3.1 对数函数的概念及y＝log2x的图象和性质
(教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
[课时目标]
1．理解对数函数的概念．
2.了解反函数的概念，知道同底数的对数函数与指数函数互为反函数．
3．掌握对数函数y＝log2x的图象与性质，会利用y＝log2x的图象与性质解决一些简单问题．
逐点清(一) 对数函数的概念
[多维理解]
1．对数函数的概念
给定正数a，且a≠1，指数函数y＝ax是定义在R上、值域为(0，＋∞)的单调函数．所以对于每一个正数y，都存在唯一确定的实数x，使得y＝ax.由函数的定义，x就是y的函数，称为____________________，记作x＝logay.习惯上，将自变量写成x，函数值写成y，因此，一般将对数函数写成______________(a>0，且a≠1)，其中a称为________．
2．对数函数的基本性质
(1)定义域是________；
(2)图象过定点________．
3．两种特殊对数函数
(1)常用对数函数：称以______为底的对数函数为常用对数函数，记作y＝______；
(2)自然对数函数：称以无理数____为底的对数函数为自然对数函数，记作＝________.
|微|点|助|解|
(1)同指数函数一样，对数函数仍然采用形式定义，如y＝log2(x＋1)，y＝log2x2，y＝log2x＋5等都不是对数函数，只有形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的函数才是对数函数．
(2)因为对数函数是由指数函数变化而来的，对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值，因此对数函数的定义域是(0，＋∞)，且对数函数的底数a＞0，且a≠1.
(3)判断一个函数是否是对数函数，不仅要看该函数中是否含有对数符号“log”，还要看是否符合对数函数的定义，即满足y＝logax(a＞0，且a≠1)的形式．
[微点练明]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对数函数的定义域为R.( )
(2)函数y＝logx是对数函数．( )
(3)y＝log2x2与logx3都不是对数函数．( )
2．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝log2x B．y＝ln(x＋1)
C．y＝logxe D．y＝logxx
3．函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.
4．已知对数函数的图象过点M(8,3)，则f＝________.
逐点清(二) 反函数
[多维理解]
习惯上，对数函数表示为y＝logax(a>0，且a≠1)，指数函数表示为y＝ax(a>0，且a≠1)．因此，指数函数y＝ax是对数函数y＝logax的____________，对数函数y＝logax也是指数函数y＝ax的__________．即它们____________．
[微点练明]
1．已知函数f(x)＝2x的反函数是y＝g(x)，则g的值为( )
A．1 B.
C．－ D．－1
2．与函数y＝x的图象关于直线y＝x对称的函数是( )
A．y＝4x B．y＝4－x
C．y＝logx D．y＝log4x
3．已知函数y＝ex与函数y＝f(x)互为反函数，则( )
A．f(3x)＝e3x(x∈R)
B．f(3x)＝ln 3·ln x(x>0)
C．f(3x)＝3ex(x∈R)
D．f＝ln x＋ln 3(x>0)
4．函数y＝3x＋1的反函数的表达式为( )
A．y＝log3x＋1 B．y＝log3x－1
C．y＝log3(x＋1) D．y＝log3(x－1)
逐点清(三) 对数函数y＝log2x的图象
[多维理解]
1．对数函数y＝log2x的图象作法
方法一：描点法．
方法二：由指数函数的图象得到对数函数的图象．
2．对数函数y＝log2x图象的特点
函数的图象位于y轴的________；从靠近y轴最下端的位置逐渐________，过点________，继续________，函数值越来________，直至________.
3．对数函数y＝log2x图象的性质
函数y＝log2x在定义域____________上是____________，且值域为______．
[微点练明]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝2x与函数y＝log2x的图象关于y轴对称．( )
(2)由函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度可得y＝log2x＋1的图象．( )
(3)函数y＝log2x是偶函数．( )
2．作出y＝logx及y＝log3x的图象．
逐点清(四) 以常数为底的对数的性质的应用
[典例] (1)求满足不等式log2(2x－1)
(2)比较下列各组数的大小．
①log2π与log20.9；
②log20.3与log24；
③与.
