2025-2026学年人教A版数学必修第一册课时练习4.1.2无理数指数幂及其运算性质（含解析）

4.1.2无理数指数幂及其运算性质
一、选择题
1．＝(　　)
A． 　 B．5
C． 　 D．25
2．计算3π×＋＋的值为(　　)
A．17 　 B．18
C．6 　 D．5
3．＝(　　)
A．9 　 B．
C．3 　 D．
4．(多选)已知a＋a-1＝3，则下列选项中正确的有(　　)
A．a2＋a-2＝7
B．＝±1
C．＝±
D．＝2
5．阅读下段文字：“已知为无理数，若(为有理数，则存在无理数a＝b＝，使得ab为有理数；若(为无理数，则取无理数a＝(，b＝，此时ab＝[(＝(＝()2＝2为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是(　　)
A．(是有理数
B．(是无理数
C．存在无理数a，b，使得ab为有理数
D．对任意无理数a，b，都有ab为无理数
6．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，，．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为(　　)
A．甲和乙 　 B．丙和乙
C．乙和甲 　 D．丙和甲
二、填空题
7．化简：·b＝__________．
8．已知x>0，y∈R，定义x*y＝xy，则*(－)＝________．
9．借助计算工具计算(n∈N*)的值，我们发现当n＝1，2，3，10，100，1 000，10 000，100 000，…时，的底数越来越小，而指数越来越大，随着n越来越大，会无限趋近于无理数e(e＝2.718 28…)．根据以上知识判断，当n越来越大时，会趋近于________．
三、解答题
10．已知a2x＝3，求的值．
11．(1)化简：(其中a＞0)；
(2)化简(a-π)(－4a·b-1)÷[12(](其中a，b>0)．
12．(1)若＝2，2a＝5b＝m，求；
(2)若x＝1＋，y＝1＋4，请用x将y表示出来．
答案解析
1．C　[·＝(．故选C．]
2．B　[3π×(π ＋(＋1＝1π＋24＋1＝18．
故选B．]
3．B　[(．故选B．]
4．ABD　[因为a＋a-1＝3，两边平方得(a＋a-1)2＝a2＋2＋a-2＝9，所以a2＋a-2＝7，A正确；
(2＝a－2＋a-1＝3－2＝1，
因为的大小不确定，所以＝±1，B正确；
(2＝a＋2＋a-1＝3＋2＝5，
因为>0，>0，所以，C错误；
由立方和公式可得：
＝()3＋()3
＝()(a－1＋a-1)＝×(3－1)＝2，
D正确．
故选ABD．]
5．C　[这段文字中，没有给出(是有理数的条件，也没有给出(是无理数的条件，AB错误；
这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数a，b，使得ab为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，C正确；
这段文字中只提及存在无理数a，b，不涉及对任意无理数a，b都成立的问题，D错误．
故选C．]
6．C　[()10＝52＝25，()10＝25＝32．
∵25<32，∴．
又∵()6＝32＝9，()6＝23＝8，
∴，
∴．
又∵镜片折射率越高，镜片越薄，∴甲同学制作的镜片最厚，乙同学制作的镜片最薄．
故选C．]
7．a　[(·＝a．]
8．2　[(*(－)＝．]
9．e4　[(1＋，由n越来越大时，(1＋n会无限趋近于e，故当n越来越大时，(1＋会无限趋近于e，
则[(1＋]4会无限趋近于e4，
又当n越来越大时，会无限趋近于0，故1＋会无限趋近于1，
故(1＋2n+1会无限趋近于e4×1＝e4．]
[点评]　解决本题关键在于将(1＋，通过n越来越大，(1＋n会无限趋近于e，可得n越来越大时，(1＋亦会无限趋近于e．
10．解：原式＝．
11．解：(1)原式＝．
(2)原式＝a4-πb-1．
12．解：(1)因为2a＝5b＝m，所以＝2，＝5，则·＝10，
又＝2，则m2＝10，所以＝4m2＝40．
(2)y＝1＋＝1＋(2)-2＝1＋．
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