；⑤y＝πx；⑥y＝4x2；⑦y＝xx；⑧y＝(2a－1)x.其中为指数函数的有________(填序号)．
逐点清(二) 求指数函数的解析式或值
[多维理解]
(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．
(2)求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式．
[微点练明]
1．已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，且f(1)＝2，则f(0)＋f(2)＝( )
A．4 B．5 C．6 D．8
2．若函数f(x)＝·ax是指数函数，则f的值为( )
A．－2 B．2 C．－2 D．2
3.如图所示，面积为8的平行四边形OABC的对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E.若指数函数y＝ax(a>1)的图象经过点E，B，则a等于( )
A. B.
C．2 D．3
4．已知函数f(x)是指数函数，且f＝，则f(3)＝________.
逐点清(三) 指数增长与衰减的应用
在实际问题中，经常遇到指数增长模型，形如y＝kax(k∈R，且k≠0，a>0，且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型．
[典例] 某地2022年年底人口数为500万，人均住房面积为6平方米，若该地区人口数的年平均增长率为1%，要使2032年年底该地区人均住房面积至少为7平方米，则平均每年新增住房面积至少为________万平方米(精确到1万平方米；参考数据：1.019≈1.093 7,1.0110≈1.104 6，1.0111≈1.115 7)．
听课记录：
|思|维|建|模|
(1)由特殊到一般的归纳方法是探究增长型函数问题常用的手段．
(2)在实际问题中，对于平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值或总产量y，可以用公式y＝N(1＋p)x表示．
[针对训练]
一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%，10年后森林面积变为.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的.已知到今年为止，森林面积为a.
(1)求p%的值．
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
指数函数的概念
[逐点清(一)]
[多维理解]
1．y＝ax 2.(1)R 大于0 (2)(0,1)
[微点练明]
1．(1)× (2)× (3)× 2.C 3.①⑤⑧
[逐点清(二)]
1．B 2.B 3.A 4.125
[逐点清(三)]
[典例] 解析：设平均每年新增住房面积为x万平方米，则≥7，解得x≥86.61≈87(万平方米)．
答案：87
[针对训练]
解:(1)由题意得a(1-p%)10=,
即(1-p%)10=,解得p%=1-.
(2)设经过m年森林面积为a,则a(1-p%)m=a,即=,得=,
解得m=5.故到今年为止,已砍伐了5年.
(3)设从今年开始,n年后森林面积为a·(1-p%)n,
令a(1-p%)n≥a,
即(1-p%)n≥,
≥,得≤,解得n≤15,
故今后最多还能砍伐15年.
1 / 3(共45张PPT)
3.1
指数函数的概念
(教学方式:基本概念课—逐点理清式教学)
课时目标
1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.会从形式上判断一个函数是否是指数函数.
2.会从实际问题中抽象出指数函数模型并能解决相应问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 指数函数的概念
逐点清(二) 求指数函数的解析式或值
逐点清(三) 指数增长与衰减的应用
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 指数函数的概念
01
多维理解
1.指数函数的定义
根据指数幂的定义,当给定正数a,且a≠1时,对于任意的实数x,都有唯一确定的正数y=ax与之对应.因此_____是一个定义在实数集上的函数,称为指数函数.
y=ax
2.指数函数y=ax的基本性质
(1)定义域是____,函数值________;
(2)图象过定点______.
R
大于0
(0,1)
|微|点|助|解|
指数函数有4个特点
(1)定义域必须是R;
(2)自变量是x,x位于指数位置上,且指数位置上只有x这一项;
(3)指数式只有一项,并且指数式的系数为1,例如y=5·ax(a>0且a≠1)不是指数函数;
(4)底数a的范围必须是a>0且a≠1.
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)y=x2是指数函数. ( )
(2)指数函数y=ax中,a可以为负数. ( )
(3)y=2x-1是指数函数. ( )
微点练明
×
×
×
2.函数y=(a-2)ax是指数函数,则 ( )
A.a=1或a=3 B.a=1
C.a=3 D.a>0且a≠1
解析:若函数y=(a-2)ax是指数函数,则a-2=1,a>0,且a≠1,解得a=3,故选C.
√
3.给出下列函数:
①y=4x;②y=x4;③y=-4x;④y=(-4)x;⑤y=πx;⑥y=;⑦y=xx;
⑧y=(2a-1)x.
其中为指数函数的有 (填序号).
①⑤⑧
解析:对于③,-4x是-1与4x的乘积,故③不是指数函数;对于④,底数-4<0,故④不是指数函数;对于⑥,指数不是自变量x,而是x的函数x2,故⑥不是指数函数;对于②、⑦,底数x不是常数,故②、⑦不是指数函数.由指数函数的概念可知,①⑤⑧是指数函数.