听课记录：
|思|维|建|模|
1．对数函数比较大小的策略
主要根据函数的单调性来判断，对于与函数y＝log2x有关的数值比较大小时，还可以通过引入中间变量0，数值与0进行比较，从而得出结论．
2．解不等式的策略
(1)求形如log2x>log2y的不等式，常借助y＝log2x在(0，＋∞)是增函数求解．
(2)求形如log2x>b的不等式，应将b化成以2为底对数的形式，再借助y＝log2x的单调性求解．
[针对训练]
1．已知log2m<02．(1)已知log2x>4，求实数x的取值范围；
(2)已知log2(2x)对数函数的概念及y＝log2x的图象和性质
[逐点清(一)]
[多维理解] 1.以a为底的对数函数
y＝logax 底数 2.(1)(0，＋∞)
(2)(1,0) 3.(1)10 lg x (2)e ln x
[微点练明] 1.(1)× (2)× (3)√
2．A 3.1 4.－1
[逐点清(二)]
[多维理解] 反函数 反函数 互为反函数
[微点练明] 1.D 2.C 3.D 4.B
[逐点清(三)]
[多维理解] 2.右边 上升 (1,0)
上升 越大 无穷 3.(0，＋∞) 增函数 R
[微点练明] 1.(1)× (2)× (3)×
2．解：易知y＝logx＝－log2x.故y＝logx的图象如图①.
利用y＝3x的图象变换得到y＝log3x的图象如图②.
[逐点清(四)]
[典例] 解：(1)∵真数大于0，
∴解得又函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，
∴2x－1<－x＋5，解得x<2.
综上，x的取值集合为.
(2)①∵函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，π>0.9，∴log2π>log20.9.
②由于log20.3log24>log22＝1，∴log20.3③∵函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数且log21＝0，
∴log20.3.
[针对训练]
1．解析：∵log2m答案：m2．解：(1)易知log216＝4，由函数y＝log2x的单调性知，若满足log2x>4，则x>16.
故实数x的取值范围为(16，＋∞)．
(2)由y＝log2x的单调性知2x0，
故实数x的取值范围为(0,1)．
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对数函数的概念及y=log2x的图象和性质
(教学方式:基本概念课—逐点理清式教学)
3.1
课时目标
1.理解对数函数的概念.
2.了解反函数的概念,知道同底数的对数函数与指数函数互为反函数.
3.掌握对数函数y=log2x的图象与性质,会利用y=log2x的图象与性质解决一些简单问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 对数函数的概念
逐点清(二) 反函数
逐点清(三) 对数函数y=log2x的图象
4
逐点清(四) 以常数为底的对数的性质的应用
5
课时跟踪检测
逐点清(一) 对数函数的概念
01
多维理解
1.对数函数的概念
给定正数a,且a≠1,指数函数y=ax是定义在R上、值域为(0,+∞)的单调函数.所以对于每一个正数y,都存在唯一确定的实数x,使得y=ax.由函数的定义,x就是y的函数,称为___________________,记作x=logay.习惯上,将自变量写成x,函数值写成y,因此,一般将对数函数写成________ (a>0,且a≠1),其中a称为_____.
以a为底的对数函数
y=logax
底数
2.对数函数的基本性质
(1)定义域是________;
(2)图象过定点______.
3.两种特殊对数函数
(1)常用对数函数:称以___为底的对数函数为常用对数函数,记作y=_____;
(2)自然对数函数:称以无理数___为底的对数函数为自然对数函数,记作y=
_____.
(0,+∞)
(1,0)
10
lg x
ln x
e
|微|点|助|解|
(1)同指数函数一样,对数函数仍然采用形式定义,如y=log2(x+1),y=log2x2,y=log2x+5等都不是对数函数,只有形如y=logax(a>0,且a≠1)的函数才是对数函数.
