26.1反比例函数（巩固复习.培优卷.含解析）-2024-2025学年人教版（2024）数学九年级下册

中小学教育资源及组卷应用平台
巩固复习.培优卷 反比例函数
一．选择题（共5小题）
1．已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）和C（2，y3）都在反比例函数y的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
2．如图所示，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四个点，其中恰有三点在反比例函数的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数的图象上的点是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，反比例函数的图象上有一点P，PA⊥x轴于点A，点B在y轴上，则△PAB的面积为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．在同一直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y（k≠0）的图象大致（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题）
6．如图，点A，B是函数图象上两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，AC交OB于点D．若△ADO的面积为3，点D为OB的中点，则k的值为 　 　．
7．反比例函数的图象有一支位于第一象限，则常数m的取值范围是 　 　．
8．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y（x＞0）与y（x＜0）的图象上，则∠BAO的度数为 　 　．
9．如图，点P在反比例函数的图象上，PA⊥x轴于点A，则△PAO的面积是 　 　．
10．如图，点A是反比例函数y的图象上一点，AB∥y轴交x轴于点B，AD∥BC，S四边形ABCD＝　 　．
三．解答题（共5小题）
11．已知反比例函数的图象位于第二、四象限．
（1）求k的取值范围；
（2）若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值y1，y2的大小．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y1＝x﹣3与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点B的坐标为（m，﹣5）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点P为反比例函数图象上任意一点，若S△POC＝2S△AOC，求点P的坐标；
（3）直接写出不等式y1＜y2的解集．
13．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点．与反比例函数在第一象限的图象相交于点A（m，2）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点D在AB上，且点D的横坐标为4，过点D作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点E．连接BE．求△BDE的面积．
14．如图，已知矩形ABCD的两个顶点A，B都在反比例函数的图象上，AB经过原点O，对角线AC垂直于x轴．垂足为E，已知点A的坐标为（1，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求矩形ABCD的面积．
15．如图1，点A（m，6），B（6，1）在反比例函数上，作直线AB，交坐标轴于点M、N，连接OA、OB．
（1）求反比例函数的表达式和m的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）如图2，E是线段AB上一点，作AD⊥x轴于点D，过点E作EF∥AD，交反比例函数图象于点F，若EFAD，求出点E的坐标．
巩固复习.培优卷 反比例函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）和C（2，y3）都在反比例函数y的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】分别把各点代入反比例函数的解析式，求出y1，y2，y3的值，再比较出其大小即可．
【解答】解：∵点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）和C（2，y3）都在反比例函数y的图象上，
∴y11，y22，y31，
∴y3＜y1＜y2，
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
2．如图所示，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四个点，其中恰有三点在反比例函数的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数的图象上的点是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；几何直观．
【答案】B
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的图象进行判断即可．
【解答】解：如图，反比例函数y的图象是双曲线，若点在反比例函数的图象上，则其纵横坐标的积为常数k，即xy＝k，
通过观察发现，点A、C、D可能在图象上，点B不在图象上，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的图象以及图象上点的坐标特征是正确判断的前提．
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】反比例函数的图象；二次函数的图象；二次函数的性质；一次函数的图象；一次函数的性质．
【专题】函数及其图象；几何直观；推理能力．
【答案】A
【分析】先根据二次函数的图象开口向下和对称轴可知b＜0，由抛物线交y的正半轴，可知c＞0，由当x＝﹣1时，y＜0，可知a﹣b+c＞0，然后利用排除法即可得出正确答案．
【解答】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，
∵0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴相交于正半轴，
∴c＞0，
∴直线y＝bx+c经过一、二、四象限，
由图象可知，当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴反比例函数的图象必在一、三象限，
故B、C、D错误，A正确；