逐点清(二)
求指数函数的解析式或值
02
多维理解
(1)求指数函数的解析式时,一般采用待定系数法,即先设出函数的解析式,然后利用已知条件,求出解析式中的参数,从而得到函数的解析式,其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键.
(2)求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式.
1.已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),且f(1)=2,则f(0)+f(2)= ( )
A.4 B.5
C.6 D.8
解析:由f(1)=2 a=2 f(x)=2x,所以f(0)+f(2)=20+22=5.
√
2.若函数f(x)=·ax是指数函数,则f的值为( )
A.-2 B.2
C.-2 D.2
解析:因为函数f(x)=·ax是指数函数,所以a-1=1,a>0,且a≠1,即a=4.所以f(x)=4x.则f==2.
√
3.如图所示,面积为8的平行四边形OABC的对角线AC⊥CO,AC与BO交于点E.若指数函数y=ax(a>1)的图象经过点E,B,则a等于 ( )
A. B.
C.2 D.3
√
解析:设点C(0,m)(m>0),则由已知条件可得A,E,B.因为点E,B在指数函数y=ax(a>1)的图象上,所以解得m=2,所以a=-(舍去)或a=.
4.已知函数f(x)是指数函数,且f=,则f(3)= .
解析:设f(x)=ax(a>0,且a≠1),则f===,得a=5,故f(x)=5x.因此,f(3)=53=125.
125
逐点清(三) 指数增长与衰减的应用
03
在实际问题中,经常遇到指数增长模型,形如y=kax(k∈R,且k≠0,a>0,且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型.
[典例] 某地2022年年底人口数为500万,人均住房面积为6平方米,若该地区人口数的年平均增长率为1%,要使2032年年底该地区人均住房面积至少为7平方米,则平均每年新增住房面积至少为 万平方米(精确到1万平方米;参考数据:1.019≈1.093 7,1.0110≈1.104 6,1.0111≈1.115 7).
解析:设平均每年新增住房面积为x万平方米,则≥7,解得x≥86.61≈87(万平方米).
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|思|维|建|模|
(1)由特殊到一般的归纳方法是探究增长型函数问题常用的手段.
(2)在实际问题中,对于平均增长率的问题,如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值或总产量y,可以用公式y=N(1+p)x表示.
针对训练
一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为.为保护生态环境,所剩森林面积至少要为原面积的.已知到今年为止,森林面积为a.
(1)求p%的值.
解:由题意得a(1-p%)10=, 即(1-p%)10=,解得p%=1-.
(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年
解:设经过m年森林面积为a,则a(1-p%)m=a,即=,得=,
解得m=5.故到今年为止,已砍伐了5年.
(3)今后最多还能砍伐多少年
解:设从今年开始,n年后森林面积为a·(1-p%)n,
令a(1-p%)n≥a,即(1-p%)n≥,
≥,得≤,解得n≤15,
故今后最多还能砍伐15年.
课时跟踪检测
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1.下列函数为指数函数的是 ( )
A.y=2·3x B.y=-3x
C.y=5x D.y=1x
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√
2.函数f(x)=(2a-3)ax是指数函数,则f(1)= ( )
A.8 B.
C.4 D.2
解析:∵函数f(x)=(2a-3)ax是指数函数,∴2a-3=1,a>0,且a≠1.解得a=2.∴f(x)=2x.∴f(1)=2.故选D.
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3.若函数y=(2a-1)x是指数函数,则a的取值范围是 ( )
A.(0,1)∪(1,+∞) B.[0,1)∪(1,+∞)
C.∪(1,+∞) D.
解析:易知解得a>且a≠1.故选C.
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4.函数f(x)=ax(a>0且a≠1),对于任意实数x,y都有 ( )
A.f(xy)=f(x)f(y) B.f(xy)=f(x)+f(y)
C.f(x+y)=f(x)f(y) D.f(x+y)=f(x)+f(y)
解析: f(x+y)==axay=f(x)f(y).故选C.
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√
5.某种细菌在培养过程中,每15 min分裂一次(由1个分裂成2个),这种细菌由1个分裂成4 096个需经过 ( )
A.12 h B.4 h
C.3 h D.2 h
解析:设需经过x次分裂,则2x=4 096,解得x=12.所以所需时间t==3(h).