(2)因为对数函数是由指数函数变化而来的,对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值,因此对数函数的定义域是(0,+∞),且对数函数的底数a>0,且a≠1.
(3)判断一个函数是否是对数函数,不仅要看该函数中是否含有对数符号“log”,还要看是否符合对数函数的定义,即满足y=logax(a>0,且a≠1)的形式.
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)对数函数的定义域为R. ( )
(2)函数y=logx是对数函数. ( )
(3)y=log2x2与logx3都不是对数函数. ( )
微点练明
×
×
√
2.下列函数是对数函数的是 ( )
A.y=log2x B.y=ln(x+1)
C.y=logxe D.y=logxx
√
3.函数f(x)=(a2-a+1)log(a+1)x是对数函数,则实数a= .
解析:由a2-a+1=1,解得a=0或1.
又a+1>0,且a+1≠1,∴a=1.
1
4.已知对数函数的图象过点M(8,3),则f= .
解析:设f(x)=logax(a>0,且a≠1),由图象过点M(8,3),则有3=loga8,解得a=2.所以对数函数的解析式为f(x)=log2x,所以f=log2=-1.
-1
逐点清(二) 反函数
02
多维理解
习惯上,对数函数表示为y=logax(a>0,且a≠1),指数函数表示为y=ax
(a>0,且a≠1).因此,指数函数y=ax是对数函数y=logax的________,对数函数y=logax也是指数函数y=ax的_______.即它们___________.
反函数
反函数
互为反函数
微点练明
1.已知函数f(x)=2x的反函数是y=g(x),则g的值为( )
A.1 B.
C.- D.-1
解析:∵由y=f(x)=2x,得x=log2y,∴原函数的反函数为g(x)=log2x,则g
=log2=-1.
√
2.与函数y=的图象关于直线y=x对称的函数是( )
A.y=4x B.y=4-x
C.y=x D.y=log4x
解析:因为函数y=ax与y=logax(a>0且a≠1)互为反函数,且这两个函数的图象关于直线y=x对称,因此与函数y=的图象关于直线y=x对称的函数是y=x.
√
3.已知函数y=ex与函数y=f(x)互为反函数,则 ( )
A.f(3x)=e3x(x∈R) B.f(3x)=ln 3·ln x(x>0)
C.f(3x)=3ex D.f=ln x+ln 3(x>0)
解析:因为y=ex,所以其反函数为y=ln x,即f(x)=ln x,所以f(3x)=ln 3x=ln x+ln 3(x>0).
√
4.函数y=3x+1的反函数的表达式为 ( )
A.y=log3x+1 B.y=log3x-1
C.y=log3(x+1) D.y=log3(x-1)
解析:由y=3x+1得x=log3y-1,令y=x得y=log3x-1,所以函数y=3x+1的反函数的表达式为y=log3x-1.
√
逐点清(三)
对数函数y=log2x的图象
03
多维理解
1.对数函数y=log2x的图象作法
方法一:描点法.
方法二:由指数函数的图象得到对数函数的图象.
2.对数函数y=log2x图象的特点
函数的图象位于y轴的_____;从靠近y轴最下端的位置逐渐______,过点_____,继续_____,函数值越来_____,直至_____.
3.对数函数y=log2x图象的性质
函数y=log2x在定义域________上是_______,且值域为____.
右边
上升
(1,0)
上升
越大
无穷
(0,+∞)
增函数
R
微点练明
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)函数y=2x与函数y=log2x的图象关于y轴对称. ( )
(2)由函数y=log2x的图象向左平移1个单位长度可得y=log2x+1的图象.( )
(3)函数y=log2x是偶函数. ( )
×
×
×
2.作出y=lox及y=log3x的图象.
解:易知y=lox=-log2x.故y=lox的图象如图①.
利用y=3x的图象变换得到y=log3x的图象如图②.
