3.2.1 指数函数的图象和性质 (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
1．指数函数的图象和性质
y＝ax a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域：R
值域：________
过定点______，即x＝0时，y＝______
当x<0时，______；当x>0时，________ 当x<0时，y>1；当x>0时，0
在R上是________，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于____________；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于____ 在R上是________，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于____；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于________
2．函数y＝ax和y＝bx大小比较
y＝ax和y＝bx a>b>1 0x<0 0x＝0 ax＝bx＝1 ____________
x>0 ________ 03．图象性质
一般地，指数函数y＝ax和y＝x(a>0，且a≠1)的图象关于________对称，且它们在R上的单调性相反．
|微|点|助|解|
(1)当底数a大小不确定时，必须分a>1和0(2)指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象都在x轴上方．
(3)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a)，，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的大致图象．
基础落实训练
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)将函数y＝3x的图象向右平移2个单位长度得到y＝3x－2的图象．( )
(2)函数y＝ax(a>0，且a≠1)的最小值为0.( )
(3)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)在R上单调递增．( )
(4)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)不具备奇偶性．( )
2．函数y＝3－x的图象是( )
3．若函数y＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数，则a的取值范围是________．
4．已知函数y＝2＋ax－2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点，则定点的坐标为________．
5．函数y＝1－2x，x∈[0,1]的值域是________．
题型(一) 指数函数的图象
[例1] 如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．aB．bC．1D．a听课记录：
[例2] 若b<－1，则函数y＝ax＋b(a>1)的图象必定不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
听课记录：
|思|维|建|模| 处理函数图象问题的策略
抓住特殊点 指数函数的图象过定点(0,1),求指数型函数图象所过的定点时,只要令指数为0,求出对应的y的值,即可得函数图象所过的定点
巧用图象变换 函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)
利用函数的性质 奇偶性与单调性
[针对训练]
1．已知函数f(x)＝ax＋1－3(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点P，则P点的坐标为( )
A．(0，－2) B．(－1，－2)
C．(－2,1) D．(0，－3)
2．已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到y＝x＋1＋2的图象？并画出相应图象．
题型(二) 指数函数图象的应用问题
[例3] 若函数f(x)＝2ax＋m－n(a>0，且a≠1)的图象恒过点(－1,4)，则m＋n等于( )
A．3 B．1
C．－1 D．－2
听课记录：
[例4] 要使g(x)＝3x＋1＋t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)
C．(－∞，－3] D．[－3，＋∞)
听课记录：
|思|维|建|模|
与指数函数相关的图象问题
根据函数图象特征，确定指数型函数y＝ax＋b＋c(a>0，且a≠1)中的参数，可借助图象的升、降确定a的范围，利用函数图象与y轴的交点，确定c的范围，也可利用图象的平移变化确定c的范围．
[针对训练]
3．已知函数f(x)＝x－1＋b，且函数图象不经过第一象限，则b的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]
C．(－∞，－2] D．(－∞，－2)
4．已知直线y＝2a与函数y＝|2x－2|的图象有两个公共点，求实数a的取值范围．
题型(三) 指数型函数的定义域、值域问题
[例5] 求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2；(2)y＝－|x|；
(3)y＝.
听课记录：
|思|维|建|模|
函数y＝af(x)定义域、值域的求法
(1)定义域的求法：
函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．
(2)值域的求法：
①换元，令t＝f(x)；
②求t＝f(x)的定义域x∈D；
③求t＝f(x)的值域t∈M；
④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
[针对训练]
5．求函数y＝的定义域、值域．
指数函数的图象和性质
课前预知教材
1．(0，＋∞) (0,1) 1 0y>1 增函数 正无穷大 0 减函数
0 正无穷大 2.ax>bx>1 ax＝bx＝1 ax>bx>1 3.y轴
[基础落实训练] 1.(1)√ (2)× (3)×
(4)√ 2.B 3.(1，＋∞) 4.(2,3)
5．[－1,0]
课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 选B 作直线x＝1，由下到上分别与指数函数②，①，④，③相交(图略)，所以b[例2] 选B y＝ax＋b的图象是由指数函数y＝ax(a>1)向下平移|b|个单位长度得到，且b<－1.如图，故选B.
