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14.2 三角形全等的判定
第4课时 尺规作图
第十四章 全等三角形
人教版(新教材)数学八年级上册
能用尺规作图：作一个角等于已知角；过直线外一点作这条直线的平行线；已知两边及其夹角、两角及其夹边作三角形.
经历尺规作图的过程，体会转化思想（平行线→等角）和类比思想（已知两边及其夹角、两角及其夹边作三角形）.
在作图过程中培养逻辑推理能力，逐步建立几何直观和空间观念.在解决综合作图问题时，培养数学建模意识和应用意识.
核
心
素
养
目
标
目录
CONTENT
情景引入
1
合作探究
2
典例分析
3
巩固练习
4
归纳总结
5
感受中考
6
小结梳理
7
布置作业
8
复习引入
全等三角形
定义
性质
判定
对应边相等
对应角相等
两边一夹角（SAS）
两角一夹边（ASA）
两角一对边（AAS）
三边（SSS）
利用三角形全等的判定方法，可以帮助我们解决一些尺规作图问题.
合作探究
思考 线段和角都是基本的几何图形，也是构成其他几何图形的元素，我们已经学习了作一条线段等于已知线段的尺规作图，如何用直尺和圆规作一个角等于已知角呢
将∠AOB放在某个三角形中.
作出与这个三角形全等的三角形.
合作探究
探究 作一个角∠A'O'B'等于已知角∠AOB .
作法: 如图.
(1)以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点C，D；
(2)作一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC为半径作弧，交O' A'于点C'；
(3)以点C'为圆心，CD为半径作弧，与上一步作的弧相交于点D'；
(4)过点D'作射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB.
为什么∠A'O'B'=∠AOB？
合作探究
证明: 连接C'D'.
由尺规作图得：O'C'=O'D'=OC=OD，C'D'=CD.
在△C'O'D'和△COD中，
∴ △C'O'D'≌△COD(SSS).
∴ ∠A'O'B'=∠AOB.
基本尺规作图
分析 我们知道，同位角相等，两直线平行，可以利用这个结论，过点C作直线AB 的平行线CD.为此需要先作出截线，再作出相等的同位角.
典例分析
例4 如图，已知直线 AB 及直线AB 外一点C.利用直尺和圆规过点C作直线 AB 的平行线 CD.
典例分析
作法：如图.
(1)过点C作一条直线，与直线AB相交于点E；
(2)在点C处作∠CEB的同位角∠FCD，使∠FCD=∠CEB；
(3)反向延长 CD，得直线 CD，则直线 CD//AB.
典例分析
例5 如图，已知线段a，b和∠α，求作△ABC，使 AB=a，AC=b，∠A=∠α.
作法：如图.
(1)作∠DAE=∠α；
(2)在射线AD上作AB=a，在射线AE上作AC=b；
(3)连接BC，则△ABC就是所求作的三角形.
巩固练习
1.如图，△ABC 中，AB>AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是( )
A.∠DAE=∠B B.∠EAC=∠C C.AE∥BC D.∠DAE=∠EAC
D
作法: 如图.(1)作射线BA；
(2)作∠DAF=∠ABC；
(3)反向延长 AF，则直线 AF即为所求作.
2. 如图，用直尺和圆规作一条直线，使这条直线过△ABC的顶点A，并且与边BC平行.
巩固练习
巩固练习
3. 如图，用直尺和圆规作一个三角形，使这个三角形的两角分别等于∠α，∠β，这两角的夹边等于线段a.
△ABC即为所求作.
归纳总结
基本尺规作图：作一个角等于已知角 作法 (1)以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点C，D；
(2)作一条射线O'A'，以 为圆心， 为半径作弧，交O' A'于点C'；
(3)以 为圆心， 为半径作弧，与上一步作的弧相交于点D'；
(4)过点D'作射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB.
图示
点O'
OC
点C'
CD
归纳总结
基本尺规作图：作一个角等于已知角 应用 过直线外一点作 这条直线的 . 已知 . 作三角形 已知 .
作三角形
图示
平行线
两角及其夹边
两边及其夹角
1.（2024·北京）如图是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法.该方法通过判定△C'O'D'≌△COD得到∠A'O'B'=∠AOB，其中判定△C'O'D'≌△COD的依据是（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三
角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三
角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
感受中考
A
感受中考
2.（2020·陕西）如图，已知△ABC，AC>AB，∠C=45°.请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC=45°.(保留作图痕迹，不写作法)
点P即为所求作.
小结梳理
尺规作图
基本尺规作图
综合尺规作图
作一条线段等于已知线段
作一个角等于已知角
... ...
已知三边作三角形
过直线外一点作这条直线的平行线
已知两边及其夹角作三角形
已知两角及其夹边作三角形
布置作业
必做题：习题14.2 第9，10题.
1
探究性作业：
查阅资料，了解尺规作图的起源、发展及作用.
推荐书籍或网站：
①《几何原本》.
②百度百科、数站.
