板块综合 指数、对数函数图象与性质的综合应用
(阶段小结课—习题讲评式教学)
[建构知识体系]
[融通学科素养]
1．浸润的核心素养
(1)通过指数、对数运算性质的学习与运用，重点提升数学运算素养．
(2)通过作指数函数、对数函数的图象以及简单图象的平移翻折变换，提升直观想象和逻辑推理素养．
(3)通过对指数函数、对数函数的图象及性质的运用，重点提升数学运算和逻辑推理素养．
2．渗透的数学思想
(1)涉及数形结合思想的题目类型有知式选图，图象变换和指数函数、对数函数图象的应用．函数图象形象地展示了函数的性质，为研究函数的性质提供了形象的直观性，它是探求解题路径，获得问题结果的重要工具．
(2)常见的分类讨论有两种：一是当指数函数、对数函数的底数为字母参数时，要确定它的单调性需要讨论；二是含参数的不等式、方程，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需要分类讨论．
题型(一) 指数、对数函数的图象及应用
[例1] 已知a>0，且a≠1，则函数f(x)＝ax和g(x)＝loga的图象只可能是( )
|思|维|建|模|
指数函数、对数函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具，所以要能熟练画出这两类函数图象，并会进行平移、对称、翻折等变换．
[针对训练]
1．当0
A. B.
C．(1，) D．(，2)
题型(二) 解不等式、比较大小问题
[例2] 已知a＝0.20.3,2b＝0.3，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是( )
A．c＞b＞a B．c＞a＞b
C．b＞a＞c D．a＞c＞b
[例3] 设0A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，loga3) D．(loga3，＋∞)
|思|维|建|模|
方程、不等式的求解可利用单调性进行转化，对含参数的问题要进行分类讨论，同时还要注意变量本身的取值范围，以免出现增根；比较大小问题可直接利用单调性和中间值解决．
[针对训练]
2．若0A．3y<3x
B．logx3C．log4xD.x3．已知函数f(x)＝lg(2x－b)(b为常数)，若x∈[1，＋∞)时，f(x)≥0恒成立，则b的取值范围是________．
题型(三) 指数、对数函数的综合问题
[例4] (多选)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2，已知函数f(x)＝－，g(x)＝[f(x)]，则下列叙述正确的是( )
A．g(x)是偶函数
B．f(x)在R上是增函数
C．f(x)的值域是
D．g(x)的值域是{－1,0,1}
[例5] 幂函数y＝xα(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xm，y＝xn 的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，则mn＝________.
听课记录：
|思|维|建|模|
(1)研究函数的性质要树立定义域优先的原则．
(2)换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题，该类问题中，常设u＝logax或u＝ax，转化为一元二次方程、二次函数等问题．要注意换元后u的取值范围．
[针对训练]
4．已知函数________①f(x)＝；②f(x)＝ln；请在给出的两个函数中选择其中的一个作为已知条件，将序号填写在横线上，解答下列问题．
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)判断并证明函数f(x)在其定义域上的单调性；
(3)解关于m的不等式f(m－1)＋f(2m)＜0.
板块综合 指数、对数函数图象与性质的综合应用
[题型(一)]
[例1] 选C 函数g(x)的定义域是(－∞，0)，排除A、B；若01，则f(x)＝ax是增函数，此时g(x)＝loga是增函数，C满足．
[针对训练]
1. 选B 易知0=2即可,解得a>.所以[题型(二)]
[例2] 选B 因为y=0.2x在R上单调递减,所以0<0.20.3<0.20=1.所以0log0.30.3=1.所以c>1.综上可知,c>a>b.故选B.
[例3] 选C 由已知得f(x)=loga(a2x-2ax-2)<0=loga1.又当01,即a2x-2ax-3>0,(ax-3)·(ax+1)>0.因为ax+1>0,所以ax>3.又0[针对训练]
2．选C 对于A,函数y=3x在R上单调递增,因为0logy3,B错误;对于C,函数y=log4x在(0,+∞)上单调递增,故log4x,D错误.
