2 对数的运算 (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1.理解对数的运算性质,能熟练运用对数的运算性质化简求值.
2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
(一)对数的运算性质
若a>0，且a≠1，M>0，N>0，b∈R，则对数运算具有如下运算性质：
(1)loga(M·N)＝________________；
(2)loga＝________________；
(3)logaMb＝________________.
恒等式：logamMn＝logaM(n∈R，m≠0)．
|微|点|助|解|
1．对数的运算性质
(1)对数运算性质的语言表达：“积的对数＝对数的和”，“商的对数＝对数的差”．
(2)对数的运算性质实际上是将积、商、幂的运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．
(3)注意性质的使用条件：每一个对数都要有意义．
log2(－3)(－5)＝log2(－3)＋log2(－5)是不成立的，log10(－10)2＝2log10(－10)是不成立的．
2．对数运算中的常用结论
已知a＞0，且a≠1.
(1)loga=logaM-1=-logaM(M>0);
(2)loga=loga=logaM(M>0,n,p∈N*,p,n>1);
(3)推广:logaN1+logaN2+…+logaNk=loga(N1·N2·…·Nk)(k∈N*,N1,N2,…,Nk均大于0).
(二)换底公式
1．对数换底公式
logab＝________(a>0，b>0，c>0，且a≠1，c≠1)．
2．推论
(1)logab·logba＝1(a>0，b>0，c>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．
(2)logab·logbc·logca＝1(a＞0，b＞0，c＞0，且a，b，c≠1)．
|微|点|助|解|
(1)换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义．
(2)运用换底公式可以改变对数式的底数，把不同底数问题转化为同底数问题来进行化简、计算和证明．
(3)实际应用换底公式时，底数究竟换成什么要由具体的已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数．
基础落实训练
1．计算log84＋log82等于( )
A．log86 B．8
C．6 D．1
2．计算log92×log43＝( )
A．4 B．2
C. D.
3．已知lg 3＝a，lg 7＝b，则lg 的值为( )
A．a－b2 B．a－2b
C. D.
4．若lg 3＝a，lg 2＝b，用a，b表示log43＝________.
题型(一) 对数运算性质的应用
[例1] 求下列各式的值．
(1)；
(2)(lg 5)2＋lg 2×lg 50；
(3).
听课记录：
|思|维|建|模|
对数式化简或求值的常用方法和技巧
(1)对于同底数的对数式，化简的常用方法是：
①“收”，即逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数，即把多个对数式转化为一个对数式；
②“拆”，即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差)．
(2)对含有多重对数符号的对数，应从内向外逐层化简．
(3)当真数是形如“±”的式子时，常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”．
[针对训练]
1．计算：
(1)2(lg )2＋lg ×lg 5＋ ；
(2)log535＋2log－log5－log514.
题型(二) 对数换底公式的应用
[例2] 已知log37＝a,2b＝3，试用a，b表示log1456.
听课记录：
[变式拓展]
1．本例条件不变，试用a，b表示log2898.
2．若把本例中条件“2b＝3”换为3b＝2，其他条件不变，则结论又如何呢？
|思|维|建|模|
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
[针对训练]
2．求值：
(1)log23×log35×log516；
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．
题型(三) 对数运算的实际应用
[例3] 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝2 000(e为自然对数的底数)(ln 3≈1.099)．当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)．
听课记录：
|思|维|建|模| 解决对数应用题的一般步骤
[针对训练]
3．光线通过某种玻璃时，强度损失10%，要使光线强度减弱到原来的以下，求至少需要多少块这样的玻璃(参考数据lg 3≈0.477 1)．
对数的运算
课前预知教材
(一)(1)logaM＋logaN (2)logbM－logaN
(3)blogaM
(二)1.
[基础落实训练]
1．D 2.D 3.B 4.
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解：(1)原式
＝
＝＝.
(2)原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋1)
＝(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 2
＝lg 5(lg 2＋lg 5)＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝1.
(3)原式＝
＝
＝＝
＝＝－1.
