18.2.3正方形（巩固复习.培优卷.含解析）-2024-2025学年人教版（2024）数学八年级下册
文档属性
| 名称 | 18.2.3正方形（巩固复习.培优卷.含解析）-2024-2025学年人教版（2024）数学八年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 443.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-21 15:56:51 | ||
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文档简介
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巩固复习.培优卷 正方形
一．选择题（共5小题）
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．对角线互相平分的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
2．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，则DE的长度是（ ）
A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4
3．演示课上，王林用四根长度都为4cm的木条制作了图1所示正方形，而后将正方形的BC边固定，平推成图2的图形，并测得∠B＝60°，则在此变化过程中结论错误的是（ ）
A．AB长度不变，为4cm
B．AC长度变小，减少4
C．BD长度变大，增大4
D．ABCD面积变小，减少
4．如图在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：
①△DOF≌△COE；
②CF＝BE；
③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的 ；
④OF2+OE2＝EF2．其中正确的是（ ）
A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
5．下列说法中正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D．两条对角线相等的菱形是正方形
二．填空题（共5小题）
6．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作射线OM，ON，分别交CD，BC于点E，F，且∠EOF＝90°，连接EF给出下列结论：
①△COE≌△BOF；
②四边形OECF的面积为正方形ABCD面积的；
③EF平分∠OEC；
④DE2+BF2＝EF2．
其中正确的是 （填序号）．
7．如图AD是△ABC的高，∠BAC＝45°，若AD＝7，DC＝3，则BD＝ ．
8．正方形ABCD的边长为4，点M，N在对角线AC上（可与点A，C重合），MN＝2，点P，Q在正方形的边上．下面四个结论中，
①存在无数个四边形PMQN是平行四边形；
②存在无数个四边形PMQN是菱形；
③存在无数个四边形PMQN是矩形；
④至少存在一个四边形PMQN是正方形．
所有正确结论的序号是 ．
9．如图，在△ABC中，若∠BAC＝45°，AD⊥BC，BD＝3，AD＝9，CD＝ ．
10．如图，正方形ABCD的边长为2，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连结EF，给出四种情况：
①若G为BD上任意一点，则AG＝EF；
②若BG＝AB，则∠DAG＝22.5°；
③若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；
④若DG：BG＝1：3，则．
则其中正确的是 ．
三．解答题（共5小题）
11．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB．
（1）如果 ，那么四边形ABCD为正方形（请你填上能使结论成立的一个条件）；
（2）根据题目中的条件和你添加上的条件进行证明．
12．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE．
（1）求证：四边形BECF是菱形；
（2）当∠A＝ °时，四边形BECF是正方形；
（3）在（2）的条件下，若AC＝4，则四边形ABFC的面积为 ．
13．如图，已知菱形ABCD，点E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE、AF、CF，得四边形AECF．
（1）求证：四边形AECF是正方形；
（2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面积．
14．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝2，CE，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．
15．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．
巩固复习.培优卷 正方形
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．对角线互相平分的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【考点】正方形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定．
【专题】几何图形．
【答案】D
【分析】根据平行四边形、菱形、正方形、矩形的性质和判定逐个判断即可．
【解答】解：A、对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，错误；
B、对角线互相平分、垂直的四边形是菱形，错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，错误；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形、菱形、正方形、矩形的性质和判定的应用，能熟记平行四边形、菱形、正方形、矩形的性质和判定的内容是解此题的关键．
2．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，则DE的长度是（ ）
A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4
【考点】正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】B
【分析】过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，延长DG至F，使GF＝BE，先证四边形ABCG是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形），再设DE＝x，在Rt△AED中利用勾股定理可求出ED的长．
【解答】解：如图，过C作CG⊥AD于G，并延长DG至F，使GF＝BE，
∵∠A＝∠B＝∠CGA＝90°，AB＝BC，
∴四边形ABCG为正方形，
∴AG＝BC＝4，∠BCG＝90°，BC＝CG，
∵AD＝3，
∴DG＝4﹣3＝1，
∵BC＝CG，∠B＝∠CGF，BE＝FG，
∴△EBC≌△FGC（SAS），
∴CE＝CF，∠ECB＝∠FCG，
∵∠DCE＝45°，
∴∠BCE+∠DCG＝∠DCG+∠FCG＝45°，
∴∠DCE＝∠DCF，
∵CE＝CF，∠DCF＝∠DCE，DC＝DC，