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√
6.已知一种产品的成本是a元,今后m年,计划使成本平均每年比上一年降低p%,成本y是经过年数x(0
A.y=a(1+p%)x(0C.y=a(p%)x(0解析:∵产品的成品是a元,1年后,成本为a-p%·a=a(1-p%);2年后,成本为a(1-p%)-a(1-p%)·p%=a(1-p%)2;…,∴x年后,成本y=a(1-p%)x(016
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7.已知函数f(x)=+2,则f(1)与f(-1)的大小关系是( )
A.f(1)>f(-1) B.f(1)C.f(1)=f(-1) D.不确定
解析:∵f(x)=+2,∴f(1)=+2=,f(-1)=+2=4.∵<4,∴f(1)16
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8.已知f(x)=3x,g(x)=9x,若f(a)g(b)=,则下列各式正确的是( )
A.a+b=-1 B.a+b=1
C.a+2b=-1 D.a+2b=1
解析:由3a·9b=知3a·32b=3-1.即a+2b=-1.
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9.已知函数f(x)=,则对任意实数x,有( )
A.f(-x)+f(x)=1 B.f(-x)-f(x)=0
C.f(-x)+f(x)=0 D.f(-x)-f(x)=-1
解析:因为f(x)=,所以f(-x)+f(x)=+=+=1.故A正确,C错误;f(-x)-f(x)=-=-==-1,不是常数,故B、D错误.
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10.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中,t min后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent,假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m min甲桶中的水只有升,则m的值为( )
A.10 B.9
C.8 D.5
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解析:由题设可得方程组由2ae5n=a e5n=,代入ae(m+5)n= emn=,联立两个等式可得解得m=5.故选D.
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11.已知指数函数f(x)=(2b-3)ax经过点(1,2),则a= ,f(a+b)= .
解析:由指数函数的定义可知2b-3=1,即b=2.将点(1,2)代入f(x)=ax,得a=2.故f(x)=2x,a+b=4,所以f(a+b)=f(4)=24=16.
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12.设函数f(x)=则f(f(-4))= .
解析:依题意,知f(-4)==16,f(16)==4,所以f(f(-4))=f(16)=4.
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13.若函数y=2(a-1)x是刻画指数衰减变化规律的模型,则a的取值范围是 .
解析:∵函数y=2(a-1)x是刻画指数衰减变化规律的模型,∴016
(1,2)
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14.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=ex,则g(x)=
.
解析:因为f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),因为f(x)+g(x)=ex ①,所以f(-x)+g(-x)=e-x,所以f(x)-g(x)=e-x ②,由①②消去f(x),得g(x)=.
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15.(10分)有一种树栽植5年后可成材.在栽植后5年内,该种树的产量年增长率为20%,如果不砍伐,从第6年到第10年,该种树的产量年增长率为10%,现有两种砍伐方案:
甲方案:栽植5年后不砍伐,等到10年后砍伐.乙方案:栽植5年后砍伐重栽,然后过5年再砍伐一次.
请计算后回答:10年内哪一个方案可以得到较多的木材
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解:设该种树的最初栽植量为a,甲方案在10年后的木材产量为y1=a(1+20%)5(1+10%)5=a(1.2×1.1)5≈4.01a.乙方案在10年后的木材产量为y2=2a(1+20%)5=2a·1.25≈4.98a.∵a>0,∴4.98a>4.01a,即y2>y1,∴10年内乙方案可以得到较多的木材.
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16.(10分)已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象经过点.
(1)求a的值;
解:由已知,得a2=,
∵a>0且a≠1,∴a=.
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(2)若g(x)是定义在R上的偶函数,且x≤0时,g(x)=f(x),求g(x)的解析式.
解:当x≤0时,g(x)=f(x)=,设x>0,则-x<0,则g(-x)==3x,
因为g(x)是定义在R上的偶函数,
所以g(x)=g(-x)=3x,
所以函数g(x)的解析式为g(x)=
16课时跟踪检测(二十七) 指数函数的概念
(满分90分，选填小题每题5分)
1．下列函数为指数函数的是( )
A．y＝2·3x B．y＝－3x
C．y＝5x D．y＝1x
2．函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，则f(1)＝( )
A．8 B.
C．4 D．2
3．若函数y＝(2a－1)x是指数函数，则a的取值范围是( )
A．(0,1)∪(1，＋∞) B．[0,1)∪(1，＋∞)
C.∪(1，＋∞) D.