3．解析：因为要使f(x)＝lg(2x－b)在x∈[1，＋∞)时，恒有f(x)≥0，所以有2x－b≥1在x∈[1，＋∞)时恒成立，即2x≥b＋1在x∈[1，＋∞)上恒成立．又因为指数函数g(x)＝2x在定义域上是增函数．所以只需2≥b＋1成立即可，解得b≤1.
答案：(－∞，1]
[题型(三)]
[例4] 选BD 因为f(x)=-=-=2--=-,定义域为R,y=1+ex在定义域上单调递增,且y=1+ex>1,又y=-在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)=-在定义域R上单调递增,故B正确;
因为1+ex>1,所以0<<1.所以-1<-<0,则-2<-<0,-<-<,即f(x)∈,故C错误;令f(x)=0,即-=0,解得x=-ln 3.
所以当x<-ln 3时,f(x)∈.
令f(x)=1,即-=1,解得x=ln 3,所以当-ln 3当x>ln 3时,f(x)∈.
所以g(x)=[f(x)]=所以g(x)的值域是{-1,0,1},故D正确;
显然g(5)≠g(-5),即g(x)不是偶函数,故A错误.
[例5] 解析：因为BM＝MN＝NA，点A(1,0)，B(0，1)，所以M，N.分别代入y＝xm，y＝xn，得mn＝log·log＝1.
答案：1
[针对训练]
4．解：(1)若选①，f(x)＝，其定义域为(－∞，＋∞)．因为f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
若选②，f(x)＝ln，由＞0，得－1＜x＜1，则其定义域为(－1,1)．
因为f(－x)＝ln＝ln－1＝－ln＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
(2)若选①，f(x)＝，其定义域为(－∞，＋∞)，函数f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
证明如下：
设x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝1－－1＋＝－＝.因为x1＜x2，所以2x1＜2x2，2x1－2x2＜0.又2x2＋1＞0,2x1＋1＞0，所以＜0，即f(x1)＜f(x2)．所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
若选②，f(x)＝ln，由(1)知其定义域为(－1,1)，函数f(x)在(－1,1)内为增函数．
证明如下：
设－1＜x1＜x2＜1，则
f(x1)－f(x2)＝ln－ln
＝ln
＝ln.
因为－1＜x1＜x2＜1，所以1＋x1＞0,1－x2＞0,1＋x2＞0,1－x1＞0，
所以＞0，
即＞0.
又1－x1＋x2－x1x2＝(1－x1x2)＋(x2－x1)＞0，所以1＋x1－x2－x1x2＞0.
因为1＋x1－x2－x1x2－(1－x1＋x2－x1x2)＝2(x1－x2)＜0，所以1＋x1－x2－x1x2＜1－x1＋x2－x1x2，即0＜＜1.
所以ln＜0，即f(x1)＜f(x2)．
所以函数f(x)在(－1,1)内为增函数．
(3)若选①，则由(1)和(2)知，函数f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数且为奇函数．
由f(m－1)＋f(2m)＜0，
得f(m－1)＜－f(2m)＝f(－2m)．
所以m－1＜－2m，解得m＜.
所以不等式f(m－1)＋f(2m)＜0的解集为.
若选②，则由(1)和(2)知，函数f(x)在(－1，1)内为增函数且为奇函数．
由f(m－1)＋f(2m)＜0，得f(m－1)＜－f(2m)＝f(－2m)．
所以解得0＜m＜.
所以不等式f(m－1)＋f(2m)＜0的解集为.
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板块综合 指数、对数函数图象与性质的综合应用(阶段小结课—习题讲评式教学)
建构知识体系
融通学科素养
1.浸润的核心素养
(1)通过指数、对数运算性质的学习与运用,重点提升数学运算素养.
(2)通过作指数函数、对数函数的图象以及简单图象的平移翻折变换,提升直观想象和逻辑推理素养.
(3)通过对指数函数、对数函数的图象及性质的运用,重点提升数学运算和逻辑推理素养.
2.渗透的数学思想
(1)涉及数形结合思想的题目类型有知式选图,图象变换和指数函数、对数函数图象的应用.函数图象形象地展示了函数的性质,为研究函数的性质提供了形象的直观性,它是探求解题路径,获得问题结果的重要工具.