∴△ECD≌△FCD（SAS），
∴ED＝DF，
设ED＝x，则EB＝FG＝x﹣1，
∴AE＝4﹣（x﹣1）＝5﹣x，
Rt△AED中，AE2+AD2＝DE2，
∴（5﹣x）2+32＝x2，
解得：x＝3.4，
∴DE＝3.4．
故选：B．
【点评】本题考查的是正方形的判定与性质，全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．
3．演示课上，王林用四根长度都为4cm的木条制作了图1所示正方形，而后将正方形的BC边固定，平推成图2的图形，并测得∠B＝60°，则在此变化过程中结论错误的是（ ）
A．AB长度不变，为4cm
B．AC长度变小，减少4
C．BD长度变大，增大4
D．ABCD面积变小，减少
【考点】正方形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据正方形的性质得∠B＝90°，AB＝CB，由勾股定理得求得AC，再证明△ABC是等边三角形，则AC＝AB，由勾股定理求出AH，BD，进而求出菱形ABCD面积和正方形ABCD面积，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接AC，BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，AB＝CB，AB＝BC＝4cm，AB2+CB2＝AC2，
∴AC2＝2×42，正方形ABCD面积＝42＝16（cm2），
∴AC＝BD＝4（cm），
在菱形ABCD中，连接AC，BD，过A作AH⊥BC于点H，
AB＝CB＝4，BO＝DO，AO＝CO，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝BC＝4cm，AO＝2，BH＝CH＝2，
∴BD＝2BO＝24，AH2，
菱形ABCD面积4×24（cm2），
故选项A不符合题意；
∵44＝4（1）（cm），
故选项B不符合题意；
∵444（）（cm），
故选项C不符合题意；
∵16﹣44（4）（cm2），
故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】此题重点考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识，证得菱形中△ABC是等边三角形是解题的关键．
4．如图在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：
①△DOF≌△COE；
②CF＝BE；
③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的 ；
④OF2+OE2＝EF2．其中正确的是（ ）
A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【考点】正方形的判定与性质；全等三角形的判定；勾股定理．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】D
【分析】利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质逐一分析即可得出正确答案．
【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF，
∴∠COE＝∠DOF，
在△COE和△DOF中，
，
∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确；
②∵△COE≌△DOF，
∴CE＝DF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，
∴BE＝CF，故②正确；
③由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，
∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的，故③正确；
④在Rt△ECF中，∠EOF＝90°，根据勾股定理，得：
OE2+OF2＝EF2，故④正确；
综上所述，正确的是①②③④，
故选：D．
【点评】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定，解题的关键是利用旋转全等证明出△COE≌△DOF，属于选择压轴题．
5．下列说法中正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D．两条对角线相等的菱形是正方形
【考点】正方形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形．
【答案】D
【分析】依据矩形、菱形和正方形的判定方法，即可得到正确结论．
【解答】解：A．有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故本选项错误；
B．两条对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故本选项错误；
C．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故本选项错误；
D．两条对角线相等的菱形是正方形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了矩形、菱形和正方形的判定，正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
二．填空题（共5小题）
6．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作射线OM，ON，分别交CD，BC于点E，F，且∠EOF＝90°，连接EF给出下列结论：
①△COE≌△BOF；
②四边形OECF的面积为正方形ABCD面积的；
③EF平分∠OEC；
④DE2+BF2＝EF2．
其中正确的是 ①②④ （填序号）．
【考点】正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】①②④．
【分析】利用全等三角形的判定与性质逐一分析即可得出正确答案．
【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OB，∠COB＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF，
∴∠COE＝∠BOF，
∴△COE≌△BOF（ASA），故①正确；
②由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，
∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的，故②正确；
③∵△COE≌△BOF，
∴OE＝OF，
∴∠OFE＝∠OEF＝45°，
∵∠CEO≠90°，
∴∠OEF≠∠CEF，故③错误；
④∵△COE≌△BOF，
∴CE＝BF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，
∴DE＝CF，
在Rt△ECF中，CE2+CF2＝EF2，
∴DE2+BF2＝EF2，故④正确；
综上所述，正确的是①②④，
故答案为：①②④．
【点评】本题主要考查正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是利用旋转全等证明出△COE≌△BOF．
7．如图AD是△ABC的高，∠BAC＝45°，若AD＝7，DC＝3，则BD＝ ．
【考点】正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】．