逐点清(四) 以常数为底的对数的性质的应用
04
[典例] (1)求满足不等式log2(2x-1)解:∵真数大于0,
∴解得又函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数,
∴2x-1<-x+5,解得x<2.
综上,x的取值集合为.
(2)比较下列各组数的大小.
①log2π与log20.9;
②log20.3与log24;
③与.
解:①∵函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数,π>0.9,
∴log2π>log20.9.
②由于log20.3log22=1,
∴log20.3③∵函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数且log21=0,
∴log20.3∴>.
|思|维|建|模|
1.对数函数比较大小的策略
主要根据函数的单调性来判断,对于与函数y=log2x有关的数值比较大小时,还可以通过引入中间变量0,数值与0进行比较,从而得出结论.
2.解不等式的策略
(1)求形如log2x>log2y的不等式,常借助y=log2x在(0,+∞)是增函数求解.
(2)求形如log2x>b的不等式,应将b化成以2为底对数的形式,再借助y=log2x的单调性求解.
1.已知log2m<0解析：∵log2m针对训练
m2.(1)已知log2x>4，求实数x的取值范围；
解:易知log216=4,
由函数y=log2x的单调性知,若满足log2x>4,
则x>16.故实数x的取值范围为(16,+∞).
(2)已知log2 (2x) 解:由y=log2x的单调性知2x又解得x>0,
故实数x的取值范围为(0,1).
课时跟踪检测
04
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2
√
1.下列函数是对数函数的是 ( )
A.y=log2x2
B.y=x
C.y=logx2(x>0,x≠1)
D.y=log2
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2
解析:对于A,真数为x2,而不是x,故A不是对数函数;对于B,底数π-e为常数,且0<π-e<1,真数为x,且函数系数为1,故B是对数函数;对于C,真数为常数,而不是x,故C不是对数函数;对于D,真数为,而不是x,故D不是对数函数.
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√
2.已知函数f(x)=loga(x+1),若f(1)=2,则a= ( )
A.0 B.1
C. D.2
解析:∵f(1)=loga(1+1)=2,∴a2=2,则a=,故选C.
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2
√
3.log2与log2的大小关系为( )
A.log2≥log2 B.log2>log2
C.log2≤log2 D.log2解析:∵y=log2x在(0,+∞)上是增函数,而a2+a+1=+≥,
∴log2(a2+a+1)≥log2.
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√
4.已知对数函数y=logax(a>0,且a≠1),且过点(9,2),f(x)的反函数记为y=g(x),则g(x)的解析式是 ( )
A.g(x)=4x B.g(x)=2x
C.g(x)=9x D.g(x)=3x
解析:由题意,可知loga9=2,则a=3,所以f(x)=log3x,则反函数g(x)=3x.
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2
√
5.(多选)下列结论中正确的是 ( )
A.log35B.lo5>lo7
C.log2(x2-1)≤3的解集为[-3,3]
D.lo(x-1)>-2的解集为(-∞,5)
√
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2
解析:易知A、B正确.
由log2(x2-1)≤3,
得log2(x2-1)≤log28.
结合单调性知解得1由lo(x-1)>-2,得log2(x-1)<2,
则有解得11
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2
√
6.设a>0,且a≠1,函数f(x)=ax,g(x)=bx的反函数分别是n(x)和m(x).若lg a+lg b=0,则n(x)与m(x)的图象 ( )
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于y=x对称
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解析:由lg a+lg b=0,得b=a-1,
∴f(x)=ax,g(x)=a-x.
其反函数分别为n(x)=logax,m(x)=-logax,
∴n(x)与m(x)的图象关于x轴对称.
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7.已知f(x)为对数函数,f=-2,则f()= .
解析:设f(x)=logax(a>0,且a≠1),则loga=-2,∴=,即a=.
∴f(x)=x,∴f()==1.
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8.log23.4与log28.5的大小关系为 .