(2)常见的分类讨论有两种:一是当指数函数、对数函数的底数为字母参数时,要确定它的单调性需要讨论;二是含参数的不等式、方程,由于参数的取值不同会导致所得的结果不同,需要分类讨论.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 指数、对数函数的图象及应用
题型(二) 解不等式、比较大小问题
题型(三) 指数、对数函数的综合问题
4
课时跟踪检测
题型(一)
指数、对数函数的图象及应用
01
[例1] 已知a>0,且a≠1,则函数f(x)=ax和g(x)=loga的图象只可能是( )
√
解析:函数g(x)的定义域是(-∞,0),排除A、B;若01,则f(x)=ax是增函数,此时g(x)=loga是增函数,C满足.
|思|维|建|模|
指数函数、对数函数图象既是直接考查的对象,又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具,所以要能熟练画出这两类函数图象,并会进行平移、对称、翻折等变换.
1.当0A. B. C.(1,) D.(,2)
解析:易知0图所示,只需满足loga>=2即可,解得a>.所以<1.故选B.
针对训练
√
题型(二) 解不等式、比较大小问题
02
[例2] 已知a=0.20.3,2b=0.3,c=log0.30.2,则a,b,c的大小关系是 ( )
A.c>b>a B.c>a>b
C.b>a>c D.a>c>b
解析:因为y=0.2x在R上单调递减,所以0<0.20.3<0.20=1.所以0log0.30.3=1.所以c>1.综上可知,c>a>b.故选B.
√
[例3] 设0A.(-∞,0) B.(0,+∞)
C.(-∞,loga3) D.(loga3,+∞)
解析:由已知得f(x)=loga(a2x-2ax-2)<0=loga1.又当01,即a2x-2ax-3>0,(ax-3)·(ax+1)>0.因为ax+1>0,所以ax>3.又0√
|思|维|建|模|
方程、不等式的求解可利用单调性进行转化,对含参数的问题要进行分类讨论,同时还要注意变量本身的取值范围,以免出现增根;比较大小问题可直接利用单调性和中间值解决.
针对训练
2.若0A.3y<3x B.logx3C.log4x√
解析:对于A,函数y=3x在R上单调递增,因为0logy3,B错误;对于C,函数y=log4x在(0,+∞)上单调递增,故log4x,D错误.
3.已知函数f(x)=lg(2x-b)(b为常数),若x∈[1,+∞)时,f(x)≥0恒成立,则b的取值范围是 .
解析:因为要使f(x)=lg(2x-b)在x∈[1,+∞)时,恒有f(x)≥0,所以有2x-b≥1在x∈[1,+∞)时恒成立,即2x≥b+1在x∈[1,+∞)上恒成立.又因为指数函数g(x)=2x在定义域上是增函数.所以只需2≥b+1成立即可,解得b≤1.
(-∞,1]
题型(三) 指数、对数函数的综合问题
03
[例4] (多选)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,例如:[-3.5]=-4,[2.1]=2,已知函数f(x)=-,g(x)=[f(x)],则下列叙述正确的是( )
A.g(x)是偶函数
B.f(x)在R上是增函数
C.f(x)的值域是
D.g(x)的值域是{-1,0,1}
√
√
解析:因为f(x)=-=-=2--=-,定义域为R,y=1+ex在定义域上单调递增,且y=1+ex>1,又y=-在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)=
-在定义域R上单调递增,故B正确;
因为1+ex>1,所以0<<1.所以-1<-<0,则-2<-<0,-<-<,即f(x)∈,故C错误;令f(x)=0,即-=0,解得x=-ln 3.
所以当x<-ln 3时,f(x)∈.
令f(x)=1,即-=1,解得x=ln 3,所以当-ln 3当x>ln 3时,f(x)∈.
所以g(x)=[f(x)]=所以g(x)的值域是{-1,0,1},故D正确;
显然g(5)≠g(-5),即g(x)不是偶函数,故A错误.
[例5] 幂函数y=xα(α≠0),当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一簇曲线(如图).设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xm,y=xn 的图象三等分,即有BM=MN=NA,则mn= .
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解析:因为BM=MN=NA,点A(1,0),B(0,1),所以M,N.分别代入y=xm,y=xn,得mn=lo·lo=1.
|思|维|建|模|
(1)研究函数的性质要树立定义域优先的原则.