2
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14.2 三角形全等的判定(第4课时 尺规作图)
教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课是在学生已掌握SAS、ASA、AAS、SSS等全等三角形的判定方法基础上，以SSS为引入点，展开尺规作图专题教学，具体包括“作一个角等于已知角”这一基本尺规作图及其证明，以及以此为基础的过直线外一点作已知直线的平行线、已知两边及其夹角作三角形、已知两角及其夹边作三角形等内容；同时通过例题分析、巩固练习和中考题强化知识的感知理解，最后梳理基本尺规作图与综合尺规作图的内容与关联。
2. 内容分析
本节课是在学生已掌握全等三角形判定方法的基础上，将全等判定与尺规作图结合的专题课。“作一个角等于已知角”是基本尺规作图，其原理基于SSS的全等判定方法，后续的平行线作图、三角形作图均以此为基础，形成“基本作图→综合应用”的递进关系。通过证明作图的正确性，强化“操作有依据”的严谨性，而例题、练习和中考题则侧重培养学生将复杂问题拆解为基本作图的能力，体现了全等判定在几何作图中的重要作用。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：能用尺规作图：作一个角等于已知角。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）能用尺规作图：作一个角等于已知角；过直线外一点作这条直线的平行线；已知两边及其夹角、两角及其夹边作三角形。
（2）经历尺规作图的过程，体会转化思想（平行线→等角）和类比思想（已知两边及其夹角、两角及其夹边作三角形）。
（3）在作图过程中培养逻辑推理能力，逐步建立几何直观和空间观念.在解决综合作图问题时，培养数学建模意识和应用意识。
2. 目标解析
（1）学生需要熟练掌握“作一个角等于已知角”的步骤，理解作图的原理。学生不仅要能独立完成作图，还要能解释每一步操作的依据，知晓为何这样操作能保证角的相等，从而从直观操作上升到对逻辑依据的理解。“过直线外一点作这条直线的平行线”不仅涉及基本尺规作图，还关联到平行线的判定。“已知两边及其夹角、两角及其夹边作三角形”是对三角形作图的具体要求，对应全等三角形的判定方法（SAS 和 ASA）。学生要能根据不同的已知条件选择合适的作图顺序，理解每一步操作如何保证三角形的唯一性，并能验证所作三角形是否符合已知条件，确保作图的准确性和规范性。
（2）在“过直线外一点作平行线”的过程中，转化思想体现得尤为明显。平行线是一种位置关系，而角的相等是数量关系，作图时将 “作平行线” 这一位置关系的问题，转化为 “作一个角等于已知角” 这一数量关系的问题，可以帮助学生认识到，复杂的几何问题往往可以通过转化为已知的、简单的问题来解决，培养其将未知转化为已知的思维习惯。“已知两边及其夹角、两角及其夹边作三角形”，这两个作三角形的问题在思路上具有相似性，学生通过类比，能发现它们在操作步骤上的共性和差异，从而加深对全等三角形判定条件的理解，培养举一反三的能力。
（3）尺规作图的每一步操作都有严格的逻辑依据。学生在描述作图步骤、解释作图合理性的过程中，需要运用几何知识进行推理，明确 “因为… 所以…” 的逻辑链条。这种推理不仅是对操作的验证，更是逻辑思维的训练。学生在亲手绘制图形的过程中，能直观感受图形的构成要素及其相互关系。这种作图实践能让学生对几何图形形成清晰的视觉表征，能通过图形直观地理解几何概念和定理。同时，空间观念也得到发展。综合作图问题往往需要结合多个基本作图和几何知识，学生需要明确问题中的已知条件和所作目标，再运用尺规作图解决。在此过程中，充分发展了学生的模型意识和应用意识。
三、教学问题诊断分析
1. 问题分析
（1）操作技能薄弱：学生在作图时，可能存在工具使用不规范的问题，可能遗漏画弧步骤或弧长选取不当。
（2）逻辑推理能力不足：学生不能清晰阐述每一步作图的依据。在面对综合问题时，数学建模意识欠缺，对复杂图形的分解能力较弱，难以将问题转化为尺规作图模型。
2. 解决策略
（1）夯实操作基础：教师示范尺规作图的过程，对易出错的步骤进行详细指导。针对具体作图，制作步骤分解动画，标注关键弧长和交点。设计 “作图纠错” 练习，展示错误案例，让学生找出问题并修正。
（2）提升逻辑推理能力：作图时，要求学生用 “因为… 所以…” 句式阐述每一步的依据。对于较复杂的综合问题，引导学生分析如何从题目中识别作图要素，总结解题技巧，通过分层练习逐步提升能力。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：能用基本尺规作图解决综合作图问题。
四、教学过程设计
（一）复习引入
1.同学们，我们学习了全等三角形的哪些判定方法？
2.利用三角形全等的判定方法，可以帮助我们解决一些尺规作图问题.