解析:直接利用函数y=log2x的单调性即可判断.
log23.41
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9.若f(x)=log2x,x∈[2,3],则函数f(x)的值域为 .
解析:∵f(x)=log2x在[2,3]上是单调递增的,
∴log22≤log2x≤log23,即1≤log2x≤log23.
[1,log23]
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10.不等式lo(5+x)解析:因为函数y=lox在(0,+∞)上是减函数,
所以解得-2故所求不等式的解集为(-2,1).
(-2,1)
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2
11.(10分)已知f(x)=log2(x2-2ax+a+2)
(1)若f(1)=2,求a的值;
解:f(1)=log2(3-a)=2,∴3-a=22=4,解得a=-1.
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(2)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围.
解:∵f(x)的定义域为R,
∴x2-2ax+a+2>0对 x∈R恒成立,
∴Δ=(-2a)2-4(a+2)<0,即a2-a-2<0,解得-11
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12.(10分)已知函数f(x)=log2(x+1),g(x)=log2(3x+1).
(1)求出使g(x)≥f(x)成立的x的取值范围;
解:因为f(x)=log2(x+1),
g(x)=log2(3x+1),
g(x)≥f(x),所以3x+1≥x+1>0,所以x≥0.
即使g(x)≥f(x)成立的x的取值范围为[0,+∞).
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(2)当x∈[0,+∞)时,求函数y=g(x)-f(x)的值域.
解:y=g(x)-f(x)=log2(3x+1)-log2(x+1)=log2(x≥0).
令h(x)==3-,
则h(x)为[0,+∞)上的增函数,
所以1≤h(x)<3,
故y=g(x)-f(x)∈[0,log23),
即函数y=g(x)-f(x)的值域为[0,log23).
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13.(10分)函数y=log2x,y=log5x,y=lg x的图象如图所示.
(1)试说明哪个函数对应于哪个图象,并解释为什么;
解:①对应函数y=lg x,②对应函数y=log5x,③对应函数y=log2x.当底数大于1时,图象在x=1的右侧,底数越大的图象越在下方.
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(2)以已有图象为基础,在同一直角坐标系中画出y=lox,y=lox,y=lox的图象;
解:如图,
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(3)从(2)的图中你发现了什么
解:从图中发现,y=log2x,y=log5x,y=lg x的图象分别与y=lox,
y=lox,y=lox的图象关于x轴对称.可推广到一般情况.
∵lox=-logax(a>0,且a≠1),∴y=lox(a>0,且a≠1)的图象与y=logax(a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称,它们的单调性相反.课时跟踪检测(三十二) 对数函数的概念及y＝log2x的图象和性质
(满分80分，选填小题每题5分)
1．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝log2x2
B．y＝logx
C．y＝logx2(x>0，x≠1)
D．y＝log2
2．已知函数f(x)＝loga(x＋1)，若f(1)＝2，则a＝( )
A．0 B．1
C. D．2
3．log2与log2的大小关系为( )
A．log2≥log2
B．log2>log2
C．log2≤log2
D．log24．已知对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)，且过点(9,2)，f(x)的反函数记为y＝g(x)，则g(x)的解析式是( )
A．g(x)＝4x B．g(x)＝2x
C．g(x)＝9x D．g(x)＝3x
5．(多选)下列结论中正确的是( )
A．log35B．log5>log7
C．log2(x2－1)≤3的解集为[－3,3]
D．log(x－1)>－2的解集为(－∞，5)
6．设a＞0，且a≠1，函数f(x)＝ax，g(x)＝bx的反函数分别是n(x)和m(x)．若lg a＋lg b＝0，则n(x)与m(x)的图象( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于y＝x对称
7．已知f(x)为对数函数，f＝－2，则f()＝________.