【分析】以AD为边作正方形ADEF，在EF上截取FQ＝BD，由△DAB≌△FAQ求得AB＝AQ，∠DAB＝∠FAQ，进而可得∠CAQ＝45°＝∠CAB，再由正方形的性质可得△ABC≌△AQC，于是BC＝QC，设BD＝FQ＝x，在直角△CEQ中利用勾股定理建立方程求解即可；
【解答】解：如图以AD为边作正方形ADEF，在EF上截取FQ＝BD，
△DAB和△FAQ中：DA＝FA，∠ADB＝∠AFQ，DB＝FQ，
∴△DAB≌△FAQ（SAS），
∴AB＝AQ，∠DAB＝∠FAQ，
∵∠BAC＝45°，
∴∠DAC+∠DAB＝∠DAC+∠FAQ＝45°，
∴∠CAQ＝90°﹣45°＝45°＝∠CAB，
△ABC和△AQC中：AB＝AQ，∠BAC＝∠QAC，AC＝AC，
∴△ABC≌△AQC（SAS），
∴BC＝QC，
设BD＝FQ＝x，
则QC＝BC＝x+3，QE＝EF﹣FQ＝7﹣x，CE＝DE﹣DC＝7﹣3＝4
在直角△CEQ中由勾股定理得：CQ2＝CE2+QE2，
∴（x+3）2＝16+（7﹣x）2
解得：，
故答案为：；
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理；正确作出辅助线是解题关键．
8．正方形ABCD的边长为4，点M，N在对角线AC上（可与点A，C重合），MN＝2，点P，Q在正方形的边上．下面四个结论中，
①存在无数个四边形PMQN是平行四边形；
②存在无数个四边形PMQN是菱形；
③存在无数个四边形PMQN是矩形；
④至少存在一个四边形PMQN是正方形．
所有正确结论的序号是 ①②④ ．
【考点】正方形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据正方形的判定和性质，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：如图，作线段MN的垂直平分线交AD于P，交AB于Q．
∵PQ垂直平分线段MN，
∴PM＝PN，QM＝QN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PAN＝∠QAN＝45°，
∴∠APQ＝∠AQP＝45°，
∴AP＝AQ，
∴AC垂直平分线段PQ，
∴MP＝MQ，
∴四边形PMQN是菱形，
在MN运动过程中，这样的菱形有无数个，当点M与A或C重合时，四边形PMQN是正方形，
∴至少存在一个四边形PMQN是正方形，∵当点M与A或C重合时，四边形PMQN是正方形（即是矩形），且MN＝2，∴不可能存在无数个矩形，∴①②④正确，
故答案为①②④．
【点评】本题考查了正方形的判定和性质，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，熟练掌握各定理是解题的关键．
9．如图，在△ABC中，若∠BAC＝45°，AD⊥BC，BD＝3，AD＝9，CD＝ 4.5 ．
【考点】正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】4.5．
【分析】先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF＝90°；再根据对称的性质得到AE＝AF，从而说明四边形AEGF是正方形，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出DC的长即可．
【解答】解：分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，
由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．
∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC，又∠BAC＝45°．
∴∠EAF＝90°．
又∵AD⊥BC，
∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°．
又∵AE＝AD，AF＝AD，
∴AE＝AF．
∴四边形AEGF是正方形，
∴AD＝AE＝AF＝EG＝GF＝9，BE＝BD＝3，CF＝DC＝x，
∴BG＝EG﹣BE＝6，CG＝GF﹣CF＝9﹣x．
在Rt△BGC中，BG2+CG2＝BC2，
∴（3+x）2＝（9﹣x）2+62
解得：x＝4.5，
∴DC＝4.5．
法二：过B作BG⊥AC于G，
∴AB，
∵sin∠BAG＝sin45°，
∴BG＝AG＝3，
∵，
∴AD2 BC2＝AC2 BG2，
设DC＝a，则BC＝3+a，AC，
可得：，
解得：a＝4.5，a＝﹣18（舍去），
故答案为：4.5．
【点评】本题考查正方形的判定、图形的翻折变换和利用勾股定理，建立关于x的方程模型的解题思想．要能灵活运用．
10．如图，正方形ABCD的边长为2，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连结EF，给出四种情况：
①若G为BD上任意一点，则AG＝EF；
②若BG＝AB，则∠DAG＝22.5°；
③若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；
④若DG：BG＝1：3，则．
则其中正确的是 ①②③④ ．
【考点】正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】①②③④．
【分析】根据正方形的性质得出EF＝GC，进而利用全等三角形的判定和性质判断①；
根据等腰三角形的内角和定理判断②；
根据正方形的判定判断③；
根据正方形的面积公式和三角形的面积公式解答判断④．
【解答】解：连接GC，AC，AC与BD相交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，AD＝DC，∠ADG＝∠CDG＝45°，
∵GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，
∴∠GEC＝∠GFC＝90°，
∴四边形GFCE是矩形，
∴EF＝GC，
在△ADG与△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴AG＝GC，
∴AG＝EF，故①正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝45°，∠BAD＝90°，
∵AB＝BG，
∴∠BAG67.5°，
∴∠DAG＝∠BAD﹣∠BAG＝90°﹣67.5°＝22.5°，故②正确；
当G是BD的中点时，G是AC，BD的交点，即G与O重合，
∴CECD，CFBC，
∴CE＝CF，
∴矩形GFCE是正方形，故③正确；
∵正方形ABCD的边长为2，
∴正方形ABCD的面积＝4，
∵DG：BG＝1：3，
∴，故④正确；
故答案为：①②③④．
【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
三．解答题（共5小题）
11．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB．
（1）如果 AB＝AD（或AC⊥BD，答案不唯一） ，那么四边形ABCD为正方形（请你填上能使结论成立的一个条件）；
（2）根据题目中的条件和你添加上的条件进行证明．
【考点】正方形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）AB＝AD（或AC⊥BD，答案不唯一）；
（2）见解析．
【分析】（1）根据题意添加条件即可；
（2）根据平行四边形对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，根据等角对等边可得OB＝OC，然后求出AC＝BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明，根据正方形的判定方法即可得到结论．