[针对训练]
1．选B 令x＋1＝0，解得x＝－1.此时f(－1)＝1－3＝－2.所以点P的坐标为(－1，－2)．故选B.
2．解：由已知,得y=+2=3-(x+1)+2.作函数y=3x的图象关于y轴的对称图象得函数y=3-x的图象,再向左平移1个单位长度就得到函数y=3-(x+1)的图象,最后再向上平移2个单位长度就得到函数y=3-(x+1)+2=+2的图象,如图所示.
[题型(二)]
[例3] 选C 由已知,得m-1=0,2·am-1-n=4,解得m=1,n=-2.所以m+n=-1.
[例4] 选C 由已知，得3＋t≤0，解得t≤－3.
[针对训练]
3．选C 由已知，得f(0)＝2＋b≤0，解得b≤－2.故选C.
4．解：画出函数y＝|2x－2|的图象如图所示．要使直线y＝2a与该图象有两个公共点，则有0<2a<2，即0[题型(三)]
[例5] 解:(1)由已知得x应满足x-1≠0,∴x≠1.
∴定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).
∵≠0,∴≠1.
∴y=的值域为(0,1)∪(1,+∞).
(2)定义域为R.
∵|x|≥0,∴y==≥=1.
∴此函数的值域为[1,+∞).
(3)由题意知1-≥0,∴≤1=.
∴x≥0.故定义域为[0,+∞).
∵x≥0,∴≤1.
∵>0,∴0<≤1.∴0≤1-<1.
∴0≤y<1.∴此函数的值域为[0,1).
[针对训练]
5．解:要使函数有意义,则x应满足32x-1-≥0,
即32x-1≥3-2.
∵y=3x在R上是增函数,∴2x-1≥-2.
解得x≥-.
故所求函数的定义域为.
当x∈时,32x-1∈,
∴32x-1-∈[0,+∞).∴原函数的值域为[0,+∞).
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指数函数的图象和性质
(教学方式:深化学习课 —梯度进阶式教学)
3.2.1
课时目标
1.初步理解指数函数的图象和性质,能画简单指数函数的图象.
2.学会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域、值域的问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.指数函数的图象和性质
y=ax a>1 0图象
性质 定义域:R 值域:_________ 过定点______,即x=0时,y=___ (0,+∞)
(0,1)
1
性质 当x<0时,_______;当x>0时,_____ 当x<0时,y>1;当x>0时,0在R上是_______,当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于__________;当x值趋近于负无穷大时,函数值趋近于__ 在R上是_______,当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于__;当x值趋近于负无穷大时,函数值趋近于__________
0y>1
增函数
正无穷大
0
减函数
0
正无穷大
续表
2.函数y=ax和y=bx大小比较
y=ax和y=bx a>b>1 0x<0 0____________________
x=0 ax=bx=1
____________________
x>0 ____________________ 0ax>bx>1
ax=bx=1
ax>bx>1
3.图象性质
一般地,指数函数y=ax和y=(a>0,且a≠1)的图象关于_____对称,且它们在R上的单调性相反.
y轴
|微|点|助|解|
(1)当底数a大小不确定时,必须分a>1和0(2)指数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在x轴上方.
(3)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(0,1),(1,a),,只要确定了这三个点的坐标,即可快速地画出指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的大致图象.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)将函数y=3x的图象向右平移2个单位长度得到y=3x-2的图象. ( )
(2)函数y=ax(a>0,且a≠1)的最小值为0. ( )
(3)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)在R上单调递增. ( )
(4)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)不具备奇偶性. ( )
√
×
×
√
2.函数y=3-x的图象是 ( )
√
3.若函数y=ax(a>0,且a≠1)在R上是增函数,则a的取值范围是 .
解析:结合指数函数的性质可知,若y=ax(a>0,且a≠1)在R上是增函数,则a>1.
(1,+∞)
4.已知函数y=2+ax-2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点,则定点的坐标为 .
5.函数y=1-2x,x∈[0,1]的值域是 .
解析:由指数函数y=2x在x∈[0,1]上单调递增知1≤2x≤2,
所以y=1-2x∈[-1,0].
(2,3)
[-1,0]
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 指数函数的图象
[例1] 如图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是 ( )
A.aB.bC.1D.a√
解析:作直线x=1,由下到上分别与指数函数②,①,④,③相交(图略),所以b[例2] 若b<-1,则函数y=ax+b(a>1)的图象必定不经过 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:y=ax+b的图象是由指数函数y=ax(a>1)向下平移|b|个单位长度得到,且b<-1.如图,故选B.