4．函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，对于任意实数x，y都有( )
A．f(xy)＝f(x)f(y)
B．f(xy)＝f(x)＋f(y)
C．f(x＋y)＝f(x)f(y)
D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)
5．某种细菌在培养过程中，每15 min分裂一次(由1个分裂成2个)，这种细菌由1个分裂成4 096个需经过( )
A．12 h B．4 h
C．3 h D．2 h
6．已知一种产品的成本是a元，今后m年，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x(0A．y＝a(1＋p%)x(0B．y＝a(1－p%)x(0C．y＝a(p%)x(0D．y＝a－(p%)x(07．已知函数f(x)＝x＋2，则f(1)与f(－1)的大小关系是( )
A．f(1)>f(－1) B．f(1)C．f(1)＝f(－1) D．不确定
8．已知f(x)＝3x，g(x)＝9x，若f(a)g(b)＝，则下列各式正确的是( )
A．a＋b＝－1 B．a＋b＝1
C．a＋2b＝－1 D．a＋2b＝1
9．已知函数f(x)＝，则对任意实数x，有( )
A．f(－x)＋f(x)＝1
B．f(－x)－f(x)＝0
C．f(－x)＋f(x)＝0
D．f(－x)－f(x)＝－1
10．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent，假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有升，则m的值为( )
A．10 B．9
C．8 D．5
11．已知指数函数f(x)＝(2b－3)ax经过点(1,2)，则a＝______，f(a＋b)＝______.
12．设函数f(x)＝则f(f(－4))＝________.
13．若函数y＝2(a－1)x是刻画指数衰减变化规律的模型，则a的取值范围是________．
14．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝_______.
15．(10分)有一种树栽植5年后可成材．在栽植后5年内，该种树的产量年增长率为20%，如果不砍伐，从第6年到第10年，该种树的产量年增长率为10%，现有两种砍伐方案：
甲方案：栽植5年后不砍伐，等到10年后砍伐．乙方案：栽植5年后砍伐重栽，然后过5年再砍伐一次．
请计算后回答：10年内哪一个方案可以得到较多的木材？
16．(10分)已知函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)的图象经过点.
(1)求a的值；
(2)若g(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时，g(x)＝f(x)，求g(x)的解析式．
课时跟踪检测(二十七)
1．C
2．选D ∵函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，∴2a－3＝1，a＞0，且a≠1.解得a＝2.∴f(x)＝2x.∴f(1)＝2.故选D.
3．选C 易知解得a>且a≠1.故选C.
4．选C f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)．故选C.
5．选C 设需经过x次分裂，则2x＝4 096，解得x＝12.所以所需时间t＝＝3(h)．
6．选B ∵产品的成品是a元，1年后，成本为a－p%·a＝a(1－p%)；2年后，成本为a(1－p%)－a(1－p%)·p%＝a(1－p%)2；…，∴x年后，成本y＝a(1－p%)x(07．选B ∵f(x)＝x＋2，∴f(1)＝1＋2＝，f(－1)＝－1＋2＝4.∵＜4，∴f(1)8．选C 由3a·9b＝知3a·32b＝3－1.即a＋2b＝－1.
9．选A 因为f(x)＝，所以f(－x)＋f(x)＝＋＝＋＝1.故A正确，C错误；f(－x)－f(x)＝－＝－＝＝－1，不是常数，故B、D错误．
10．选D 由题设可得方程组由2ae5n＝a e5n＝，代入ae(m＋5)n＝ emn＝，联立两个等式可得解得m＝5.故选D.
11．解析：由指数函数的定义可知2b－3＝1，即b＝2.将点(1,2)代入f(x)＝ax，得a＝2.故f(x)＝2x，a＋b＝4，所以f(a＋b)＝f(4)＝24＝16.
答案：2 16
12．解析：依题意，知f(－4)＝－4＝16，f(16)＝＝4，所以f(f(－4))＝f(16)＝4.
答案：4
13．解析：∵函数y＝2(a－1)x是刻画指数衰减变化规律的模型，∴0答案：(1,2)
14．解析：因为f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，因为f(x)＋g(x)＝ex ①，所以f(－x)＋g(－x)＝e－x，所以f(x)－g(x)＝e－x ②，由①②消去f(x)，得g(x)＝.
答案：
15．解：设该种树的最初栽植量为a，甲方案在10年后的木材产量为y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈4.01a.乙方案在10年后的木材产量为y2＝2a(1＋20%)5＝2a·1.25≈4.98a.∵a>0，∴4.98a>4.01a，即y2>y1，∴10年内乙方案可以得到较多的木材．
16．解：(1)由已知，得a2＝，
∵a＞0且a≠1，∴a＝.
(2)当x≤0时，g(x)＝f(x)＝x，
设x＞0，则－x＜0，
则g(－x)＝－x＝3x，
因为g(x)是定义在R上的偶函数，
所以g(x)＝g(－x)＝3x，
所以函数g(x)的解析式为g(x)＝
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