【解答】解：（1）如果AB＝AD（或AC⊥BD，答案不唯一）那么四边形ABCD为正方形；
故答案为：AB＝AD（或AC⊥BD，答案不唯一）；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，
①添加条件AB＝AD，
∵四边形ABCD是矩形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形．
②∵四边形ABCD是矩形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形．
【点评】本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定方法与性质是解题的关键．
12．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE．
（1）求证：四边形BECF是菱形；
（2）当∠A＝ 45 °时，四边形BECF是正方形；
（3）在（2）的条件下，若AC＝4，则四边形ABFC的面积为 12 ．
【考点】正方形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）45；
（3）12．
【分析】（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，BF＝FC，根据四边相等的四边形是菱形即可判断；
（2）若四边形BECF是正方形，则∠ECB＝∠FCB＝45°，而∠ACB＝90°，则∠ACE＝45°，若∠A＝45°，则∠AEC＝90°，可得四边形BECF是正方形；
（3）根据梯形面积公式即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵EF垂直平分BC，
∴BF＝FC，BE＝EC，
∴∠FCB＝∠FBC，
∵CF∥AE
∴∠FCB＝∠CBE，
∴∠FBC＝∠CBE，
∵∠FDB＝∠EDB，BD＝BD，
∴△FDB≌△EDB（ASA），
∴BF＝BE，
∴BE＝EC＝FC＝BF，
∴四边形BECF是菱形；
（2）解：当∠A＝45°时，四边形BECF是正方形，理由如下：
若四边形BECF是正方形，则∠ECB＝∠FCB＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝45°，
∵∠A＝45°，
∴∠AEC＝90°，
由（1）知四边形BECF是菱形，
∴四边形BECF是正方形；
故答案为：45；
（3）解：由（2）知，四边形BECF是正方形，AE＝BE＝CE＝2，
∴四边形ABFC的面积为12，
故答案为：12．
【点评】本题考查特殊平行四边形，解题的关键是掌握菱形、正方形的判定定理．
13．如图，已知菱形ABCD，点E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE、AF、CF，得四边形AECF．
（1）求证：四边形AECF是正方形；
（2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面积．
【考点】正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）20．
【分析】（1）连接AC，根据对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，先证AECF是菱形，然后根据∠AED＝45°，可证∠AEC＝90°，从而证得四边形AECF是正方形；
（2）由（1）可得AC＝EF，所以可以求出菱形ABCD的对角线长度，然后利用菱形的面积等于对角线的乘积的一半即可求解．
【解答】解：（1）连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，
∵BE＝DF，
∴BE+OB＝DF+DO，
∴FO＝EO，
∴EF与AC垂直且互相平分，
∴四边形AECF是菱形，
∴∠AEF＝∠CEF，
又∵∠AED＝45°，
∴∠AEC＝90°，
∴菱形AECF是正方形；
（2）∵BD＝4，BE＝3，
∴FD＝3，
∴EF＝10，
∴AC＝10，
∴菱形ABCD的面积AC BD10×4＝20．
【点评】本题考查了正方形的判定和性质，菱形的性质和判定，关键是掌握菱形的基本性质．
14．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝2，CE，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．
【考点】正方形的判定与性质；矩形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED，根据正方形的判定定理证明即可；
（2）通过计算发现E是AC中点，点F与C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解决问题．
（3）分两种情形考虑问题即可；
【解答】（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）如图2中，在Rt△ABC中．ACAB＝2，
∵EC，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG．
（3）①当DE与AD的夹角为30°时，点F在BC边上，∠ADE＝30°，
则∠CDE＝90°﹣30°＝60°，
在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得：∠EFC＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
②当DE与DC的夹角为30°时，点F在BC的延长线上，∠CDE＝30°，如图3所示：
∵∠HCF＝∠DEF＝90°，∠CHF＝∠EHD，
∴∠EFC＝∠CDE＝30°，
综上所述，∠EFC＝120°或30°．
【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
15．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．
【考点】正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．
【专题】证明题；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）①证明过程见解答；
②3．
【分析】（1）根据正方形的性质证明△ABE≌△ADE（SAS），即可解决问题；
（2）①作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，得到EN＝EM，然后证得∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF，根据正方形的判定即可证得矩形DEFG是正方形；
②证明△ADE≌△CDG（SAS），可得AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，证明CE⊥CG，连接EG，根据勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
得矩形EMCN，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，
∴CE⊥CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝9．
∵CG＝3，
∴CE＝6，
连接EG，
∴EG3，