[针对训练]
1．解：(1)原式＝lg ×(2lg ＋lg 5)＋＝lg ×(lg 2＋lg 5)＋(1－lg )＝lg ＋1－lg ＝1.
(2)原式＝log5＋2log2＝log553－1＝3－1＝2.
[题型(二)]
[例2] 解：因为2b＝3，所以b＝log23，即log32＝.
所以log1456＝＝
＝＝＝.
[变式拓展]
1．解：log2898＝＝＝＝＝.
2．解：因为3b＝2，所以b＝log32.
又a＝log37，
所以log1456＝
＝＝.
[针对训练]
2．解：(1)原式＝××＝
＝＝4.
(2)原式＝
＝
＝×＝.
[题型(三)]
[例3] 解：因为v=ln=2 000ln,
所以v=2 000ln 3≈2 000×1.099=2 198(m/s).
故当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时,火箭的最大速度为2 198 m/s.
[针对训练]
3．解:设需要n(n∈N*)块这样的玻璃,
由题意可得≤,即n≥lo.
因为lo==≈10.417,n∈N*,
所以至少需要11块这样的玻璃.
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2
对数的运算
(教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学)
课时目标
1.理解对数的运算性质,能熟练运用对数的运算性质化简求值.
2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
(一)对数的运算性质
若a>0,且a≠1,M>0,N>0,b∈R,则对数运算具有如下运算性质:
(1)loga(M·N)=____________;
(2)loga=____________;
(3)logaMb=________.
恒等式:loMn=logaM(n∈R,m≠0).
logaM+logaN
logbM-logaN
blogaM
|微|点|助|解|
1.对数的运算性质
(1)对数运算性质的语言表达:“积的对数=对数的和”,“商的对数=对数的差”.
(2)对数的运算性质实际上是将积、商、幂的运算分别转化为对数的加、减、乘的运算.
(3)注意性质的使用条件:每一个对数都要有意义.
log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的,log10(-10)2=2log10(-10)是不成立的.
2.对数运算中的常用结论
已知a>0,且a≠1.
(1)loga=logaM-1=-logaM(M>0);
(2)loga=loga=logaM(M>0,n,p∈N*,p,n>1);
(3)推广:logaN1+logaN2+…+logaNk=loga(N1·N2·…·Nk)(k∈N*,N1,N2,…,Nk均大于0).
(二)换底公式
1.对数换底公式
logab=(a>0,b>0,c>0,且a≠1,c≠1).
2.推论
(1)logab·logba=1(a>0,b>0,c>0,且a≠1,b>0,且b≠1).
(2)logab·logbc·logca=1(a>0,b>0,c>0,且a,b,c≠1).
|微|点|助|解|
(1)换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义.
(2)运用换底公式可以改变对数式的底数,把不同底数问题转化为同底数问题来进行化简、计算和证明.
(3)实际应用换底公式时,底数究竟换成什么要由具体的已知条件来确定,一般换成以10为底的常用对数.
基础落实训练
1.计算log84+log82等于( )
A.log86 B.8
C.6 D.1
解析:log84+log82=log88=1.
√
2.计算log92×log43= ( )
A.4 B.2
C. D.
解析:log92×log43=×=×=.
√
3.已知lg 3=a,lg 7=b,则lg 的值为( )
A.a-b2 B.a-2b
C. D.
解析:∵lg 3=a,lg 7=b,∴lg =lg 3-lg 49=lg 3-2lg 7=a-2b.
√
4.若lg 3=a,lg 2=b,用a,b表示log43= .
解析:log43===.
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一) 对数运算性质的应用
[例1] 求下列各式的值.
(1);
解:原式=
==.
(2)(lg 5)2+lg 2×lg 50;
解:原式=(lg 5)2+lg 2(lg 5+1)
=(lg 5)2+lg 2×lg 5+lg 2
=lg 5(lg 2+lg 5)+lg 2
=lg 5+lg 2=1.
(3).
解:原式=
=
====-1.
|思|维|建|模|
对数式化简或求值的常用方法和技巧
(1)对于同底数的对数式,化简的常用方法是:
①“收”,即逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数,即把多个对数式转化为一个对数式;
②“拆”,即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差).