设计意图：通过提问回顾全等三角形的判定方法，建立新旧知识联系，点明本节课将利用 “SSS” 解决尺规作图问题，清晰呈现教学推进方向，让学生知晓学习任务，带着目标开启新知探究，提升学习针对性与主动性。
（二）合作探究
思考 线段和角都是基本的几何图形，也是构成其他几何图形的元素，我们已经学习了作一条线段等于已知线段的尺规作图，如何用直尺和圆规作一个角等于已知角呢
已知∠AOB，要用直尺和圆规作一个角与其相等，关键是能用直尺和圆规确定∠AOB 的大小.
对于一个三角形，其三条边、三个角是确定的.如果能将∠AOB“放在”某个三角形中，作为其一个角，而我们又能用直尺和圆规作出这个三角形，那么就说明可以用直尺和圆规确定∠AOB.进而再作出与这个三角形全等的三角形，根据全等三角形的性质，∠AOB的对应角就是要求作的角.
探究 作一个角∠A'O'B'等于已知角∠AOB .
作法: 如图.
(1)以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点C，D；
(2)作一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC为半径作弧，交O' A'于点C'；
(3)以点C'为圆心，CD为半径作弧，与上一步作的弧相交于点D'；
(4)过点D'作射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB.
追问 为什么∠A'O'B'=∠AOB？
证明: 连接C'D'.
由尺规作图得：O'C'=O'D'=OC=OD，C'D'=CD.
在△C'O'D'和△COD中，
∴ △C'O'D'≌△COD(SSS).
∴ ∠A'O'B'=∠AOB.
“作一个角等于已知角”是一种基本尺规作图.
设计意图：借助已学“作一条线段等于已知线段”的尺规作图经验，引导学生思考“作一个角等于已知角”，实现几何作图知识的自然延伸，逐步构建完整的尺规作图知识框架。让学生经历“发现问题（如何作等角）— 分析问题（借助三角形全等转化）— 解决问题（推导作图步骤）”过程，深度理解作图原理。在探究中，锻炼学生的逻辑推理能力，从理论层面明白作图操作的依据，提升数学思维的严谨性与深刻性。
（三）典例分析
例4 如图，已知直线 AB 及直线AB 外一点C.利用直尺和圆规过点C作直线 AB 的平行线 CD.
分析 我们知道，同位角相等，两直线平行，可以利用这个结论，过点C作直线AB 的平行线CD.为此需要先作出截线，再作出相等的同位角.
作法：如图.
(1)过点C作一条直线，与直线AB相交于点E；
(2)在点C处作∠CEB的同位角∠FCD，使∠FCD=∠CEB；
(3)反向延长 CD，得直线 CD，则直线 CD//AB.
例5 如图，已知线段a，b和∠α，求作△ABC，使 AB=a，AC=b，∠A=∠α.
作法：如图.
(1)作∠DAE=∠α；
(2)在射线AD上作AB=a，在射线AE上作AC=b；
(3)连接BC，则△ABC就是所求作的三角形.
设计意图：例4借助“同位角相等，两直线平行”的判定方法，让学生运用已学“作一个角等于已知角”的尺规作图方法，解决“过直线外一点作已知直线平行线”的问题，实现几何知识与作图操作的融合，深化尺规作图技能的应用场景，提升知识的综合运用能力。例5围绕“已知两边及夹角作三角形”，整合了“作一个角等于已知角”“作一条线段等于已知线段”的基本尺规作图，让学生经历按给定条件构建三角形的过程，强化对三角形基本作图的掌握，同时巩固全等三角形的判定方法(SAS)。
（四）巩固练习
1．如图，△ABC中，AB>AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（ D ）
A．∠DAE=∠B B．∠EAC=∠C C．AE∥BC D．∠DAE=∠EAC
2. 如图，用直尺和圆规作一条直线，使这条直线过△ABC的顶点A，并且与边BC平行.
作法: 如图.
(1)作射线BA；
(2)作∠DAF=∠ABC；
(3)反向延长 AF，则直线 AF即为所求作.
3. 如图，用直尺和圆规作一个三角形，使这个三角形的两角分别等于∠α，∠β，这两角的夹边等于线段a.
△ABC即为所求作.
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。练习3围绕“已知两角及夹边作三角形”，强化对三角形基本作图的掌握，同时巩固全等三角形的判定方法(ASA)。
归纳总结
感受中考
1．（2024·北京）如图是“作一个角使其等于”的尺规作图方法.该方法通过判定得到，其中判定的依据是（ A ）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
2．（2020·陕西）如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）
点P即为所求作.
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
（七）小结梳理
设计意图：用思维导图帮助学生梳理基本尺规作图和综合尺规作图的内容和联系，将零散知识串联，构建清晰、完整的知识网络，强化对尺规作图知识的整体认知。
（八）布置作业
1.必做题：习题14.2 第9，10题.
2.探究性作业：查阅资料，了解尺规作图的起源、发展及作用.
推荐书籍或网站：①《几何原本》.②百度百科、数站.
五、教学反思
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