∴DEEG＝3．
∴正方形DEFG的边长为3．
【点评】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是正确作出辅助线，证得△DEN≌△FEM．
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巩固复习.培优卷 正方形
一．选择题（共5小题）
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．对角线互相平分的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
2．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，则DE的长度是（ ）
A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4
3．演示课上，王林用四根长度都为4cm的木条制作了图1所示正方形，而后将正方形的BC边固定，平推成图2的图形，并测得∠B＝60°，则在此变化过程中结论错误的是（ ）
A．AB长度不变，为4cm
B．AC长度变小，减少4
C．BD长度变大，增大4
D．ABCD面积变小，减少
4．如图在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：
①△DOF≌△COE；
②CF＝BE；
③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的 ；
④OF2+OE2＝EF2．其中正确的是（ ）
A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
5．下列说法中正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D．两条对角线相等的菱形是正方形
二．填空题（共5小题）
6．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作射线OM，ON，分别交CD，BC于点E，F，且∠EOF＝90°，连接EF给出下列结论：
①△COE≌△BOF；
②四边形OECF的面积为正方形ABCD面积的；
③EF平分∠OEC；
④DE2+BF2＝EF2．
其中正确的是 （填序号）．
7．如图AD是△ABC的高，∠BAC＝45°，若AD＝7，DC＝3，则BD＝ ．
8．正方形ABCD的边长为4，点M，N在对角线AC上（可与点A，C重合），MN＝2，点P，Q在正方形的边上．下面四个结论中，
①存在无数个四边形PMQN是平行四边形；
②存在无数个四边形PMQN是菱形；
③存在无数个四边形PMQN是矩形；
④至少存在一个四边形PMQN是正方形．
所有正确结论的序号是 ．
9．如图，在△ABC中，若∠BAC＝45°，AD⊥BC，BD＝3，AD＝9，CD＝ ．
10．如图，正方形ABCD的边长为2，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连结EF，给出四种情况：
①若G为BD上任意一点，则AG＝EF；
②若BG＝AB，则∠DAG＝22.5°；
③若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；
④若DG：BG＝1：3，则．
则其中正确的是 ．
三．解答题（共5小题）
11．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB．
（1）如果 ，那么四边形ABCD为正方形（请你填上能使结论成立的一个条件）；
（2）根据题目中的条件和你添加上的条件进行证明．
12．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE．
（1）求证：四边形BECF是菱形；
（2）当∠A＝ °时，四边形BECF是正方形；
（3）在（2）的条件下，若AC＝4，则四边形ABFC的面积为 ．
13．如图，已知菱形ABCD，点E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE、AF、CF，得四边形AECF．
（1）求证：四边形AECF是正方形；
（2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面积．
14．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝2，CE，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．
15．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．
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参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．对角线互相平分的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【考点】正方形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定．
【专题】几何图形．
【答案】D
【分析】根据平行四边形、菱形、正方形、矩形的性质和判定逐个判断即可．
【解答】解：A、对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，错误；
B、对角线互相平分、垂直的四边形是菱形，错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，错误；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形、菱形、正方形、矩形的性质和判定的应用，能熟记平行四边形、菱形、正方形、矩形的性质和判定的内容是解此题的关键．
2．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，则DE的长度是（ ）
A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4
【考点】正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】B
【分析】过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，延长DG至F，使GF＝BE，先证四边形ABCG是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形），再设DE＝x，在Rt△AED中利用勾股定理可求出ED的长．
【解答】解：如图，过C作CG⊥AD于G，并延长DG至F，使GF＝BE，
∵∠A＝∠B＝∠CGA＝90°，AB＝BC，
∴四边形ABCG为正方形，
∴AG＝BC＝4，∠BCG＝90°，BC＝CG，
∵AD＝3，
∴DG＝4﹣3＝1，
∵BC＝CG，∠B＝∠CGF，BE＝FG，
∴△EBC≌△FGC（SAS），
∴CE＝CF，∠ECB＝∠FCG，
∵∠DCE＝45°，
∴∠BCE+∠DCG＝∠DCG+∠FCG＝45°，
∴∠DCE＝∠DCF，
∵CE＝CF，∠DCF＝∠DCE，DC＝DC，
∴△ECD≌△FCD（SAS），
∴ED＝DF，
设ED＝x，则EB＝FG＝x﹣1，
∴AE＝4﹣（x﹣1）＝5﹣x，
Rt△AED中，AE2+AD2＝DE2，
∴（5﹣x）2+32＝x2，
解得：x＝3.4，
∴DE＝3.4．
故选：B．
【点评】本题考查的是正方形的判定与性质，全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．