(2)换元法的作用是利用整体代换,将问题转化为常见问题,该类问题中,常设u=logax或u=ax,转化为一元二次方程、二次函数等问题.要注意换元后u的取值范围.
针对训练
4.已知函数 ①f(x)=;②f(x)=ln;请在给出的两个函数中选择其中的一个作为已知条件,将序号填写在横线上,解答下列问题.
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
解:若选①,f(x)=,其定义域为(-∞,+∞).因为f(-x)===-f(x),所以f(x)为奇函数.
若选②,f(x)=ln,由>0,得-1因为f(-x)=ln=ln=-ln=-f(x),所以f(x)为奇函数.
(2)判断并证明函数f(x)在其定义域上的单调性;
解:若选①,f(x)=,其定义域为(-∞,+∞),函数f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.
证明如下:
设x1-=.因为x10,+1>0,所以<0,即f(x1)若选②,f(x)=ln,由(1)知其定义域为(-1,1),函数f(x)在(-1,1)内为增函数.
证明如下:
设-1f(x1)-f(x2)=ln-ln
=ln=ln.
因为-10,1-x2>0,1+x2>0,1-x1>0,
所以>0,
即>0.
又1-x1+x2-x1x2=(1-x1x2)+(x2-x1)>0,所以1+x1-x2-x1x2>0.
因为1+x1-x2-x1x2-(1-x1+x2-x1x2)=2(x1-x2)<0,所以1+x1-x2-x1x2<1-x1+x2-x1x2,即0<<1.
所以ln<0,即f(x1)所以函数f(x)在(-1,1)内为增函数.
(3)解关于m的不等式f(m-1)+f(2m)<0.
解:若选①,则由(1)和(2)知,函数f(x)在(-∞,+∞)上为增函数且为奇函数.
由f(m-1)+f(2m)<0,
得f(m-1)<-f(2m)=f(-2m).
所以m-1<-2m,解得m<.所以不等式f(m-1)+f(2m)<0的解集为.
若选②,则由(1)和(2)知,函数f(x)在(-1,1)内为增函数且为奇函数.
由f(m-1)+f(2m)<0,得f(m-1)<-f(2m)=f(-2m).
所以解得0课时跟踪检测
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√
A级——达标评价
1.函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
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解析:因为f(x)=1+log2x的图象是由y=log2x的图象向上平移一个单位长度得到的,过定点(1,1).g(x)=2-x+1=的图象是由y=的图象向右平移一个单位长度得到的.过定点(0,2).故只有C项中的图象符合.
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√
2.已知a=40.6,b=log38,c=ln 2,则 ( )
A.cC.b解析:因为a=40.6>40.5=2,所以a>2.因为log3314
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√
3.已知0A.2 B.3
C.4 D.与a的值有关
解析:设y1=a|x|,y2=|logax|,分别作出它们的图象,
如图.由图可知,有两个交点,故方程a|x|=|logax|
有两个实根.故选A.
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√
4.设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则 ( )
A.3y<2x<5z B.2x<3y<5z
C.3y<5z<2x D.5z<2x<3y
解析:令2x=3y=5z=k(k>1),则x=log2k,y=log3k,z=log5k.
∴=·=>1,则2x>3y,=·=<1,则2x<5z.故选A.
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√
5.已知定义在R上的函数f(x)=e-x-mex(m∈R)是奇函数,设a=f(log32),
b=f(log53),c=-f,则有( )
A.aC.a14
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解析:因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,即f(0)=e-0-me0=0,解得m=1.所以f(x)=e-x-ex,所以f(x)在R上单调递减.又因为log323=,log533>log525=,所以b14
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6.甲、乙两人解关于x的方程2x+b·2-x+c=0,甲写错了常数b,得到的根为x=-2或x=log2,乙写错了常数c,得到的根为x=0或x=1,则原方程所有根的和是 .
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解析:设t=2x,由2x+b·2-x+c=0可得t++c=0,则t2+ct+b=0.对于甲,由于甲写错常数b,则常数c是正确的,由根与系数的关系可得-c=2-2+=,即c=-;对于乙,由于乙写错了常数c,则常数b是正确的,由根与系数的关系可得b=20·21=2.所以关于t的方程为t2-t+2=0,解得t=或t=4,即2x=或2x=4,解得x=-1或2.所以原方程所有根的和是-1+2=1.