√
|思|维|建|模| 处理函数图象问题的策略
抓住特殊点 指数函数的图象过定点(0,1),求指数型函数图象所过的定点时,只要令指数为0,求出对应的y的值,即可得函数图象所过的定点
巧用图象变换 函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)
利用函数的性质 奇偶性与单调性
针对训练
1.已知函数f(x)=ax+1-3(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则P点的坐标为 ( )
A.(0,-2) B.(-1,-2)
C.(-2,1) D.(0,-3)
解析:令x+1=0,解得x=-1.此时f(-1)=1-3=-2.所以点P的坐标为(-1,-2).故选B.
√
2.已知函数y=3x的图象,怎样变换得到y=+2的图象 并画出相应图象.
解:由已知,得y=+2=3-(x+1)+2.作函数y=3x
的图象关于y轴的对称图象得函数y=3-x的图象,
再向左平移1个单位长度就得到函数y=3-(x+1)的
图象,最后再向上平移2个单位长度就得到函数y=3-(x+1)+2=+2的图象,如图所示.
题型(二) 指数函数图象的应用问题
[例3] 若函数f(x)=2ax+m-n(a>0,且a≠1)的图象恒过点(-1,4),则m+n等于 ( )
A.3 B.1
C.-1 D.-2
解析:由已知,得m-1=0,2·am-1-n=4,解得m=1,n=-2.所以m+n=-1.
√
[例4] 要使g(x)=3x+1+t的图象不经过第二象限,则t的取值范围为 ( )
A.(-∞,-1] B.(-∞,-1)
C.(-∞,-3] D.[-3,+∞)
解析:由已知,得3+t≤0,解得t≤-3.
√
|思|维|建|模|
与指数函数相关的图象问题
根据函数图象特征,确定指数型函数y=ax+b+c(a>0,且a≠1)中的参数,可借助图象的升、降确定a的范围,利用函数图象与y轴的交点,确定c的范围,也可利用图象的平移变化确定c的范围.
针对训练
3.已知函数f(x)=+b,且函数图象不经过第一象限,则b的取值范围是( )
A.(-∞,-1) B.(-∞,-1]
C.(-∞,-2] D.(-∞,-2)
解析:由已知,得f(0)=2+b≤0,解得b≤-2.故选C.
√
4.已知直线y=2a与函数y=|2x-2|的图象有两个公共点,求实数a的取值范围.
解:画出函数y=|2x-2|的图象如图所示.要使直线y=2a与该图象有两个公共点,则有0<2a<2,即0题型(三) 指数型函数的定义域、值域问题
[例5] 求下列函数的定义域和值域:
(1)y=;
解:由已知得x应满足x-1≠0,∴x≠1.
∴定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).
∵≠0,∴≠1.
∴y=的值域为(0,1)∪(1,+∞).
(2)y=;
解:定义域为R.
∵|x|≥0,∴y==≥=1.
∴此函数的值域为[1,+∞).
(3)y=.
解:由题意知1-≥0,∴≤1=.
∴x≥0.故定义域为[0,+∞).∵x≥0,∴≤1.
∵>0,∴0<≤1.∴0≤1-<1.
∴0≤y<1.∴此函数的值域为[0,1).
|思|维|建|模|
函数y=af(x)定义域、值域的求法
(1)定义域的求法:
函数y=的定义域与y=f(x)的定义域相同.
(2)值域的求法:
①换元,令t=f(x);
②求t=f(x)的定义域x∈D;
③求t=f(x)的值域t∈M;
④利用y=at的单调性求y=at,t∈M的值域.
针对训练
5.求函数y=的定义域、值域.
解:要使函数有意义,则x应满足32x-1-≥0,
即32x-1≥3-2.
∵y=3x在R上是增函数,∴2x-1≥-2.
解得x≥-.
故所求函数的定义域为.
当x∈时,32x-1∈,
∴32x-1-∈[0,+∞).∴原函数的值域为[0,+∞).