3．演示课上，王林用四根长度都为4cm的木条制作了图1所示正方形，而后将正方形的BC边固定，平推成图2的图形，并测得∠B＝60°，则在此变化过程中结论错误的是（ ）
A．AB长度不变，为4cm
B．AC长度变小，减少4
C．BD长度变大，增大4
D．ABCD面积变小，减少
【考点】正方形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据正方形的性质得∠B＝90°，AB＝CB，由勾股定理得求得AC，再证明△ABC是等边三角形，则AC＝AB，由勾股定理求出AH，BD，进而求出菱形ABCD面积和正方形ABCD面积，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接AC，BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，AB＝CB，AB＝BC＝4cm，AB2+CB2＝AC2，
∴AC2＝2×42，正方形ABCD面积＝42＝16（cm2），
∴AC＝BD＝4（cm），
在菱形ABCD中，连接AC，BD，过A作AH⊥BC于点H，
AB＝CB＝4，BO＝DO，AO＝CO，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝BC＝4cm，AO＝2，BH＝CH＝2，
∴BD＝2BO＝24，AH2，
菱形ABCD面积4×24（cm2），
故选项A不符合题意；
∵44＝4（1）（cm），
故选项B不符合题意；
∵444（）（cm），
故选项C不符合题意；
∵16﹣44（4）（cm2），
故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】此题重点考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识，证得菱形中△ABC是等边三角形是解题的关键．
4．如图在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：
①△DOF≌△COE；
②CF＝BE；
③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的 ；
④OF2+OE2＝EF2．其中正确的是（ ）
A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【考点】正方形的判定与性质；全等三角形的判定；勾股定理．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】D
【分析】利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质逐一分析即可得出正确答案．
【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF，
∴∠COE＝∠DOF，
在△COE和△DOF中，
，
∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确；
②∵△COE≌△DOF，
∴CE＝DF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，
∴BE＝CF，故②正确；
③由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，
∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的，故③正确；
④在Rt△ECF中，∠EOF＝90°，根据勾股定理，得：
OE2+OF2＝EF2，故④正确；
综上所述，正确的是①②③④，
故选：D．
【点评】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定，解题的关键是利用旋转全等证明出△COE≌△DOF，属于选择压轴题．
5．下列说法中正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D．两条对角线相等的菱形是正方形
【考点】正方形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形．
【答案】D
【分析】依据矩形、菱形和正方形的判定方法，即可得到正确结论．
【解答】解：A．有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故本选项错误；
B．两条对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故本选项错误；
C．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故本选项错误；
D．两条对角线相等的菱形是正方形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了矩形、菱形和正方形的判定，正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
二．填空题（共5小题）
6．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作射线OM，ON，分别交CD，BC于点E，F，且∠EOF＝90°，连接EF给出下列结论：
①△COE≌△BOF；
②四边形OECF的面积为正方形ABCD面积的；
③EF平分∠OEC；
④DE2+BF2＝EF2．
其中正确的是 ①②④ （填序号）．
【考点】正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】①②④．
【分析】利用全等三角形的判定与性质逐一分析即可得出正确答案．
【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OB，∠COB＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF，
∴∠COE＝∠BOF，
∴△COE≌△BOF（ASA），故①正确；
②由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，
∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的，故②正确；
③∵△COE≌△BOF，
∴OE＝OF，
∴∠OFE＝∠OEF＝45°，
∵∠CEO≠90°，
∴∠OEF≠∠CEF，故③错误；
④∵△COE≌△BOF，
∴CE＝BF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，
∴DE＝CF，
在Rt△ECF中，CE2+CF2＝EF2，
∴DE2+BF2＝EF2，故④正确；
综上所述，正确的是①②④，
故答案为：①②④．
【点评】本题主要考查正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是利用旋转全等证明出△COE≌△BOF．
7．如图AD是△ABC的高，∠BAC＝45°，若AD＝7，DC＝3，则BD＝ ．
【考点】正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】．
【分析】以AD为边作正方形ADEF，在EF上截取FQ＝BD，由△DAB≌△FAQ求得AB＝AQ，∠DAB＝∠FAQ，进而可得∠CAQ＝45°＝∠CAB，再由正方形的性质可得△ABC≌△AQC，于是BC＝QC，设BD＝FQ＝x，在直角△CEQ中利用勾股定理建立方程求解即可；
【解答】解：如图以AD为边作正方形ADEF，在EF上截取FQ＝BD，