(2)对含有多重对数符号的对数,应从内向外逐层化简.
(3)当真数是形如“±”的式子时,常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”.
针对训练
1.计算:
(1)2(lg )2+lg ×lg 5+;
解:(1)原式=lg ×(2lg +lg 5)+=lg ×(lg 2+lg 5)+(1-lg )=lg +1-lg =1.
(2)log535+2lo-log5-log514.
解:原式=log5+2lo=log553-1
=3-1=2.
题型(二) 对数换底公式的应用
[例2] 已知log37=a,2b=3,试用a,b表示log1456.
解:因为2b=3,所以b=log23,即log32=.
所以log1456=====.
变式拓展
1.本例条件不变,试用a,b表示log2898.
解:log2898=====.
2.若把本例中条件“2b=3”换为3b=2,其他条件不变,则结论又如何呢
解:因为3b=2,所以b=log32.又a=log37,
所以log1456===.
|思|维|建|模|
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
2.求值:
(1)log23×log35×log516;
解:原式=××
===4.
针对训练
(2)(log32+log92)(log43+log83).
解:原式=
=
=×=.
题型(三) 对数运算的实际应用
[例3] 在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(单位:m/s)和燃料的质量M(单位:kg),火箭(除燃料外)的质量m(单位:kg)满足ev=
(e为自然对数的底数)(ln 3≈1.099).当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时,求火箭的最大速度(单位:m/s).
解:因为v=ln=2 000ln,所以v=2 000ln 3≈2 000×
1.099=2 198(m/s).故当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时,火箭的最大速度为2 198 m/s.
|思|维|建|模| 解决对数应用题的一般步骤
针对训练
3.光线通过某种玻璃时,强度损失10%,要使光线强度减弱到原来的以下,求至少需要多少块这样的玻璃(参考数据lg 3≈0.477 1).
解:设需要n(n∈N*)块这样的玻璃,
由题意可得≤,即n≥lo.
因为lo==≈10.417,n∈N*,
所以至少需要11块这样的玻璃.
课时跟踪检测
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A级——综合提能
1.计算lg 2-lg-eln 2等于( )
A.-1 B.
C.3 D.-5
解析:原式=lg-2=-1.
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2.化简log832的值为 ( )
A. B.2
C.4 D.
解析:log832===.
√
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3.已知10x=3,10y=5,则用x,y表示lg为( )
A. B.
C.2x+y-1 D.2x-y+1
解析:因为10x=3 x=lg 3,10y=5 y=lg 5,所以lg=lg 9-lg 2=2lg 3-(1-lg 5)=
2lg 3+lg 5-1=2x+y-1.
√
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4.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(参考数据:lg 3≈0.48)( )
A.1033 B.1053
C.1073 D.1093
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解析:由已知得,lg=lg M-lg N=361×lg 3-80×lg 10≈361×0.48-80=
93.28=lg 1093.28.故与最接近的是1093.
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5.已知2lg(x-2y)=lg x+lg y,则的值为( )
A.1 B.4
C.1或4 D.或4
解析:由对数的运算性质可得,lg(x-2y)2=lg(xy),所以(x-2y)2=xy.即x2-5xy+
4y2=0,所以(x-y)(x-4y)=0.所以=1或=4.又x-2y>0,x>0,y>0,所以>2.所以=4.
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6.若lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两个实根,则ab的值等于_______ .
解析:∵lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两个实根,∴lg a+lg b=-=2.
∴ab=100.
100
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7.求值:= .
解析:=====1.
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8.已知log37=a,log74=b,用a,b表示log427为 .
解析:由log37=a,log74=b,可得ab=log37×log74=log34=2log32.
则log427====.
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9.(8分)计算下列各式的值:
(1)log3+lg 25+lg 4+;
解:原式=log3+lg(25×4)+2=log3+lg 102+2=-+2+2=.
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(2)2log32-log3+log38-.
解:原式=2log32-(log325-log39)+3log32-=2log32-5log32+2log33+
3log32-9=2-9=-7.