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7.已知a>1,b>1,且ab=e2,则aln b的最大值为 .
解析:∵ab=e2,a>1,b>1,∴ln a>0,ln b>0,两边取对数得ln(ab)=ln a+ln b=ln e2=2,设t=aln b,两边取对数得ln t=ln aln b≤=1,当且仅当即a=b=e时,等号成立,∴t≤e,即aln b的最大值为e.
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8.(10分)设函数f(x)=log2(2x)·log2.
(1)解方程f(x)+6=0;
解: f(x)=(log22+log2x)(log2x-log216)=(1+log2x)(log2x-4)=(log2x)2-3log2x-4.由f(x)+6=0得(log2x)2-3log2x+2=0,解得log2x=1或log2x=2.所以x=2或x=4.所以方程f(x)+6=0的解是x=2或x=4.
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(2)设不等式≤43x-2的解集为M,求函数f(x)(x∈M)的值域.
解:由≤43x-2得≤26x-4,即x2+x≤6x-4,解得1≤x≤4,即M={x|1≤x≤4}.
又f(x)=(log2x)2-3log2x-4,
令t=log2x,所以0≤t≤2,则g(t)=t2-3t-4=-为开口向上、对称轴为t=的抛物线.因为0≤t≤2,所以-≤g(t)≤-4.所以函数f(x)(x∈M)的值域为.
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9.(12分)已知函数f(x)=(log2x-2).
(1)当x∈[2,4]时,求该函数的取值范围;
解:f(x)=(2log4x-2),令t=log4x,因为x∈[2,4],所以t∈, 所以y=(2t-2)=2t2-3t+1=2-.因为t∈,所以y∈,所以当x∈[2,4]时,该函数的取值范围为.
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(2)若f(x)≥mlog4x对任意x∈[4,16]恒成立,求实数m的取值范围.
解:令t=log4x,则f(x)≥mlog4x对任意x∈[4,16]恒成立,即2t2-3t+1≥mt对任意t∈[1,2]恒成立,所以m≤2t+-3对任意t∈[1,2]恒成立.由对勾函数的单调性可知,g(t)=2t+-3在[1,2]上单调递增,所以m≤g(1)=0.故实数m的取值范围为(-∞,0].
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B级——重点培优
10.设函数f(x)=则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )
A.[-1,2] B.[0,2]
C.[1,+∞) D.[0,+∞)
解析: f(x)≤2 或 0≤x≤1或x>1,故选D.
√
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11.(多选)已知logb3>loga3>0,则下列不等式一定成立的是 ( )
A.> B.<
C.log2(a-b)>0 D.2a-b>1
解析:logb3>loga3>0,由换底公式,有0b>1,∴<,A错误;函数f(x)=为减函数,∴<,B正确;a-b>0,但a-b>1不一定成立, 不能得到log2(a-b)>0,C错误;2a-b>20=1,D正确.
√
√
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√
12.若m=log56·log67·log78·log89·log910,则m的取值范围是 ( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
解析:依题意,m=log56····=log510.而对数函数y=log5x在(0,+∞)上单调递增,又5<10<25,所以log5514
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√
13.已知4-a=2a,b=log95+log23,5a+12a=13c,则 ( )
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>b>a D.a>c>b
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解析:显然函数f(a)=4-a-2a在R上单调递减,f>0,f<0,则1log94+log23=log32+log23=log32+>2,则b>2;由5a+12a=13c,得+=13c-a,而函数y=+在R上单调递减,则13c-a=+>+=1,因此c-a>0,即c>a,又114
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14.已知函数y=f(x)与y=ex的图象关于直线y=x对称,则f(x2-2x-8)的单调递增区间为 .
解析:由已知,得f(x)=ln x,所以f(x2-2x-8)的单调递增区间满足解得x>4.
(4,+∞)
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15.(13分)我们知道当a>0时,am+n=am·an对一切m,n∈R恒成立,某同学在进一步研究指数幂运算时,发现有这么一个等式21+1=21+21,带着好奇,他进一步对2m+n=2m+2n进行深入研究.