△DAB和△FAQ中：DA＝FA，∠ADB＝∠AFQ，DB＝FQ，
∴△DAB≌△FAQ（SAS），
∴AB＝AQ，∠DAB＝∠FAQ，
∵∠BAC＝45°，
∴∠DAC+∠DAB＝∠DAC+∠FAQ＝45°，
∴∠CAQ＝90°﹣45°＝45°＝∠CAB，
△ABC和△AQC中：AB＝AQ，∠BAC＝∠QAC，AC＝AC，
∴△ABC≌△AQC（SAS），
∴BC＝QC，
设BD＝FQ＝x，
则QC＝BC＝x+3，QE＝EF﹣FQ＝7﹣x，CE＝DE﹣DC＝7﹣3＝4
在直角△CEQ中由勾股定理得：CQ2＝CE2+QE2，
∴（x+3）2＝16+（7﹣x）2
解得：，
故答案为：；
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理；正确作出辅助线是解题关键．
8．正方形ABCD的边长为4，点M，N在对角线AC上（可与点A，C重合），MN＝2，点P，Q在正方形的边上．下面四个结论中，
①存在无数个四边形PMQN是平行四边形；
②存在无数个四边形PMQN是菱形；
③存在无数个四边形PMQN是矩形；
④至少存在一个四边形PMQN是正方形．
所有正确结论的序号是 ①②④ ．
【考点】正方形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据正方形的判定和性质，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：如图，作线段MN的垂直平分线交AD于P，交AB于Q．
∵PQ垂直平分线段MN，
∴PM＝PN，QM＝QN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PAN＝∠QAN＝45°，
∴∠APQ＝∠AQP＝45°，
∴AP＝AQ，
∴AC垂直平分线段PQ，
∴MP＝MQ，
∴四边形PMQN是菱形，
在MN运动过程中，这样的菱形有无数个，当点M与A或C重合时，四边形PMQN是正方形，
∴至少存在一个四边形PMQN是正方形，∵当点M与A或C重合时，四边形PMQN是正方形（即是矩形），且MN＝2，∴不可能存在无数个矩形，∴①②④正确，
故答案为①②④．
【点评】本题考查了正方形的判定和性质，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，熟练掌握各定理是解题的关键．
9．如图，在△ABC中，若∠BAC＝45°，AD⊥BC，BD＝3，AD＝9，CD＝ 4.5 ．
【考点】正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】4.5．
【分析】先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF＝90°；再根据对称的性质得到AE＝AF，从而说明四边形AEGF是正方形，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出DC的长即可．
【解答】解：分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，
由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．
∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC，又∠BAC＝45°．
∴∠EAF＝90°．
又∵AD⊥BC，
∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°．
又∵AE＝AD，AF＝AD，
∴AE＝AF．
∴四边形AEGF是正方形，
∴AD＝AE＝AF＝EG＝GF＝9，BE＝BD＝3，CF＝DC＝x，
∴BG＝EG﹣BE＝6，CG＝GF﹣CF＝9﹣x．
在Rt△BGC中，BG2+CG2＝BC2，
∴（3+x）2＝（9﹣x）2+62
解得：x＝4.5，
∴DC＝4.5．
法二：过B作BG⊥AC于G，
∴AB，
∵sin∠BAG＝sin45°，
∴BG＝AG＝3，
∵，
∴AD2 BC2＝AC2 BG2，
设DC＝a，则BC＝3+a，AC，
可得：，
解得：a＝4.5，a＝﹣18（舍去），
故答案为：4.5．
【点评】本题考查正方形的判定、图形的翻折变换和利用勾股定理，建立关于x的方程模型的解题思想．要能灵活运用．
10．如图，正方形ABCD的边长为2，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连结EF，给出四种情况：
①若G为BD上任意一点，则AG＝EF；
②若BG＝AB，则∠DAG＝22.5°；
③若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；
④若DG：BG＝1：3，则．
则其中正确的是 ①②③④ ．
【考点】正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】①②③④．
【分析】根据正方形的性质得出EF＝GC，进而利用全等三角形的判定和性质判断①；
根据等腰三角形的内角和定理判断②；
根据正方形的判定判断③；
根据正方形的面积公式和三角形的面积公式解答判断④．
【解答】解：连接GC，AC，AC与BD相交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，AD＝DC，∠ADG＝∠CDG＝45°，
∵GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，
∴∠GEC＝∠GFC＝90°，
∴四边形GFCE是矩形，
∴EF＝GC，
在△ADG与△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴AG＝GC，
∴AG＝EF，故①正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝45°，∠BAD＝90°，
∵AB＝BG，
∴∠BAG67.5°，
∴∠DAG＝∠BAD﹣∠BAG＝90°﹣67.5°＝22.5°，故②正确；
当G是BD的中点时，G是AC，BD的交点，即G与O重合，
∴CECD，CFBC，
∴CE＝CF，
∴矩形GFCE是正方形，故③正确；
∵正方形ABCD的边长为2，
∴正方形ABCD的面积＝4，
∵DG：BG＝1：3，
∴，故④正确；
故答案为：①②③④．
【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
三．解答题（共5小题）
11．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB．
（1）如果 AB＝AD（或AC⊥BD，答案不唯一） ，那么四边形ABCD为正方形（请你填上能使结论成立的一个条件）；
（2）根据题目中的条件和你添加上的条件进行证明．
【考点】正方形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）AB＝AD（或AC⊥BD，答案不唯一）；
（2）见解析．
【分析】（1）根据题意添加条件即可；
（2）根据平行四边形对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，根据等角对等边可得OB＝OC，然后求出AC＝BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明，根据正方形的判定方法即可得到结论．
【解答】解：（1）如果AB＝AD（或AC⊥BD，答案不唯一）那么四边形ABCD为正方形；
故答案为：AB＝AD（或AC⊥BD，答案不唯一）；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，
