山东省德州市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷(图片版,含答案)

18.解：(1)由f(x)=(x十2)e2得f'(x)=(x+3)e,…
1分
獬不等式f'(x)>0,可得x>一3，所以f(x)在区间（一3，+∞）上单调递增，
解不等式f(x)<0,可得x<一3，所以f(.x)在区间（一∞，一3）上单渊递减，…3分
所以f(x)s小h=f(一3)=一e8.…
…4分
(2)由f(.x)=(x十2a)e“,则f'(x)=(a.x+2a2+1)e“,…5分
当a=0时，f(.x)=x,函数f(.x)的单调递增区间为（一∞，十∞），无单调递减区间；
6分
当a>0时，曲了x)>0得x(-2w+:曲fx)0.得x(-,24）
所以了)的单调递增区间为-24。+)，单调递减区间为(-0，-2a):
…7分
综上，当α=0时，函数f(.x)的单调递增区间为（一∞，十∞），无单调递减区间；
当a>0时，函数∫(.x)的单调递增区间为（
2a2+1
,十)，单调递诚区间为
(-6,-
a2+1
8分
(3)由(2)知l,当a=0时，函数f(.x)在区间[一1,2]单调递增，…9分
当u>0时，-2a=-(a+2)≤-22a·
1=-22,
且仅当24=上，即4=号时等号成立，则函数了(x)在[-1,2】上单调递增
0
综上所述，函数∫(.x)在[一1.2]上单调递增，…10分
所以M(a)·N(a)=f(2)·f(-1)=(2+2a)·ea·(-1+2a)·ea
=(4以2十2一2).…11分
由M(a)·N(a)≤(2+6a)e+4e,得4(a2-u-1)e“一4e20,
即(a2-a一1)e0-e2≤0…12分
令g(a)=(a2-a-1)e-e2,则g'(a)=(a2十a-2)e".
由g’(Q)=0,得Q=一2（舍去）或a=】…13分
所以g(a)在(1，十∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减。…14分
又因为g(0)=-1-e2<0,g(1)所以当a∈[2，十∞)时，g(a)≥0；当a∈(0,2)时，g(a)<0.…
15分
即当且仅当a∈(0,2]时，M(a)·N(a)≤(2+6a)e"+e2恒成立，…16分
所以使得M(a)·N(a)≤(2a一l)e十e2成立的a的最大值为2.…17分
高二数学试题答案第3页（共4页）
19.獬：(1)f(.x)=xlnx,则f（x)=1+lnx,…
1分
所以(1)=1，∫(1)=0，…
2分
故x=1处的切线方程为.x一y一1=0
3分
(2)(i)函数(x)在1，+∞)上单调递减，
所以f'(.x)=1十ln.x一2a.x≤0在[l,十o∞)恒成立，…
4分
即2a≥1+l匹在，十oo)恒成立，令gx)=1中严，g'(x)=-
22
当x∈(1，十∞)时，g'(x)<0,
所以g(x)在(1，十∞)上递减.则g(x)≤g(1)=1,…
6分
即2a≥1，所以a的取值范围是
7分
(i)设Sn=n(u)-(+号)lnm十mn∈N.5。为数列{a,}的前n项和、…8分
则a1=1,不等式成立.…
…9分
当n≥2时，
o.-5.-5.-I(a!)-(n+z)low+a-Inc(-1!-(w-2)Io(x-1)+(q-1]
=(2-n)ln”+1.…
…10分
敬i证明na)-(+号》m+m>是，即S,=a,+a:++a,=a1+方e:>号
只需证明1+名a>号，即之（一a:)号…
·11分
因为当n≥2时a,=(号-n)h7产+1.所以-a.=(a-2》nn”-1…12分
由(1)如，当u=子，函数fx)在1，十∞)上单调递减。
所以f)=xlx-合2+≤f1)=0.
即x≤号c-）,当且仅当.x=1时等号成立.…13分
因为，片>1.所以-a=)m片一1马-”)-1=（片》
…15分
所以空-a)=名(÷-2)=1-)<分唧方>-7…16分
1+2a:>即s,>号，所以1na1)-(a+)m+n≥￥
…17分
k=2
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