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A级——达标评价
1.函数f(x)=πx与g(x)=的图象关于( )
A.原点对称 B.x轴对称
C.y轴对称 D.直线y=-x对称
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解析:设点(x,y)为函数f(x)=πx的图象上任意一点,则点(-x,y)为g(x)=π-x=的图象上的点.因为点(x,y)与点(-x,y)关于y轴对称,所以函数f(x)=πx与g(x)=的图象关于y轴对称.
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2.函数y=的图象是( )
解析:当x=0时,y=2,且函数单调递增,故选A.
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3.若函数y=2x在区间[2,a]上的最大值比最小值大4,则a= ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:∵y=2x在R上是增函数,∴y=2x在[2,a]上单调递增.∴y=2x的最小值为4,最大值为2a.故2a-4=4,即a=3.
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4.函数f(x)=(a>0,且a≠1)的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )
A.a>1,b<0 B.a>1,b>0
C.00 D.0解析:由于f(x)的图象单调递减,所以00,b<0.故选D.
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5.函数y=的值域是( )
A.[0,+∞) B.[0,4]
C.[0,4) D.(0,4)
解析:要使函数式有意义,则16-4x≥0.又4x>0,所以0≤16-4x<16.即函数y=的值域为[0,4).
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6.函数y=的定义域为 .
解析:由x2-1≠0,得x≠±1.即函数y=的定义域为{x|x≠±1}.
{x|x≠±1}
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7.函数f(x)=2·ax-1+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点 .
解析:令x-1=0,得x=1.又f(1)=2×1+1=3,所以f(x)的图象恒过定点(1,3).
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8.若0解析:函数y=ax的图象过点(0,1),向下平移|b|个单位长度,因为b<-1,所以函数f(x)=ax+b的图象一定不经过第一象限.
一
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9.(8分)画出函数y=|2x-1|的函数图象,根据图象写出函数的定义域、值域、单调区间和最值.
解:函数的图象如图所示,由图象可知,函数的定义域为R;值域为[0,+∞);在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;有最小值为0,无最大值.
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10.(10分)求下列函数的定义域和值域:
(1)y=;
解:要使函数式有意义,则1-3x≥0,即3x≤1=30.
因为函数y=3x在R上是增函数,所以x≤0.
故函数y=的定义域为(-∞,0].
因为x≤0,所以0<3x≤1.所以0≤1-3x<1.所以∈[0,1).即函数y=的值域为[0,1).
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(2)y=;
解:要使函数式有意义,则-|x|≥0,解得x=0.
所以函数y=的定义域为{x|x=0}.
因为x=0,所以==1.
即函数y=的值域为{y|y=1}.
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(3)y=.
解:定义域为R.
因为x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4,
所以≤=16.
又>0,所以函数y=的值域为(0,16].
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B级——重点培优
11.设f(x)=若方程f(x)=a(a为常数)有2个根,则a的取值范围是( )
A.(0,1) B.(0,1]
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
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解析:f(x)的图象如图所示.由图可知,当且仅当a≥1时,y=a与y=f(x)有两个交点,从而f(x)=a有2个根.
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12.设函数f(x)=则满足f(x+1)解析:函数f(x)=的图象如图,显然函数f(x)在R上单调递减,
∵f(x+1)2x,解得x<1.
(-∞,1)
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13.(10分)设f(x)=3x,g(x)=.
(1)在同一坐标系中作出f(x),g(x)的图象;
解:函数f(x),g(x)的图象如图所示.
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(2)计算f(1)与g(-1),f(π)与g(-π),f(m)与g(-m)的值,从中你能得到什么结论
解:f(1)=31=3,g(-1)==3,f(π)=3π,g(-π)==3π,f(m)=3m,g(-m)==3m.
从以上计算的结果看,两个函数当自变量取值互为相反数时,其函数值相等,即当指数函数的底数互为倒数时,它们的图象关于y轴对称.
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14.(10分)已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1).
(1)若f(x)的图象如图所示,求a,b的值;
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解:由题图知f(x)的图象过点(2,0),(0,-2),所以
又a>0,且a≠1,所以a=,b=-3.
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(2)在(1)中,若|f(x)|=m有且仅有一个实数根,求m的取值范围.