①添加条件AB＝AD，
∵四边形ABCD是矩形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形．
②∵四边形ABCD是矩形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形．
【点评】本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定方法与性质是解题的关键．
12．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE．
（1）求证：四边形BECF是菱形；
（2）当∠A＝ 45 °时，四边形BECF是正方形；
（3）在（2）的条件下，若AC＝4，则四边形ABFC的面积为 12 ．
【考点】正方形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）45；
（3）12．
【分析】（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，BF＝FC，根据四边相等的四边形是菱形即可判断；
（2）若四边形BECF是正方形，则∠ECB＝∠FCB＝45°，而∠ACB＝90°，则∠ACE＝45°，若∠A＝45°，则∠AEC＝90°，可得四边形BECF是正方形；
（3）根据梯形面积公式即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵EF垂直平分BC，
∴BF＝FC，BE＝EC，
∴∠FCB＝∠FBC，
∵CF∥AE
∴∠FCB＝∠CBE，
∴∠FBC＝∠CBE，
∵∠FDB＝∠EDB，BD＝BD，
∴△FDB≌△EDB（ASA），
∴BF＝BE，
∴BE＝EC＝FC＝BF，
∴四边形BECF是菱形；
（2）解：当∠A＝45°时，四边形BECF是正方形，理由如下：
若四边形BECF是正方形，则∠ECB＝∠FCB＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝45°，
∵∠A＝45°，
∴∠AEC＝90°，
由（1）知四边形BECF是菱形，
∴四边形BECF是正方形；
故答案为：45；
（3）解：由（2）知，四边形BECF是正方形，AE＝BE＝CE＝2，
∴四边形ABFC的面积为12，
故答案为：12．
【点评】本题考查特殊平行四边形，解题的关键是掌握菱形、正方形的判定定理．
13．如图，已知菱形ABCD，点E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE、AF、CF，得四边形AECF．
（1）求证：四边形AECF是正方形；
（2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面积．
【考点】正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）20．
【分析】（1）连接AC，根据对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，先证AECF是菱形，然后根据∠AED＝45°，可证∠AEC＝90°，从而证得四边形AECF是正方形；
（2）由（1）可得AC＝EF，所以可以求出菱形ABCD的对角线长度，然后利用菱形的面积等于对角线的乘积的一半即可求解．
【解答】解：（1）连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，
∵BE＝DF，
∴BE+OB＝DF+DO，
∴FO＝EO，
∴EF与AC垂直且互相平分，
∴四边形AECF是菱形，
∴∠AEF＝∠CEF，
又∵∠AED＝45°，
∴∠AEC＝90°，
∴菱形AECF是正方形；
（2）∵BD＝4，BE＝3，
∴FD＝3，
∴EF＝10，
∴AC＝10，
∴菱形ABCD的面积AC BD10×4＝20．
【点评】本题考查了正方形的判定和性质，菱形的性质和判定，关键是掌握菱形的基本性质．
14．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝2，CE，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．
【考点】正方形的判定与性质；矩形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED，根据正方形的判定定理证明即可；
（2）通过计算发现E是AC中点，点F与C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解决问题．
（3）分两种情形考虑问题即可；
【解答】（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）如图2中，在Rt△ABC中．ACAB＝2，
∵EC，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG．
（3）①当DE与AD的夹角为30°时，点F在BC边上，∠ADE＝30°，
则∠CDE＝90°﹣30°＝60°，
在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得：∠EFC＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
②当DE与DC的夹角为30°时，点F在BC的延长线上，∠CDE＝30°，如图3所示：
∵∠HCF＝∠DEF＝90°，∠CHF＝∠EHD，
∴∠EFC＝∠CDE＝30°，
综上所述，∠EFC＝120°或30°．
【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
15．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．
【考点】正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．
【专题】证明题；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）①证明过程见解答；
②3．
【分析】（1）根据正方形的性质证明△ABE≌△ADE（SAS），即可解决问题；
（2）①作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，得到EN＝EM，然后证得∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF，根据正方形的判定即可证得矩形DEFG是正方形；
②证明△ADE≌△CDG（SAS），可得AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，证明CE⊥CG，连接EG，根据勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
得矩形EMCN，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，
∴CE⊥CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝9．
∵CG＝3，
∴CE＝6，
连接EG，
∴EG3，
∴DEEG＝3．
∴正方形DEFG的边长为3．
【点评】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是正确作出辅助线，证得△DEN≌△FEM．
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