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
4．如图，反比例函数的图象上有一点P，PA⊥x轴于点A，点B在y轴上，则△PAB的面积为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】设P（x，y），则|xy|＝2，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：设P（x，y），
∵点P在反比例函数的图象上，
∴xy＝﹣2．
∵PA⊥x轴，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|是解题的关键．
5．在同一直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y（k≠0）的图象大致（　　）
A． B．
C． D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用．
【答案】D
【分析】k＜0时的情况下，根据一次函数和反比例函数图象的特点进行判断即可．
【解答】解：∵k＜0，
∴一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，反比例函数y的图象经过二、四象限，
故D选项的图象符合要求．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象，一次函数的图象，掌握当k＜0时，一次函数和反比例函数的图象都经过第二、四象限是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．如图，点A，B是函数图象上两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，AC交OB于点D．若△ADO的面积为3，点D为OB的中点，则k的值为 　﹣8　．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】﹣8．
【分析】先设出点B的坐标，进而表示出点D，A的坐标，利用△ADO的面积建立方程求出﹣mn＝2，即可得出结论．
【解答】解：设点B（﹣2m，2n），
∴﹣4mn＝k，
∵D为OB的中点，
∴D（﹣m，n），
∵AC⊥x轴，
∴，
∴A（﹣m，4n），
∵△ADO的面积为3，
∴，
∴﹣mn＝2．
∴k＝﹣4mn＝﹣8，
故答案为：﹣8．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．
7．反比例函数的图象有一支位于第一象限，则常数m的取值范围是 　m　．
【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】m．
【分析】由反比例函数的图象的一支位于第一象限，可得3﹣2m＞0，即可求常数m的取值范围．
【解答】解：∵反比例函数的图象的一支位于第一象限，
∴3﹣2m＞0，
∴m．
故答案为：m．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的性质是本题的关键．
8．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y（x＞0）与y（x＜0）的图象上，则∠BAO的度数为 　60°　．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】60°．
【分析】过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，于是得到∠BDO＝∠ACO＝90°，根据反比例函数的性质得到S△BDO，S△AOC，根据相似三角形的性质得到（）23，求得，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于D，
则∠BDO＝∠ACO＝90°，
∵顶点A，B分别在反比例函数y（x＞0）与y（x＜0）的图象上，
∴S△BDO，S△AOC，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD+∠DBO＝∠BOD+∠AOC＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC，
∴△BDO∽△OCA，
∴（）23，
∴，
∴tan∠BAO，
∴∠BAO＝60°，
故答案为：60°．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
9．如图，点P在反比例函数的图象上，PA⊥x轴于点A，则△PAO的面积是 　1　．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】1．
【分析】据反比例函数系数k的几何意义可知，△PAO的面积|k|，再根据k的值求得△PAO的面积即可．
【解答】解：依据比例系数k的几何意义可得，△PAO的面积|k|，
即△PAO的面积2＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了反比例函数y中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S|k|．
10．如图，点A是反比例函数y的图象上一点，AB∥y轴交x轴于点B，AD∥BC，S四边形ABCD＝　3　．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】3．
【分析】作AE⊥y轴于点E，根据反比例函数k的几何意义得矩形ABOE的面积为|k|＝3，所以S四边形ABCD＝AB OB＝3．
【解答】解：作AE⊥y轴于点E，
∴矩形ABOE的面积为|k|＝3，
∴AB OB＝3，
∴S四边形ABCD＝AB OB＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数k的几何意义是解决问题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．已知反比例函数的图象位于第二、四象限．
（1）求k的取值范围；
（2）若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值y1，y2的大小．
【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）k＜2；
（2）y1＜y2．
【分析】（1）根据反比例函数的图象即可得出k﹣2＜0，即可求出答案；
（2）根据反比例函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴k﹣2＜0，
∴k＜2；
（2）∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，
∵﹣4＜﹣1＜0，