解:由(1)知f(x)=()x-3,则画出|f(x)|=|()x-3|的图象如图所示,要使|f(x)|=m有且仅有一个实数根,则m=0或m≥3.故m的取值范围为[3,+∞)∪{0}.课时跟踪检测(二十八) 指数函数的图象和性质
(满分90分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．函数f(x)＝πx与g(x)＝x的图象关于( )
A．原点对称 B．x轴对称
C．y轴对称 D．直线y＝－x对称
2．函数y＝2x＋1的图象是( )
3．若函数y＝2x在区间[2，a]上的最大值比最小值大4，则a＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4．函数f(x)＝ax－b(a＞0，且a≠1)的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
5．函数y＝的值域是( )
A．[0，＋∞) B．[0,4]
C．[0,4) D．(0,4)
6．函数y＝0.7的定义域为________．
7．函数f(x)＝2·ax－1＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点________．
8．若09．(8分)画出函数y＝|2x－1|的函数图象，根据图象写出函数的定义域、值域、单调区间和最值．
10．(10分)求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝；(2)y＝；
(3)y＝x2－2x－3.
B级——重点培优
11．设f(x)＝若方程f(x)＝a(a为常数)有2个根，则a的取值范围是( )
A．(0,1) B．(0,1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
12．设函数f(x)＝则满足f(x＋1)13．(10分)设f(x)＝3x，g(x)＝x.
(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；
(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？
14．(10分)已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)．
(1)若f(x)的图象如图所示，求a，b的值；
(2)在(1)中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，求m的取值范围．
课时跟踪检测(二十八)
1．选C 设点(x，y)为函数f(x)＝πx的图象上任意一点，则点(－x，y)为g(x)＝π－x＝x的图象上的点．因为点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，所以函数f(x)＝πx与g(x)＝x的图象关于y轴对称．
2．选A 当x＝0时，y＝2，且函数单调递增，故选A.
3．选C ∵y＝2x在R上是增函数，∴y＝2x在[2，a]上单调递增．∴y＝2x的最小值为4，最大值为2a.故2a－4＝4，即a＝3.
4．选D 由于f(x)的图象单调递减，所以00，b<0.故选D.
5．选C 要使函数式有意义，则16－4x≥0.又4x>0，所以0≤16－4x<16.即函数y＝的值域为[0,4)．
6．解析：由x2－1≠0，得x≠±1.即函数y＝0.7的定义域为{x|x≠±1}．
答案：{x|x≠±1}
7．解析：令x－1＝0，得x＝1.又f(1)＝2×1＋1＝3，所以f(x)的图象恒过定点(1,3)．
答案：(1,3)
8．解析：函数y＝ax的图象过点(0,1)，向下平移|b|个单位长度，因为b＜－1，所以函数f(x)＝ax＋b的图象一定不经过第一象限．
答案：一
9．解：函数的图象如图所示，由图象可知，函数的定义域为R；值域为[0，＋∞)；在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；有最小值为0，无最大值．
10．解：(1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30.
因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0.
故函数y＝的定义域为(－∞，0]．
因为x≤0，所以0<3x≤1.所以0≤1－3x<1.所以∈[0,1)．即函数y＝的值域为[0,1)．
(2)要使函数式有意义，则－|x|≥0，解得x＝0.所以函数y＝的定义域为{x|x＝0}．
因为x＝0，所以＝0＝1.
即函数y＝的值域为{y|y＝1}．
(3)定义域为R.
因为x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
所以x2－2x－3≤－4＝16.
又x2－2x－3>0，所以函数y＝x2－2x－3的值域为(0,16]．
11.选D f(x)的图象如图所示．由图可知，当且仅当a≥1时，y＝a与y＝f(x)有两个交点，从而f(x)＝a有2个根．
12．解析：函数f(x)＝的图象如图，显然函数f(x)在R上单调递减，∵f(x＋1)2x，解得x<1.
答案：(－∞，1)
13．解：(1)函数f(x)，g(x)的图象如图所示．
(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝－1＝3，f(π)＝3π，g(－π)＝－π＝3π，f(m)＝3m，g(－m)＝－m＝3m.
从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．
14．解：(1)由题图知f(x)的图象过点(2,0)，(0，－2)，
所以
又a>0，且a≠1，所以a＝，b＝－3.
(2)由(1)知f(x)＝()x－3，则画出|f(x)|＝|()x－3|的图象如图所示，要使|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，则m＝0或m≥3.
故m的取值范围为[3，＋∞)∪{0}．
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