(1)当m=2时,求n的值;
解:当m=2时,22+n=22+2n,即3·2n=4,所以n=log2.
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(2)当m≤0时,求证:n是不存在的;
解:证明:设t=2m,因为m≤0,所以t=2m∈(0,1].
又t·2n=t+2n,
当m=0时,t=1,t·2n=t+2n不成立;当m≠0时,t<1,由t·2n=t+2n可得2n=.
因为2n>0,t>0,t-1<0,所以2n=不成立.综上所述,当m≤0时,n是不存在的.
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(3)求证:只有一对正整数对(m,n)使得等式成立.
解:证明:由2m+n=2m+2n可得2n=.
当m,n均为正整数时,等号左侧为2的指数幂,故右侧也是2的指数幂,
所以2m-1=1,即m=1时符合题意,此时n=1.
所以只有一对正整数对(1,1)使得等式成立.
14课时跟踪检测(三十五) 指数、对数函数图象与性质的综合应用
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝2－x＋1在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
2．已知a＝40.6，b＝log38，c＝ln 2，则( )
A．cC．b3．已知0＜a＜1，则方程a|x|＝|logax|的实根个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．与a的值有关
4．设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A．3y<2x<5z B．2x<3y<5z
C．3y<5z<2x D．5z<2x<3y
5．已知定义在R上的函数f(x)＝e－x－mex(m∈R)是奇函数，设a＝f(log32)，b＝f(log53)，c＝－f，则有( )
A．aC．a6．甲、乙两人解关于x的方程2x＋b·2－x＋c＝0，甲写错了常数b，得到的根为x＝－2或x＝log2，乙写错了常数c，得到的根为x＝0或x＝1，则原方程所有根的和是________．
7．已知a>1，b>1，且ab＝e2，则aln b的最大值为________．
8．(10分)设函数f(x)＝log2(2x)·log2.
(1)解方程f(x)＋6＝0；
(2)设不等式2x2＋x≤43x－2的解集为M，求函数f(x)(x∈M)的值域．
9．(12分)已知函数f(x)＝(log2x－2).
(1)当x∈[2,4]时，求该函数的取值范围；
(2)若f(x)≥mlog4x对任意x∈[4,16]恒成立，求实数m的取值范围．
B级——重点培优
10．设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )
A．[－1,2] B．[0,2]
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
11．(多选)已知logb3>loga3>0，则下列不等式一定成立的是( )
A.> B.aC．log2(a－b)>0 D．2a－b＞1
12．若m＝log56·log67·log78·log89·log910，则m的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
13．已知4－a＝2a，b＝log95＋log23,5a＋12a＝13c，则( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．a>c>b
14．已知函数y＝f(x)与y＝ex的图象关于直线y＝x对称，则f(x2－2x－8)的单调递增区间为__________．
15．(13分)我们知道当a>0时，am＋n＝am·an对一切m，n∈R恒成立，某同学在进一步研究指数幂运算时，发现有这么一个等式21＋1＝21＋21，带着好奇，他进一步对2m＋n＝2m＋2n进行深入研究．
(1)当m＝2时，求n的值；
(2)当m≤0时，求证：n是不存在的；
(3)求证：只有一对正整数对(m，n)使得等式成立．
课时跟踪检测(三十五)
1．选C 因为f(x)＝1＋log2x的图象是由y＝log2x的图象向上平移一个单位长度得到的，过定点(1,1)．g(x)＝2－x＋1＝x－1的图象是由y＝x的图象向右平移一个单位长度得到的．过定点(0,2)．故只有C项中的图象符合．
2．选D 因为a＝40.6>40.5＝2，所以a>2.因为log333.选A 设y1＝a|x|，y2＝|logax|，分别作出它们的图象，如图．由图可知，有两个交点，故方程a|x|＝|logax|有两个实根．故选A.
4．选A 令2x＝3y＝5z＝k(k>1)，则x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.∴＝·＝>1，则2x>3y，＝·＝<1，则2x<5z.故选A.