∴y1＜y2．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解答此题的关键．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y1＝x﹣3与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点B的坐标为（m，﹣5）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点P为反比例函数图象上任意一点，若S△POC＝2S△AOC，求点P的坐标；
（3）直接写出不等式y1＜y2的解集．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】（1）反比例函数的解析式为；
（2）点P的坐标为（）或（）；
（3）不等式y1＜y2的解集为：x＜﹣2或0＜x＜5．
【分析】（1）先求出点B坐标，再代入反比例函数解析式即可．
（2）根据题中两个三角形的面积关系，可得出点P的纵坐标的绝对值，据此可解决问题．
（3）利用数形结合的思想即可解决问题．
【解答】解：（1）因为点B在直线AB上，
所以m﹣3＝﹣5，
解得m＝﹣2．
故点B坐标为（﹣2，﹣5）．
将点B坐标代入反比例函数解析式得，
k＝﹣2×（﹣5）＝10，
所以反比例函数的解析式为．
（2）将反比例函数解析式和一次函数解析式联立方程组得，
，
解得或．
故点A坐标为（5，2）．
又S△POC＝2S△AOC，
即，
所以|yP|＝4，
故点P纵坐标为4或﹣4．
将y＝4代入得，
x．
将y＝﹣4代入得，
x．
所以点P的坐标为（）或（）．
（3）根据函数图象可知，
当x＜﹣2或0＜x＜5时，
一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即y1＜y2．
即不等式y1＜y2的解集为：x＜﹣2或0＜x＜5．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数图象交点问题，巧妙的利用数形结合的思想是解题的关键．
13．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点．与反比例函数在第一象限的图象相交于点A（m，2）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点D在AB上，且点D的横坐标为4，过点D作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点E．连接BE．求△BDE的面积．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】（1）y（x＞0）；
（2）4．
【分析】（1）将A点坐标代入函数表达式，可得A（6，2），代入反比例函数解析式求出k值即可；
（2）先把D点代入直线表达式求出点D坐标，进而根据DE两点横坐标一直代入反比例函数表达式求出E点坐标，根据S△BDEDE xD可求出答案．
【解答】解：（1）将y＝2代入yx﹣1得x＝6，
∴A点坐标为（6，2），
∵点A在反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象上，
∴k＝2×6＝12．
∴反比例函数的表达式为：y（x＞0）；
（2）∵点D的横坐标为4，
∴将x＝4代入一次函数yx﹣1得y＝1，
∴点D的坐标为（4，1），
∴E点坐标为（4，3），
∴DE＝3﹣1＝2，
∴S△BDEDE xD2×4＝4．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
14．如图，已知矩形ABCD的两个顶点A，B都在反比例函数的图象上，AB经过原点O，对角线AC垂直于x轴．垂足为E，已知点A的坐标为（1，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求矩形ABCD的面积．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】（1）；
（2）10．
【分析】（1）把（1，2）代入，即可求解；
（2）根据中心对称的性质得B（﹣1，﹣2），根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质和矩形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）把（1，2）代入得，
∴k＝2，
∴反比例函数的解析式为；
（2）∵点A的坐标为（1，2），
根据中心对称可得B（﹣1，﹣2），
∴，
∵对角线AC垂直于x轴，
∴∠AEO＝∠ABC＝90°，
∵∠EAO＝∠BAC，
∴△AOE∽△ACB，
∴，
∴，
∴，
∴矩形ABCD的面积为．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的面积的计算，中心对称图形的性质，相似三角形的判定与性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
15．如图1，点A（m，6），B（6，1）在反比例函数上，作直线AB，交坐标轴于点M、N，连接OA、OB．
（1）求反比例函数的表达式和m的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）如图2，E是线段AB上一点，作AD⊥x轴于点D，过点E作EF∥AD，交反比例函数图象于点F，若EFAD，求出点E的坐标．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】（1）y；m＝1；
（2）；
（3）（2，5）或（3，4）．
【分析】（1）设反比例函数的解析式为y，根据题意B点坐标得出k的值以及m的值；
（2）设直线AB的解析式为y＝ax+b，求出直线AB的解析式，再利用S△AOB＝S△MON﹣S△AOM﹣S△BON，求出答案即可；
（3）设E点的横坐标为m，则E（m，﹣m+7），F（m，），求出EF＝﹣m+7，得出关于m的方程，求出m即可．
【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y，
将B（6，1）的坐标代入y，得k＝6．
∴反比例函数的解析式为y．
将A（m，6）的坐标代入y，得m＝1．
（2）如图1，设直线AB的解析式为y＝ax+b，
把A（1，6）和B（6，1）代入上式，得：
，
解得：，
故直线AB的解析式为：y＝﹣x+7，
∴M（0，7），N（7，0），
∴S△AOB＝S△MON﹣S△AOM﹣S△BONOM×ONOM×|xA|ON×|yB|
7×77×17×1
．
（3）设E点的坐标为（m，﹣m+7），则F（m，），
∴EF＝﹣m+7．
∵EFAD，
∴﹣m+76．
解得m1＝2，m2＝3，
经检验，m1＝2，m2＝3是分式方程的根，
∴E的坐标为（2，5）或（3，4）．
【点评】本题考查了用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式，正确得出直线AB的解析式是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)