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10.(8分)抽气机每次抽出容器内空气的60%,要使容器内的空气少于原来的0.1%,则至少要抽几次 (已知lg 2≈0.301 0).
解:设抽n次可使容器内空气少于原来的0.1%,原先容器中的空气体积为a,则a(1-60%)n<0.1%a,即0.4n<0.001,两边取常用对数,得n·lg 0.4=≈7.5.故至少要抽8次才能使容器内的空气少于原来的0.1%.
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B级——重点培优
11.17世纪初,苏格兰数学家纳皮尔发明了对数,在此基础上,布里格斯制作了第一个常用对数表,在科学技术中,还常使用以无理数e为底数的自然对数,其中e=2.718 28…,对数是简化运算的有效工具,依据下表数据,计算ln的结果约为( )
x 1.310 2 3.190 3.797 4.715 5 7.397 …
ln x 0.270 0 0.693 1 1.160 0 1.334 2 1.550 7 1.609 4 2.001 0 …
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A.1.334 B.1.244
C.2.747 D.3.733
解析:ln=ln(31.9×1.312)=[ln(31.9)+ln(1.312)]
=(ln 3.19+ln 2+ln 5+2ln 1.31)=4.002 5÷3≈1.334.
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12.(多选)若实数a,b满足2a=5b=10,则下列关系正确的有 ( )
A.+=1 B.+=lg 20
C.+=2 D.+=
解析:由已知,得a=log210,b=log510,+=+=lg 2+lg 5=1,故A正确;+=+=lg 4+lg 5=lg 20,故B正确;+=+=lg 2+lg 25=lg 50,故C、D不正确.
√
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13.十六、十七世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为简化计算发明了对数.直到十八世纪才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系,即ab=N b=logaN,现在已知a=log48,b=log24,则4a= ,a+b= .(用最简结果作答)
解析:已知a=log48,b=log24,所以4a==8,a+b=+2=+2=.
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14.(12分)设xa=yb=zc,且+=,求证:z=xy.
证明:设xa=yb=zc=k,k>0,且k≠1,则a=logxk,b=logyk,c=logzk.因为+=,所以+=,即logkx+logky=logkz.所以logk(xy)=logkz,即z=xy.
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15.(14分)已知集合A={log52,log425,2},集合B=.记集合A中最小元素为a,集合B中最大元素为b.
(1)求A∩B及a,b的值;
解:因为log425=log25,所以A={log52,log25,2},B={log25,-2},即A∩B={log25}.因为log521
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(2)证明:函数f(x)=x+在[2,+∞)上单调递增;并用上述结论比较a+b与的大小.
解:证明:设x1,x2为[2,+∞)上任意两个实数,且2≤x11,
f(x1)-f(x2)=-=x1-x2+-=(x1-x2)×<0,即f(x1)所以f(x)>f(2)=.
所以log52+log25=+log25=f(log25)>.课时跟踪检测(三十一) 对数的运算
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．计算lg 2－lg－eln 2等于( )
A．－1 B.
C．3 D．－5
2．化简log832的值为( )
A. B．2
C．4 D.
3．已知10x＝3,10y＝5，则用x，y表示lg为( )
A. B.
C．2x＋y－1 D．2x－y＋1
4．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)( )
A．1033 B．1053
C．1073 D．1093
5．已知2lg(x－2y)＝lg x＋lg y，则的值为( )
A．1 B．4
C．1或4 D.或4
6．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于________．
7．求值：＝________.
8．已知log37＝a，log74＝b，用a，b表示log427为______．
9．(8分)计算下列各式的值：
(1)log3＋lg 25＋lg 4＋7log72；
(2)2log32－log3＋log38－52log53.