5．选D 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即f(0)＝e－0－me0＝0，解得m＝1.所以f(x)＝e－x－ex，所以f(x)在R上单调递减．又因为log323log525＝，所以b6．解析：设t＝2x，由2x＋b·2－x＋c＝0可得t＋＋c＝0，则t2＋ct＋b＝0.对于甲，由于甲写错常数b，则常数c是正确的，由根与系数的关系可得－c＝2－2＋＝，即c＝－；对于乙，由于乙写错了常数c，则常数b是正确的，由根与系数的关系可得b＝20·21＝2.所以关于t的方程为t2－t＋2＝0，解得t＝或t＝4，即2x＝或2x＝4，解得x＝－1或2.所以原方程所有根的和是－1＋2＝1.
答案：1
7．解析：∵ab＝e2，a>1，b>1，∴ln a>0，ln b>0，两边取对数得ln(ab)＝ln a＋ln b＝ln e2＝2，设t＝aln b，两边取对数得ln t＝ln aln b≤2＝1，当且仅当即a＝b＝e时，等号成立，∴t≤e，即aln b的最大值为e.
答案：e
8．解：(1)f(x)＝(log22＋log2x)(log2x－log216)＝(1＋log2x)(log2x－4)＝(log2x)2－3log2x－4.由f(x)＋6＝0得(log2x)2－3log2x＋2＝0，解得log2x＝1或log2x＝2.所以x＝2或x＝4.所以方程f(x)＋6＝0的解是x＝2或x＝4.
(2)由2x2＋x≤43x－2得2x2＋x≤26x－4，即x2＋x≤6x－4，解得1≤x≤4，即M＝{x|1≤x≤4}．
又f(x)＝(log2x)2－3log2x－4，
令t＝log2x，所以0≤t≤2，则g(t)＝t2－3t－4＝2－为开口向上、对称轴为t＝的抛物线．因为0≤t≤2，所以－≤g(t)≤－4.所以函数f(x)(x∈M)的值域为.
9．解：(1)f(x)＝(2log4x－2)，令t＝log4x，因为x∈[2,4]，所以t∈， 所以y＝(2t－2)＝2t2－3t＋1＝22－.因为t∈，所以y∈，所以当x∈[2,4]时，该函数的取值范围为.
(2)令t＝log4x，则f(x)≥mlog4x对任意x∈[4,16]恒成立，即2t2－3t＋1≥mt对任意t∈[1,2]恒成立，所以m≤2t＋－3对任意t∈[1,2]恒成立．由对勾函数的单调性可知，g(t)＝2t＋－3在[1,2]上单调递增，所以m≤g(1)＝0.故实数m的取值范围为(－∞，0]．
10．选D f(x)≤2 或
0≤x≤1或x>1，故选D.
11．选BD logb3>loga3>0，由换底公式，有0b>1，∴<，A错误；函数f(x)＝x为减函数，∴a0，但a－b>1不一定成立， 不能得到log2(a－b)>0，C错误；2a－b>20＝1，D正确．
12．选B 依题意，m＝log56····＝log510.而对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上单调递增，又5<10<25，所以log5513．选B 显然函数f(a)＝4－a－2a在R上单调递减，f>0，f<0，则1log94＋log23＝log32＋log23＝log32＋>2，则b>2；由5a＋12a＝13c，得a＋a＝13c－a，而函数y＝x＋x在R上单调递减，则13c－a＝a＋a>2＋2＝1，因此c－a>0，即c>a，又114．解析：由已知，得f(x)＝ln x，所以f(x2－2x－8)的单调递增区间满足解得x>4.
答案：(4，＋∞)
15．解：(1)当m＝2时，22＋n＝22＋2n，即3·2n＝4，所以n＝log2.
(2)证明：设t＝2m，因为m≤0，所以t＝2m∈(0,1]．又t·2n＝t＋2n，
当m＝0时，t＝1，t·2n＝t＋2n不成立；
当m≠0时，t<1，由t·2n＝t＋2n可得2n＝.
因为2n>0，t>0，t－1<0，所以2n＝不成立．综上所述，当m≤0时，n是不存在的．
(3)证明：由2m＋n＝2m＋2n可得2n＝.
当m，n均为正整数时，等号左侧为2的指数幂，故右侧也是2的指数幂，
所以2m－1＝1，即m＝1时符合题意，此时n＝1.
所以只有一对正整数对(1,1)使得等式成立．
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