8．log23.4与log28.5的大小关系为________．
9．若f(x)＝log2x，x∈[2,3]，则函数f(x)的值域为________．
10．不等式log(5＋x)＜log(1－x)的解集为________．
11．(10分)已知f(x)＝log2(x2－2ax＋a＋2)
(1)若f(1)＝2，求a的值；
(2)若f(x)的定义域为R，求a的取值范围．
12．(10分)已知函数f(x)＝log2(x＋1)，g(x)＝log2(3x＋1)．
(1)求出使g(x)≥f(x)成立的x的取值范围；
(2)当x∈[0，＋∞)时，求函数y＝g(x)－f(x)的值域．
13．(10分)函数y＝log2x，y＝log5x，y＝lg x的图象如图所示．
(1)试说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么；
(2)以已有图象为基础，在同一直角坐标系中画出y＝logx，y＝logx，y＝logx的图象；
(3)从(2)的图中你发现了什么？
课时跟踪检测(三十二)
1．选B 对于A，真数为x2，而不是x，故A不是对数函数；对于B，底数π－e为常数，且0<π－e<1，真数为x，且函数系数为1，故B是对数函数；对于C，真数为常数，而不是x，故C不是对数函数；对于D，真数为，而不是x，故D不是对数函数．
2．选C ∵f(1)＝loga(1＋1)＝2，∴a2＝2，则a＝，故选C.
3．选A ∵y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，而a2＋a＋1＝2＋≥，
∴log2(a2＋a＋1)≥log2.
4．选D 由题意，可知loga9＝2，则a＝3，所以f(x)＝log3x，则反函数g(x)＝3x.
5．选AB 易知A、B正确．
由log2(x2－1)≤3，得log2(x2－1)≤log28.
结合单调性知解得1由log(x－1)>－2，得log2(x－1)<2，
则有解得16．选A 由lg a＋lg b＝0，得b＝a－1，
∴f(x)＝ax，g(x)＝a－x.
其反函数分别为n(x)＝logax，m(x)＝－logax，
∴n(x)与m(x)的图象关于x轴对称．
7．解析：设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，则loga＝－2，∴＝，即a＝.
∴f(x)＝logx，∴f()＝log＝1.
答案：1
8．解析：直接利用函数y＝log2x的单调性即可判断．
答案：log23.49．解析：∵f(x)＝log2x在[2,3]上是单调递增的，∴log22≤log2x≤log23，即1≤log2x≤log23.
答案：[1，log23]
10．解析：因为函数y＝logx在(0，＋∞)上是减函数，
所以解得－2＜x＜1.
故所求不等式的解集为(－2,1)．
答案：(－2,1)
11．解：(1)f(1)＝log2(3－a)＝2，∴3－a＝22＝4，解得a＝－1.
(2)∵f(x)的定义域为R，
∴x2－2ax＋a＋2>0对 x∈R恒成立，
∴Δ＝(－2a)2－4(a＋2)<0，即a2－a－2<0，解得－112．解：(1)因为f(x)＝log2(x＋1)，
g(x)＝log2(3x＋1)，
g(x)≥f(x)，所以3x＋1≥x＋1>0，
所以x≥0.
即使g(x)≥f(x)成立的x的取值范围为[0，＋∞)．
(2)y＝g(x)－f(x)＝log2(3x＋1)－log2(x＋1)＝log2(x≥0)．
令h(x)＝＝3－，
则h(x)为[0，＋∞)上的增函数，
所以1≤h(x)<3，
故y＝g(x)－f(x)∈[0，log23)，
即函数y＝g(x)－f(x)的值域为[0，log23)．
13．解：(1)①对应函数y＝lg x，②对应函数y＝log5x，③对应函数y＝log2x.当底数大于1时，图象在x＝1的右侧，底数越大的图象越在下方．
(2)如图，
(3)从图中发现，y＝log2x，y＝log5x，y＝lg x的图象分别与y＝logx，y＝logx，y＝logx的图象关于x轴对称．
可推广到一般情况．
∵logx＝－logax(a>0，且a≠1)，
∴y＝logx(a>0，且a≠1)的图象与y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称，它们的单调性相反．
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