10．(8分)抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(已知lg 2≈0.301 0)．
B级——重点培优
11．17世纪初，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，在此基础上，布里格斯制作了第一个常用对数表，在科学技术中，还常使用以无理数e为底数的自然对数，其中e＝2.718 28…，对数是简化运算的有效工具，依据下表数据，计算ln的结果约为( )
x 1.310 2 3.190 3.797 4.715 5 7.397 …
ln x 0.270 0 0.693 1 1.160 0 1.334 2 1.550 7 1.609 4 2.001 0 …
A.1.334 B．1.244
C．2.747 D．3.733
12．(多选)若实数a，b满足2a＝5b＝10，则下列关系正确的有( )
A.＋＝1 B.＋＝lg 20
C.＋＝2 D.＋＝
13．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算发明了对数．直到十八世纪才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，即ab＝N b＝logaN，现在已知a＝log48，b＝log24，则4a＝________，a＋b＝________.(用最简结果作答)
14．(12分)设xa＝yb＝zc，且＋＝，求证：z＝xy.
15．(14分)已知集合A＝{log52，log425,2}，集合B＝.记集合A中最小元素为a，集合B中最大元素为b.
(1)求A∩B及a，b的值；
(2)证明：函数f(x)＝x＋在[2，＋∞)上单调递增；并用上述结论比较a＋b与的大小．
课时跟踪检测(三十一)
1．选A 原式＝lg－2＝－1.
2．选D log832＝＝＝.
3．选C 因为10x＝3 x＝lg 3,10y＝5 y＝lg 5，所以lg＝lg 9－lg 2＝2lg 3－(1－lg 5)＝2lg 3＋lg 5－1＝2x＋y－1.
4．选D 由已知得，lg＝lg M－lg N＝361×lg 3－80×lg 10≈361×0.48－80＝93.28＝lg 1093.28.故与最接近的是1093.
5．选B 由对数的运算性质可得，lg(x－2y)2＝lg(xy)，所以(x－2y)2＝xy.即x2－5xy＋4y2＝0，所以(x－y)(x－4y)＝0.所以＝1或＝4.又x－2y＞0，x＞0，y＞0，所以＞2.所以＝4.
6．解析：∵lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，∴lg a＋lg b＝－＝2.
∴ab＝100.
答案：100
7．解析：＝＝＝＝＝1.
答案：1
8．解析：由log37＝a，log74＝b，可得ab＝log37×log74＝log34＝2log32.则log427＝＝＝＝.
答案：
9．解：(1)原式＝log3＋lg(25×4)＋2＝log33－＋lg 102＋2＝－＋2＋2＝.
(2)原式＝2log32－(log325－log39)＋3log32－5log532＝2log32－5log32＋2log33＋3log32－9＝2－9＝－7.
10．解：设抽n次可使容器内空气少于原来的0.1%，原先容器中的空气体积为a，则a(1－60%)n＜0.1%a，即0.4n＜0.001，两边取常用对数，得n·lg 0.4＜lg 0.001，∴n＞＝≈7.5.故至少要抽8次才能使容器内的空气少于原来的0.1%.
11．选A ln＝ln(31.9×1.312)＝[ln(31.9)＋ln(1.312)]＝(ln 3.19＋ln 2＋ln 5＋2ln 1.31)＝4.002 5÷3≈1.334.
12．选AB 由已知，得a＝log210，b＝log510，＋＝＋＝lg 2＋lg 5＝1，故A正确；＋＝＋＝lg 4＋lg 5＝lg 20，故B正确；＋＝＋＝lg 2＋lg 25＝lg 50，故C、D不正确．
13．解析：已知a＝log48，b＝log24，所以4a＝4log48＝8，a＋b＝＋2＝＋2＝.
答案：8
14．证明：设xa＝yb＝zc＝k，k＞0，且k≠1，则a＝logxk，b＝logyk，c＝logzk.因为＋＝，所以＋＝，即logkx＋logky＝logkz.所以logk(xy)＝logkz，即z＝xy.
15．解：(1)因为log425＝log25，所以A＝{log52，log25,2}，B＝{log25，－2}，即A∩B＝{log25}．因为log52(2)证明：设x1，x2为[2，＋∞)上任意两个实数，且2≤x11，
f(x1)－f(x2)＝－＝x1－x2＋－＝(x1－x2)×<0，即f(x1)所以f(x)在[2，＋∞)上单调递增．
所以f(x)>f(2)＝.
所以log52＋log25＝＋log25＝f(log25)>.
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